【創(chuàng)新設計】高考數(shù)學北師大版一輪訓練：第9篇 第4講 隨機事件的概率數(shù)學大師 高考

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1、第4講　隨機事件的概率 基礎鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、選擇題 1．若在同等條件下進行n次重復試驗得到某個事件A發(fā)生的頻率f(n)，則隨著n的逐漸增加，有 (　　)． A．f(n)與某個常數(shù)相等 B．f(n)與某個常數(shù)的差逐漸減小 C．f(n)與某個常數(shù)差的絕對值逐漸減小 D．f(n)在某個常數(shù)附近擺動并趨于穩(wěn)定 解析　隨著n的增大，頻率f(n)會在概率附近擺動并趨于穩(wěn)定，這也是頻率與概率的關系． 答案　D 2．從裝有5個紅球和3個白球的口袋內(nèi)任取3個球，那么互斥而不對立的事件是 (　　)． A．至少有一個紅球與都是紅球 B．至少有一個紅球與都是白球

2、C．至少有一個紅球與至少有一個白球 D．恰有一個紅球與恰有二個紅球 解析　對于A中的兩個事件不互斥，對于B中兩個事件互斥且對立，對于C中兩個事件不互斥，對于D中的兩個互斥而不對立． 答案　D 3．從某班學生中任意找出一人，如果該同學的身高小于160 cm的概率為0.2，該同學的身高在[160,175](單位：cm)內(nèi)的概率為0.5，那么該同學的身高超過175 cm的概率為 (　　)． A．0.2 B．0.3　　 C．0.7 D．0.8 解析　由題意知該同學的身高超過175 cm的概率為1－0.2－0.5＝0.3，故選B. 答案　B 4．(2014·沈陽模擬)從裝有3個紅球、

3、2個白球的袋中任取3個球，則所取的3個球中至少有1個白球的概率是 (　　)． A. B．　　 C. D． 解析　從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球通過列舉知共有10個基本事件；所取的3個球中至少有1個白球的反面為“3個球均為紅色”，有1個基本事件，所以所取的3個球中至少有1個白球的概率是1－＝. 答案　D 5．(2013·陜西卷)對一批產(chǎn)品的長度(單位：毫米)進行抽樣檢測，下圖為檢測結果的頻率分布直方圖．根據(jù)標準，產(chǎn)品長度在區(qū)間[20,25)上為一等品，在區(qū)間[15,20)和[25,30)上為二等品，在區(qū)間[10,15)和[30,35]上為三等品．用頻率估計概率，現(xiàn)從該批產(chǎn)品

4、中隨機抽取1件，則其為二等品的概率是 (　　)． A．0.09 B．0.20　　 C．0.25 D．0.45 解析　由頻率分布直方圖可知，一等品的頻率為0.06×5＝0.3，三等品的頻率為0.02×5＋0.03×5＝0.25，所以二等品的頻率為1－(0.3＋0.25)＝0.45.用頻率估計概率可得其為二等品的概率為0.45. 答案　D 二、填空題 6．(2014·鄭州模擬)拋擲一粒骰子，觀察擲出的點數(shù)，設事件A為出現(xiàn)奇數(shù)點，事件B為出現(xiàn)2點，已知P(A)＝，P(B)＝，則出現(xiàn)奇數(shù)點或2點的概率為________． 解析　因為事件A與事件B是互斥事件，所以P(A＋B)＝P(

5、A)＋P(B)＝＋＝. 答案　 7．從一副混合后的撲克牌(52張)中，隨機抽取1張，事件A為“抽得紅桃K”，事件B為“抽得黑桃”，則概率P(A＋B)＝________(結果用最簡分數(shù)表示)． 解析　∵P(A)＝，P(B)＝， ∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝＝. 答案　 8．(2014·南昌模擬)某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品．若生產(chǎn)中出現(xiàn)乙級品的概率為0.03，丙級品的概率為0.01，則對成品抽查一件抽得正品的概率為________． 解析　記“生產(chǎn)中出現(xiàn)甲級品、乙級品、丙級品”分別為事件A，B，C.則A，B，C彼此互斥，由題意可得P(B)＝0.03，P

