新版高三數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)作業(yè)：第十章 計(jì)數(shù)原理 第八節(jié)　離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布 Word版含解析

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1、 1

2、 1 第八節(jié)　離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布 A組　基礎(chǔ)題組 1.若離散型隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 P a2 a22 則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=(　　)　 A.2 B.2或12 C.12 D.1 2.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,σ2),且P(X<5)=0.8,則P(1

3、.2 3.若X~B(n,p),且EX=6,DX=3,則P(X=1)的值為(　　) A.3·2-2 B.2-4 C.3·2-10 D.2-8 4.(20xx河北衡水二調(diào))在某次數(shù)學(xué)測(cè)試中,學(xué)生成績(jī)?chǔ)畏恼龖B(tài)分布N(100,σ2)(σ>0),若ξ在(80,120)內(nèi)的概率為0.8,則ξ在(0,80)內(nèi)的概率為(　　) A.0.05 B.0.1 C.0.15 D.0.2 5.(20xx四川,12,5分)同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí),就說(shuō)這次試驗(yàn)成功,則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是　　　　.? 6.某校在一次月考中約有600人參加考試,數(shù)學(xué)考試的成績(jī)?chǔ)蝵N(90

4、,a2)(a>0,試卷滿分為150分),統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的35,則此次月考中數(shù)學(xué)考試成績(jī)不低于110分的學(xué)生約有　　　　人.? 7.某超市為了響應(yīng)環(huán)保要求,鼓勵(lì)顧客自帶購(gòu)物袋到超市購(gòu)物,采取了如下措施:對(duì)不使用超市塑料購(gòu)物袋的顧客,超市給予9.6折優(yōu)惠;對(duì)需要超市塑料購(gòu)物袋的顧客,既要付購(gòu)買費(fèi),也不享受折扣優(yōu)惠.假設(shè)該超市在某個(gè)時(shí)段內(nèi)購(gòu)物的人數(shù)為36人,其中有12位顧客自己帶了購(gòu)物袋,現(xiàn)從這36人中隨機(jī)抽取兩人. (1)求這兩人都享受折扣優(yōu)惠或都不享受折扣優(yōu)惠的概率; (2)設(shè)這兩人中享受折扣優(yōu)惠的人數(shù)為ξ,求ξ的分布列和均值.

5、 8.(20xx河南鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè))某中學(xué)根據(jù)2003—間學(xué)生的興趣愛(ài)好,分別創(chuàng)建了“攝影”“棋類”“國(guó)學(xué)”三個(gè)社團(tuán),據(jù)資料統(tǒng)計(jì),新生通過(guò)考核選拔進(jìn)入這三個(gè)社團(tuán)成功與否相互獨(dú)立.某新生入學(xué),假設(shè)他通過(guò)考核選拔進(jìn)入該校的“攝影”“棋類”“國(guó)學(xué)”三個(gè)社團(tuán)的概率依次為m,13,n,已知三個(gè)社團(tuán)他都能進(jìn)入的概率為124,至少能進(jìn)入一個(gè)社團(tuán)的概率為34,且m>n. (1)求m與n的值; (2)該校根據(jù)三個(gè)社團(tuán)活動(dòng)安排情況,對(duì)進(jìn)入“攝影”社團(tuán)的同學(xué)增加校本選修學(xué)分1分,對(duì)進(jìn)入“棋類”社團(tuán)的同學(xué)增加校本選修學(xué)分2分,對(duì)進(jìn)入“國(guó)學(xué)”社團(tuán)的同學(xué)增加校本選修學(xué)分3分.求該新同學(xué)在社團(tuán)方面獲得校本選修課學(xué)分分

6、數(shù)的分布列及期望. B組　提升題組 9.(20xx廣西桂林三市調(diào)研)某市教育部門規(guī)定,高中學(xué)生三年在校期間必須參加不少于80小時(shí)的社區(qū)服務(wù).教育部門在全市隨機(jī)抽取200位學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的數(shù)據(jù),按時(shí)間段75,80),80,85),85,90),90,95),95,100](單位:小時(shí))進(jìn)行統(tǒng)計(jì),其頻率分布直方圖如圖所示. (1)求抽取的200位學(xué)生中參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的學(xué)生人數(shù),并估計(jì)從全市高中學(xué)生中任意選取一人,其參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的概率; (2)從全市高中學(xué)生(人數(shù)很多)中任意選取3位學(xué)生,記X為3位學(xué)生中參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小

7、時(shí)的人數(shù).試求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X). 10.為回饋顧客,某商場(chǎng)擬通過(guò)摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),規(guī)定:每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球,球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額. (1)若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元,其余3個(gè)均為10元,求: (i)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率; (ii)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望; (2)商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60000元,并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成,或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧

8、客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡,請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì),并說(shuō)明理由.  答案全解全析 A組　基礎(chǔ)題組 1.C　因?yàn)榉植剂兄懈怕屎蜑?,所以a2+a22=1,即a2+a-2=0,解得a=-2(舍去)或a=1,所以E(X)=12.故選C. 2.C　由正態(tài)曲線的對(duì)稱性可知,P(X<3)=P(X>3)=0.5,故P(X>1)=P(X<5)=0.8,所以P(X≤1)=1-P(X>1)=0.2,P(1

