建筑制圖：第六周直線和平面的投影

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1、第二章第二章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影一、投影的基本知識二、點的投影三、直線的投影四、平面的投影直線的投影直線的投影一、一般位置線二、投影面平行線三、投影面垂直線四、直線上的點五、兩直線的相對位置 空間直線是無限長的，但在投影圖中我們常以有限長的線段來代表直線。直線的空間位置可由直線上任意兩點的位置確定（或直線上一點及指向）。 直線的投影一般仍為直線。 HHHa(b)BAabbaABAB 當直線垂直投影面時，其投影積聚為一點，如圖（a）所示；當直線平行投影面時，其投影與直線本身平行且相等，如圖（b）所示；當直線傾斜于投影面時，其投影的長度比直線本身的長度縮短，如圖（c）所示。(

2、a)(b)(c)OXBAababOXaabbVH 作直線的投影，只需作出直線上兩端點的投影，并連接該兩點在同一投影面上的投影（簡稱同面投影）即可。在投影圖中，直線的投影用粗實線表示。直線的名稱可由其端點表示（如直線AB，三個投影表示為ab、ab、ab）；也可以用一個字母表示（直線L，它的投影表示為l、l、l)。直線對投影面H、V、W的相對位置的分類如下：直線直線一般位置直線一般位置直線特殊位特殊位置直線置直線投影面平行線投影面平行線投影面垂直線投影面垂直線3.1 一般位置直線一般位置直線 對三個投影面都傾斜的直線，稱為一般位置直線，簡稱一般線。agaababb AZVWYXOHBagaabab

3、b AZVWYXOHBXOYHYWZabab ab投影特點投影特點1、一般線對各基本投影面都傾斜，三個投影的長度小于線段的實長。直線的實長與三個投影的關系為：cd=CDcos ，c d=CDcos ，c d =CDcos2、一般線上各點到同一個投影面的距離都不等，所以，三個投影面上的投影均傾斜于投影軸3、三個投影與相應軸的夾角均不反映直線對投影面的傾角 讀圖讀圖 讀圖時，只要直線的任兩投影呈傾斜狀態(tài)，即可斷定該直線是一般位置直線。 agaababb AZVWYXOHBXOYHYWZabab ab 在三面投影中，根據(jù)直線的任意兩個投影，可以求出它的第三面投影，方法為求作直線上兩端點的第三投影。

4、【例 1】 如圖所示，已知直線AB的水平投影ab和正面投影a b ，求其側(cè)面投影a b 。投影面平行線投影面平行線 （一）空間位置 平行于某一個投影面，傾斜于另兩個投影面的直線稱為投影面平行線。投影面平行線有三種情況： 平行于H面的直線稱為水平線； 平行于V面的直線稱為正平線； 平行于W面的直線稱為側(cè)平線。 水平線 ABHXza b ab OYHYWbagZaababb gABVWYXOg (1)在H面上的投影，平行于直線本身，且為等長；該投影與水平方向和豎直方向間夾角，分別反映了直線對其他兩個投影面傾角的大小。 H水平線 ABHXza b ab OYHYWbagZaababb gABVWYX

5、Og。 H (2)直線在它不平行的兩個投影面上V、W的兩個投影，共同垂直于這兩個投影面交成的投影軸Z。正平線平行于正立投影面（V面）的直線，稱為正面平行線，簡稱正平線。 投影特性：1.ab /OX， a b /OZ 2. a b反映實長和傾角、 側(cè)平線平行于側(cè)立投影面（W面）的直線，稱為側(cè)面平行線，簡稱側(cè)平線。投影特性：1.ab /O YH， a b /OZ 2. a b反映實長和傾角、 VWHZXYOZXYHYWZXYHYWOZXYHYW 三種投影面平行線三種投影面平行線BAabababABbOabaabababbaBAabababbOabaabOababbaVWHZXYOVWHZXYO水平

6、線水平線正平線正平線側(cè)平線側(cè)平線 投影特性投影特性：1、直線在其平行的投影面上的投影，平行于直線本身，且反映實長；2、該投影與水平方向和豎直方向間夾角，分別反映了直線與另兩投影面的傾角；3、在另兩投影面上的投影共同垂直于這兩個投影面交成的投影軸（或分別平行于相應的投影軸），且不反映線段的實長。 讀圖時，一個投影平行于投影軸，而另一投影傾斜于投影軸，即可斷定該直線是投影面平行線，平行于該傾斜投影所在的投影面。ZXYHYWZXYHYWOZXYHYWabababbOcbccbOababba投影面垂直線投影面垂直線 （一）空間位置 垂直于某一個投影面，而平行于另兩個投影面的直線稱為投影面垂直線。投影面