6、(C)＝0.01，所以P(A)＝1－P(B＋C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝0.96. 答案　0.96 三、解答題 9．袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率是，黑球或黃球的概率是，綠球或黃球的概率也是，求從中任取一球，得到黑球、黃球和綠球的概率分別是多少？ 解　從袋中任取一球，記事件“得到紅球”“得到黑球”“得到黃球”“得到綠球”分別為A、B、C、D，則事件A、B、C、D彼此互斥，所以有 P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝， P(D＋C)＝P(D)＋P(C)＝，P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)

7、＝1－＝，解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝. 故從中任取一球，得到黑球、黃球和綠球的概率分別是，，. 10．某種產(chǎn)品的質量以其質量指標值衡量，質量指標值越大表明質量越好，且質量指標值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質品．現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為A配方和B配方)做試驗，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測量了每件產(chǎn)品的質量指標值，得到下面試驗結果： A配方的頻數(shù)分布表 指標值分組 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 頻數(shù) 8 20 42 22 8 B配方的頻數(shù)分布表 指標值分組 [90,94) [94,98)

8、 [98,102) [102,106) [106,110] 頻數(shù) 4 12 42 32 10 (1)分別估計用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質品率； (2)已知用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤y(單位：元)與其質量指標值t的關系式為y＝估計用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0的概率，并求用B配方生產(chǎn)的上述100件產(chǎn)品平均一件的利潤． 解　(1)由試驗結果知，用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質品的頻率為＝0.3，所以用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質品率的估計值為0.3. 由試驗結果知，用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質品的頻率為＝0.42，所以用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質品率的估計值為0.42. (2)由條件

9、知，用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0，當且僅當其質量指標值t≥94，由試驗結果知，質量指標值t≥94的頻率為0.96.所以用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0的概率估計值為0.96.用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品平均一件的利潤為×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68(元)． 能力提升題組 (建議用時：25分鐘) 一、選擇題 1．(2014·九江模擬)某城市2013年的空氣質量狀況如下表： 污染指數(shù)T 30 60 100 110 130 140 概率P 其中污染指數(shù)T≤50時，空氣質量為優(yōu)；50＜T≤100時，空氣質量為良；100＜T≤150時

10、，空氣質量為輕微污染，則該城市2013年空氣質量達到良或優(yōu)的概率為 (　　)． A. B．　　 C. D． 解析　由題意可知2013年空氣質量達到良或優(yōu)的概率為P＝＋＋＝. 答案　A 2．(2014·鎮(zhèn)安中學模擬)在5張電話卡中，有3張移動卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動卡”的概率是，那么概率是的事件是 (　　)． A．至多有一張移動卡 B．恰有一張移動卡 C．都不是移動卡 D．至少有一張移動卡 解析　至多有一張移動卡包含“一張移動卡，一張聯(lián)通卡”“兩張全是聯(lián)通卡”兩個事件，它是“2張全是移動卡”的對立事件． 答案　A 二、填空題 3．某中學部分學生

11、參加全國高中數(shù)學競賽取得了優(yōu)異成績，指導老師統(tǒng)計了所有參賽同學的成績(成績都為整數(shù)，試題滿分120分)，并且繪制了條形統(tǒng)計圖(如下圖所示)，則該中學參加本次數(shù)學競賽的人數(shù)為________，如果90分以上(含90分)獲獎，那么獲獎的概率大約是________． 解析　由題圖可知，參加本次競賽的人數(shù)為4＋6＋8＋7＋5＋2＝32；90分以上的人數(shù)為7＋5＋2＝14，所以獲獎的頻率為＝0.437 5，即本次競賽獲獎的概率大約是0.437 5. 答案　32　0.437 5 三、解答題 4．如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機抽取100位從A地到達火車站的人進行調查，調查結果如

12、下： 所用時間/分鐘 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 選擇L1的人數(shù) 6 12 18 12 12 選擇L2的人數(shù) 0 4 16 16 4 (1)試估計40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率； (2)分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表中各時間段內(nèi)的頻率； (3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時間內(nèi)趕到火車站，試通過計算說明，他們應如何選擇各自的路徑． 解　(1)由已知共調查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12＋12＋16＋4＝44(人)， ∴用頻率估計相應的概率

13、為0.44. (2)選擇L1的有60人，選擇L2的有40人，故由調查結果得頻率為： 所用時間/分鐘 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 L1的頻率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L2的頻率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 (3)設A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時，在50分鐘內(nèi)趕到火車站． 由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6， P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)＞P(A2)，∴甲應選擇L1； 同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8， P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9， P(B2)＞P(B1)，∴乙應選擇L2.