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1、章末歸納總結(jié)章末歸納總結(jié) 導(dǎo)數(shù)是微積分的初步知識(shí)，是研究函數(shù)，解決實(shí)際問題的有力工具 1導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要有以下幾個(gè)方面： (1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求單調(diào)區(qū)間； (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值； (3)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)、方程、不等式和曲線切線問題； (4)利用導(dǎo)數(shù)研究實(shí)際問題 利用導(dǎo)數(shù)刻畫函數(shù)的方法比初等方法精確細(xì)微；利用導(dǎo)數(shù)可用于研究平面曲線的切線；在實(shí)際問題中，主要是利用導(dǎo)數(shù)求實(shí)際問題的最大(小)值，將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化后，常見的情形是，該數(shù)學(xué)問題用初等方法求解往往技巧性要求較高，而用導(dǎo)數(shù)方法則顯得簡便 另外，導(dǎo)數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問題是一種重要類型高考中常用這種題目考查學(xué)生的綜
2、合能力 1應(yīng)熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 2熟練掌握導(dǎo)數(shù)在常見問題中的一般方法，這是正確解題的關(guān)鍵 2導(dǎo)數(shù)的意義 (1)幾何意義：函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)就是曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處的切線的斜率k，即kf(x0) (2)物理意義：函數(shù)ss(t)在點(diǎn)t處的導(dǎo)數(shù)s(t)，就是當(dāng)物體的運(yùn)動(dòng)方程為ss(t)時(shí)，物體運(yùn)動(dòng)在時(shí)刻t時(shí)的瞬時(shí)速度v，即vs(t)而函數(shù)vv(t)在t處的導(dǎo)數(shù)v(t)，就是物體運(yùn)動(dòng)在時(shí)刻t時(shí)的瞬時(shí)加速度a，即av(t) 答案4xy40 用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題是指運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解不等式、比較大小、證明不等式等；用導(dǎo)數(shù)研究方程問題，主要是指根據(jù)方程構(gòu)造函數(shù)，然
3、后利用導(dǎo)數(shù)，研究得到函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，從而結(jié)合函數(shù)圖象來研究方程的根的個(gè)數(shù)、大小等問題這是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，也是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容 xx0是其方程的唯一實(shí)數(shù)根 即方程f(x)g(x)3在區(qū)間1，)上恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極大(小)值，函數(shù)在閉區(qū)間a，b上的最大(小)值是本章的重點(diǎn)，求函數(shù)的最大值和最小值需要先確定函數(shù)的極大值和極小值，因此，求函數(shù)的極值是關(guān)鍵 求函數(shù)極值的一般步驟： (1)確定函數(shù)的定義域； (2)求方程f(x)0的根； (3)用方程f(x)0的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)開區(qū)間，并判斷f(x)在各區(qū)間的符號(hào)； (4)結(jié)合f(x)在方程f(x)0的根
4、左右兩側(cè)的符號(hào)，來判斷f(x)在這個(gè)根處取極值的情況，并求出這個(gè)極值 (2010安徽理，17)設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)ex2x2a，xR. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值； (2)求證：當(dāng)aln21且x0時(shí)，exx22ax1. 解析本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的極值和證明函數(shù)不等式，考查運(yùn)算能力、綜合分析和解決問題的能力 解題思路是：(1)利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的極值(2)將不等式轉(zhuǎn)化構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明 (1)解：由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR. 令f(x)0，得xln2.于是當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變
5、化情況如下表：x(，ln2)ln2(ln2，)f(x)0f(x)單調(diào)遞減2(1ln2a)單調(diào)遞增 故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，ln2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln2，)， f(x)在xln2處取得極小值，極小值為f(ln2)eln22ln22a2(1ln2a) (2)證明：設(shè)g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR. 由(1)知當(dāng)aln21時(shí)，g(x)最小值為g(ln2)2(1ln2a)0. 于是對任意xR，都有g(shù)(x)0，所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增 于是當(dāng)aln21時(shí)，對任意x(0，)，都有g(shù)(x)g(0) 而g(0)0，從而對任意x(0，)，g(x)0. 即exx22ax10，故exx22ax1.
高中數(shù)學(xué) 3章末課件 新人教B版選修1