7、垂直線有三種情況： 垂直于H面的直線稱為鉛垂線； 垂直于V面的直線稱為正垂線； 垂直于W面的直線稱為側(cè)垂線。鉛垂線 ABH H面垂直線具有下列投影特性： (1)在H面上的投影積聚成一點; (2)在另外兩個投影面上V、W的投影，反映了實長，并共同平行于同一條投影軸Z。ZXOYHYWb a baa(b)b a(b)a abABVWYXZOH正垂線垂直于正立投影面（V面）的直線，稱為正面垂直線，簡稱正垂線。側(cè)垂線垂直于側(cè)立投影面（W面）的直線，稱為側(cè)面垂直線，簡稱側(cè)垂線。OZXYHYW VWHZXYOOZXYHYW 三種投影面垂直線的立體圖、投影圖三種投影面垂直線的立體圖、投影圖ABABBAbaa(

8、b)ba(a)babababbaa(b )ababa(b )baba(a)ba(b)baabVZXWHYVWHZXYOOOZXYHYW鉛垂線鉛垂線正垂線正垂線側(cè)垂線側(cè)垂線 投影特性投影特性：1、直線在其垂直的投影面上的投影積聚為一點；2、在另兩投影面上的投影共同平行于這兩個投影面交成的投影軸（或分別垂直于相應的投影軸），且反映直線實長。 讀圖讀圖 讀圖時，只要一投影積聚為一點，即可斷定該直線是投影面垂直線（垂直于積聚投影所在投影面）。OZXYHYWOZXYHYWababa(b )baba(a)ba(b)baabOZXYHYW直線直線上的點上的點 直線上一點的投影，必在該直線的同面投影上，且符合

9、點的投影規(guī)律。 (點E在直線AB上，點 K不在直線AB上 )aabAVXOHBXOababbKEekekekkeb直線上的點的投影直線上的點的投影 判斷點是否在直線上 一般情況下，根據(jù)點的兩個投影是否在直線的同面投影上就可以確定。 當直線是某一投影面的平行線時，還應觀察直線所平行的那個投影面上的投影，才能判別一點是否在直線上。XOaabYHYWZabccc故C點不在AB上。 直線上的線段之比直線上的線段之比 點E在直線AB上AE:EBae:eb ae: eb ae: eb。 aabAVXOHBbEee 由平行投影的特性可知：若點在線上，點分空間線段長度之比等于其同面投影長度之比。 【例例 】

10、試把已知線段試把已知線段AB分成分成AC:CB2:3。 XO 分析：由定比性知：ac:cbac: cbAC:CB2:3，為此，用幾何作圖的方法分線段AB的一個投影（如ab）為ac:cb2:3，可得C點的水平投影c；然后按直線上點的投影特性在ab上定出c，C（c、c）即為所求。 ab作圖：（1）過投影a作任意輔助線aB0，在此線上度量五等分，使aC0:C0B0=2:3，確定C0；（2）連b和B0，再過C0作輔助線平行于B0b交ab于點c，在水平投影ab上得分點C的水平投影c ；（3）再由c向上作鉛垂連系線，在正面投影ab上得分點C的正面投影c。bB0C0accd定比法:把正面投影e 所分cd的比

11、m:n移到cd上面作出e 。XOcdc 分析：分析：由投影可知CD為側(cè)平線，由e 不能直接對應作出投影e，因此可用定比法或第三投影作圖。nmnm作出第三面投影： 先作出CD的側(cè)面投影cd，再在cd上作出e，最后在cd上找到e。ZcdYHYWeee【例例 】已知側(cè)平線已知側(cè)平線CD上一點上一點E的正面投影的正面投影e，要求作，要求作出點出點E的水平投影的水平投影e。 檢驗方法：補出第三面投影檢驗方法檢驗方法兩兩直線的相對位置直線的相對位置 一、一、兩相交直線兩相交直線 二、二、兩平行直線兩平行直線三、三、兩交叉直線兩交叉直線 相交兩直線相交兩直線 若空間兩直線相交，則其同面投影也相交，且各投影的

12、交點符合點的投影規(guī)律。VWHBACDabXZYOcdcdabkkKcdbakXZa b ab OYHYWbacdc d cd kkk 反之，若兩直線的同面投影相交，且各同面投影的交點的連線符合空間一點的投影特性，則兩直線在空間一定相交。 兩條一般位置直線，只要任意兩組同面投影符合上述條件，即可肯定兩直線相交。 f e fe efghg h gh 不相交 如兩直線中，只要有一條為某投影面的平行線，如要判別它們是否相交，應畫出在該投影面上的同面投影才能肯定，或者利用分比法來判定。 a b cbadc d cd 不相交e acd平行兩直線平行兩直線 若空間兩直線互相平行，則其同面投影也平行；反之，若