9、DX=np(1-p)=3,∴p=12,n=12,則P(X=1)=C121·12·1211=3·2-10. 4.B　由題意,得P(80<ξ<100)=P(100<ξ<120)=0.4,P(0<ξ<100)=0.5,∴P(0<ξ<80)=0.1. 5.答案　32 解析　同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,至少有一枚硬幣正面向上的概率為1-122=34,且X~B2,34, ∴均值是2×34=32. 6.答案　120 解析　∵成績(jī)?chǔ)蝵N(90,a2),∴其正態(tài)分布曲線關(guān)于直線x=90對(duì)稱,又∵成績(jī)?cè)?0分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的35,由對(duì)稱性知成績(jī)不低于110分的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的12×1-

10、35=15,∴此次月考中數(shù)學(xué)考試成績(jī)不低于110分的學(xué)生約有15×600=120(人). 7.解析　(1)設(shè)“兩人都享受折扣優(yōu)惠”為事件A,“兩人都不享受折扣優(yōu)惠”為事件B,則P(A)=C122C362=11105,P(B)=C242C362=46105. 因?yàn)槭录嗀,B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=11105+46105=1935. 故這兩人都享受折扣優(yōu)惠或都不享受折扣優(yōu)惠的概率是1935. (2)根據(jù)題意,ξ的可能取值為0,1,2. P(ξ=0)=P(B)=46105, P(ξ=1)=C121C241C362=1635, P(ξ=2)=P(A)=11105.

11、所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P 46105 1635 11105 所以E(ξ)=0×46105+1×1635+2×11105=23. 8.解析　(1)依題意知 13mn=124,1-(1-m)1-13(1-n)=34, 又m>n,∴m=12,n=14. (2)設(shè)該新同學(xué)在社團(tuán)方面獲得校本選修課的學(xué)分分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X,則隨機(jī)變量X的值可以為0,1,2,3,4,5,6. P(X=0)=12×23×34=14; P(X=1)=12×23×34=14; P(X=2)=12×13×34=18; P(X=3)=12×23×14+12×13×34=524; P(X=

12、4)=12×23×14=112; P(X=5)=12×13×14=124; P(X=6)=12×13×14=124. ∴X的分布列為 X 0 1 2 3 4 5 6 P 14 14 18 524 112 124 124 ∴E(X)=0×14+1×14+2×18+3×524+4×112+5×124+6×124=2312. B組　提升題組 9.解析　(1)根據(jù)題意, 參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間在時(shí)間段90,95)的學(xué)生人數(shù)為200×0.06×5=60, 參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間在時(shí)間段95,100]的學(xué)生人數(shù)為200×0.02×5=20, 所以抽取的200位學(xué)生

13、中參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的學(xué)生有80人. 故從全市高中學(xué)生中任意選取一人,其參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的概率約為P=80200=25. (2)由(1)可知,從全市高中學(xué)生中任意選取1人,其參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的概率約為25. 由已知得隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3, 則P(X=0)=C30250353=27125; P(X=1)=C31251352=54125; P(X=2)=C32252351=36125; P(X=3)=C33253350=8125. 所以隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P 27125 54125 36

14、125 8125 因?yàn)閄~B3,25,所以E(X)=3×25=65. 10.解析　(1)設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X元. (i)依題意,得P(X=60)=C11C31C42=12, 即顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率為12. (ii)依題意,得X的所有可能取值為20,60. P(X=60)=12,P(X=20)=C32C42=12, 所以X的分布列為 X 20 60 P 0.5 0.5 所以顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望為E(X)=20×0.5+60×0.5=40元. (2)根據(jù)商場(chǎng)的預(yù)算,每位顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為60元. 所以,先尋找期望為60元的可能方案. 對(duì)于面值由10

15、元和50元組成的情況,如果選擇(10,10,10,50)的方案,因?yàn)?0元是面值之和的最大值,所以期望不可能為60元;如果選擇(50,50,50,10)的方案,因?yàn)?0元是面值之和的最小值,所以期望也不可能為60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),記為方案1. 對(duì)于面值由20元和40元組成的情況,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),記為方案2. 以下是對(duì)兩個(gè)方案的分析: 對(duì)于方案1,即方案(10,10,50,50),設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X1元,則X1的分布列為 X1 20 60 100

16、P 16 23 16 X1的期望為E(X1)=20×16+60×23+100×16=60, X1的方差為D(X1)=(20-60)2×16+(60-60)2×23+(100-60)2×16=16003. 對(duì)于方案2,即方案(20,20,40,40),設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X2元,則X2的分布列為 X2 40 60 80 P 16 23 16 X2的期望為E(X2)=40×16+60×23+80×16=60, X2的方差為D(X2)=(40-60)2×16+(60-60)2×23+(80-60)2×16=4003. 雖然兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望都符合要求,但方案2獎(jiǎng)勵(lì)額的方差比方案1的小,所以應(yīng)該選擇方案2.