13、兩直線的同面投影互相平行，則此空間兩直線一定平行。 VWHcdabcdBACDababXZa b ab OYHYWbacdc d cd 根據(jù)投影判斷兩直線是否平行: 對于一般位置的兩直線，僅根據(jù)直線的任意兩個同面投影是否平行即可判別它們在空間是否平行； XZa b ab OYHYWbacdc d cd XOa 對于平行于同一投影面的兩直線，則需要有一組是被平行的投影面上的投影；或者由各同面投影的指向和長度之比是否一致來確定。 ZYHYWbabcdcdabdcXOaZYHYWbabcddcabdc平行 不平行 【例例】 判別四邊形判別四邊形ABCD是否為平面四邊形是否為平面四邊形。 O 分析：若

14、四邊形ABCD為平面四邊形，則四邊形的兩對角線一定相交，否則為空間四邊形。a作圖：（1）連接ac和ac；（2）連接bd和bd；（3）檢查ac和bd的交點與ac和bd的交點連線是否垂直于OX軸。因交點連線不垂直于OX軸，所以可判別四邊形ABCD不是平面四邊形。 aXbcdbcd否【例例】 給出平行四邊形ABCD兩邊AB和AC的兩個投影， 試完成它的投影圖。 空間既不平行又不相交的兩直線，稱為交叉兩直線。交叉兩直線的各面投影不具備兩平行或相交直線的投影特性。交叉兩直線交叉兩直線 XOaZYHYWbabcddcabdc交叉 f e fe efghg h gh 交叉 雖然兩交叉直線的某一個同面投影有時

15、可能平行，但其他同面投影不可能同時都相互平行。VXOH 空間交叉兩直線在任何投影面上的投影的交點是空間兩個點的重合投影，這兩個點分屬于兩條直線上，因為它們位于同一投射線上，是重影點。投影時，需判斷重影點的可見性。 ABCDbadcabcdMNm(n)nmk (l)LKklaaXbcdbcOdm(n)mnlkk (l)四、平面的投影四、平面的投影一、一般位置平面二、投影面平行面三、投影面垂直面四、平面上的點和線平面幾何元素表示法平面幾何元素表示法cbacbaccabbaabccabccaabccababdd不在一直線上三點一直線和線外一點相交兩直線平行兩直線任意平面圖形平面的投影性質(zhì)平面的投影性

16、質(zhì)1、平面圖形的投影，由平面圖形的輪廓線的投影表示。 abccabbaABCXXYZZYHYWabababcccO(a)bcad 2、平面圖形傾斜于某投影面時，在該面上的投影是一個類似圖形，但形狀、大小均可變化(圖a)。 (a)bcadd(a)c(b)(b)EFMemf積聚投影3、平面垂直于某投影面時，在該面上的投影積聚成一直線(圖b)。 (a)bcadd(a)c(b)(b)EFMemf4、平面平行于某投影面時，在該面上的投影反映平面圖形的真實性狀、大小和方向等(圖c)。 (c)badc平面對三個投影面HVW的相對位置分類如下：平面一般位置平面：與各投影面呈一般角度的傾斜。特殊位置的平面投影面

17、垂直面：垂直于某投影面。投影面平行面：平行于某投影面。一般位置平面一般位置平面結(jié)論：一般面的三面投影均為原形的類似形，其大小小于實形。abccabbaABCXXYZZYHYWabababcccO 讀圖讀圖 一平面的三個投影都沒有積聚性，而是平面圖形或其他幾何元素，它必然是一般面。投影面垂直面投影面垂直面 垂直于某一投影面而傾斜于另外兩個投影面的平面，稱為投影面垂直面。 投影面垂直面因其所垂直的投影面不同分為：（1）H面垂直面或鉛垂面：垂直于H面的平面；（2）V面垂直面或正垂面：垂直于V面的平面；（3）W面垂直面或側(cè)垂面：垂直于W面的平面。鉛垂面鉛垂面 投影面垂直面投影面垂直面VZXYHOppp

18、PXZOYHYWppp（1）水平投影p積聚成直線，并反映傾角和（2）正面投影p和側(cè)面投影p”不反映實形投影特性：正垂面 qq”XZqOYHYWaZXYHWqqqaOQV（1）正面投影q積聚成直線，并反映傾角和（2）水平投影q和側(cè)面投影q”不反映實形投影特性：側(cè)垂面 VZXYHWOrrrRaXZOYHYWrrra（1）側(cè)面投影r”積聚成直線，并反映傾角和（2）正面投影r和水平投影r 不反映實形投影特性：投影特性1、在它所垂直的投影面上投影積聚為一直線； 2、積聚投影與相應投影軸的夾角，反映該平面相對于相應投影面的傾角。 3、投影面垂直面的其它投影均比實形小，為原形的類似形狀。 鉛垂面正垂面?zhèn)却姑?/p>

19、XZOYHYWrrr”aqq”XZqOYHaXZYHOpP”p鉛垂面正垂面?zhèn)却姑鎄ZOYHYWrrr”aqq”XZqOYHaXZYHOpP”p讀圖一平面只要有一面投影積聚為直線，則它必然垂直于積聚投影所在的投影面。跡線平面法表示三種垂直面：注意：用跡線平面表示法表示平面習慣上只作跡線平面的積聚投影，其它兩面投影不用作。但必須在該積聚投影旁邊標注平面的該面跡線的標記。PHPVPW鉛垂面正垂面?zhèn)却姑嫱队懊嫫叫忻嫱队懊嫫叫忻嫫叫杏谝粋€投影面同時垂直于另外兩個投影面的平面稱為投影面平行面。水平面：平行于H面。正平面：平行于V面。側(cè)平面：平行于W面。XZpppOYHYWXVZWppP”POHY1.投影面

20、平行面水平面 （1）水平投影p反映實形（2）正面投影p及側(cè)面投影p”均有積聚性 且p/0X軸；p”/OYW軸投影特性：q”qqXZOYHYWXVZWOHYqq”qQ（1）正面投影q反映實形（2）水平投影q及側(cè)面投影q”均有積聚性 且q /0X軸；q”/OZ軸投影特性：2.投影面平行面正平面 XZOrrrYHYWXVZWOHYRrrr”（1）側(cè)面投影r”反映實形（2）正面投影r及水平投影r 均有積聚性 且r /0Z軸；r /OYH軸投影特性：3.投影面平行面?zhèn)绕矫?三種位置平面的投影水平面正平面?zhèn)绕矫孥E線平面法表示三種平行面：水平面正平面?zhèn)绕矫鍼VPWPHPWPVPH投影面平行面投影面平行面投影

21、面平行面的投影特性：平面在所平行的投影面內(nèi)的投影反映空間實形；在其它兩個投影面內(nèi)的投影分別積聚為兩條平行于相應投影軸的直線，并與該面跡線重合。讀讀圖圖只要有一面投影積聚為一條平行于投影軸的直線，則它必然平行于非積聚投影所在的投影面。非積聚投影反映實形。平面平面上的點上的點性質(zhì)：一點如果在一平面內(nèi)，則它必在面內(nèi)的一條線上判定方法：點在線上，線在面上，則點定在面內(nèi)。例4-1已知M、N點位于ABC平面上，及m 、n， 求m及n。mn解題步驟：1.在abc內(nèi)連接cm交ab于e。2.在abc內(nèi)連接ce。3.在ce上據(jù)長對正得m。4.同法作出n。eemnabcbacff平面上的直線平面上的直線判定線在面上

22、的方法：若一直線通過平面內(nèi)的兩點，或者過一點同時平行于平面內(nèi)的一條直線，則直線必在該平面內(nèi)。判定線在面上的方法：若一直線通過平面內(nèi)的兩點，或者過一點同時平行于平面內(nèi)的一條直線，則直線必在該平面內(nèi)。例4-2判別EF線是否在平面ABC上。efefabcabc解題步驟：由投影可知E點不在平面內(nèi)。據(jù)此確定EF線不在平面內(nèi)。例已知平面ABCD的V投影，求作其H投影。 caddabbcee作圖步驟:（1）在V投影中，連接ac與bd得交點V投影e。（2）在H投影中作出e，并連接be得到d點。（3）連接ad及dc,完成平面H投影。平面上的特殊線平面上的特殊線投影面平行線水平線正平線側(cè)平線最大斜度線過平面上一點

23、可作出無數(shù)條直線，它們相對于投影面的傾角各不相同，其中必有一條直線相對于投影面傾角最大，該直線稱為該平面相對于該投影面的最大斜度線。問題：一般位置平面內(nèi)是否一定存在三種位置的投影面平行線？PH平行于PH的水平線同理可作出平面內(nèi)的正平線（平行于PV)、側(cè)平線（平行于PW)結(jié)論：一般位置平面內(nèi)必然存在三種位置的平行線，且每種平行線均為一組平行于平面的同面跡線的平行線。例求作平面內(nèi)的正平線和水平線。abcabcabcabcabcabcddddee1122解題步驟：1.過a作a 1 /OX。作出H投影1，連接a1。即得水平線A1。2. 作c2 /OX平行于OX。作出V投影2,連接c2。即得正平線C2。【例題】設在四棱臺前側(cè)面BCED上有一點A，已知它的水平投影a，求它的正面投影。例 已知ABC內(nèi)一點M的正面投影m 及直線及直線EF的水的水平投影平投影ef，求作它們的另外兩個投影，求作它們的另外兩個投影m及及m 和和e f 及及e f 。