精編高中數(shù)學(xué)北師大版必修三教學(xué)案：第三章167;2第1課時 古典概型的特征和概率計算公式 Word版含答案

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 第1課時　古典概型的特征和概率計算公式 [核心必知] 1．古典概型 具有以下兩個特征的隨機(jī)試驗的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型(古典的概率模型)． (1)有限性：即試驗的所有可能結(jié)果只有有限個，每次試驗只出現(xiàn)其中的一個結(jié)果； (2)等可能性：即每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同． 2．古典概型概率公式 對于古典概型，通常試驗中的某一事件A是由幾個基本事件組成的.如果試驗的所有可能結(jié)果(基本事件)數(shù)為n，隨機(jī)事件A包含的基本事件數(shù)為m，那么事件A的概率規(guī)定為 P(A)＝＝. [問題思考] 1．?dāng)S一枚骰子共有多少種不同的結(jié)果？ 提示：6種． 2．下列試驗中

2、，是古典概型的有(　　) A．放飛一只信鴿觀察其能否飛回 B．從規(guī)格直徑為(250±0.6)mm的一批合格產(chǎn)品中任意取一件，測量其直徑 C．拋擲一枚硬幣，觀察其出現(xiàn)正面或反面 D．某人射擊中靶或不中靶 提示：只有選項C具有：(1)有限性：試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；(2)等可能性：每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等． 講一講 1.下列試驗中是古典概型的是(　　) A．在適宜的條件下，種下一粒種子，觀察它是否發(fā)芽 B．口袋里有2個白球和2個黑球，這4個球除顏色外完全相同，從中任取一球 C．向正方形ABCD內(nèi)隨機(jī)拋擲一點，該點落在正方形內(nèi)任意一點都是等可能的

3、 D．在區(qū)間[0,6]上任取一點，求此點小于2的概率 [嘗試解答]　 選項 分析 結(jié)果 A 發(fā)芽與不發(fā)芽的概率不同 不是 B 摸到白球與黑球的概率都是 是 C 基本事件有無限個 不是 D 區(qū)間上有無窮多個點，不滿足有限性 不是 [答案]　B 判斷一個試驗是否為古典概型，關(guān)鍵是看該試驗是否具有有限性和等可能性兩個特征． 練一練 1．下列概率模型： ①在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，從橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的所有點中任取一點； ②某射手射擊一次，可能命中0環(huán)，1環(huán)，2環(huán)，…，10環(huán)； ③某小組有男生5人，女生3人，從中任選1人作演講； ④一只使

4、用中的燈泡壽命長短； ⑤中秋節(jié)前夕，某市工商部門調(diào)查轄區(qū)內(nèi)某品牌的月餅質(zhì)量，給該品牌月餅評“優(yōu)”或“差”． 其中屬于古典概型的有________． 解析：①不屬于，原因：所有橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點有無限多個，不滿足有限性；②不屬于，原因：命中0環(huán)，1環(huán)，…，10環(huán)的概率不一定相同，不滿足等可能性；③屬于，原因：顯然滿足有限性，且任選1人與學(xué)生的性別無關(guān)，是等可能的；④不屬于，原因：燈泡的壽命是任何一個非負(fù)實數(shù)，有無限多種可能，不滿足有限性；⑤不屬于，原因：該品牌月餅評為“優(yōu)”與評為“差”的概率不一定相同，不滿足等可能性． 答案：③ 講一講 2.先后拋擲兩枚大小相同的骰子，求

5、點數(shù)之和能被3整除的概率． [嘗試解答]　先后拋擲兩枚大小相同的骰子，結(jié)果如下： (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6) (2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6) (3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6) (4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6) (5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6) (6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6) 共有36種不同的結(jié)果． 記“點數(shù)之和能被3整除”為事件A，則事件A包含的基本事件共12個：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(

6、5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)．故P(A)＝＝. 求解古典概型問題的一般步驟： (1)計算所有可能的基本事件數(shù)n； (2)計算事件A包含的基本事件數(shù)m； (3)計算事件A的概率 P(A)＝＝. 運用公式的關(guān)鍵在于求出m、n.在求n時，必須確定所有可能的基本事件是等可能發(fā)生的． 練一練 2．袋中裝有除顏色外其他均相同的6個球，其中4個白球、2個紅球，從袋中任取兩球，求下列事件的概率： (1)A：取出的兩球都是白球； (2)B：取出的兩球一個是白球，另一個是紅球． 解：設(shè)4個白球的編號為1,2,3,

7、4,2個紅球的編號為5、6.從袋中的6個球中任取兩球的取法有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15種取法，且每種取法都是等可能發(fā)生的． (1)從袋中的6個球中任取兩球，所取的兩球全是白球的取法總數(shù)，即為從4個白球中任取兩球的方法總數(shù)，共有6種，即為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)． 所以P(A)＝＝； (2)從袋中的6個球中任取兩球，其中一個是白球，另一個是紅球的取法有(1,5)，(1,6)，(2,5)

8、，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8種． 所以P(B)＝. 【解題高手】【易錯題】 有1號、2號、3號3個信箱和A、B、C、D 4封信，若4封信可以任意投入信箱，投完為止，其中A恰好投入1號或2號信箱的概率是多少？ [錯解]　每封信投入1號信箱的機(jī)會均等，而且所有結(jié)果數(shù)為4，故A投入1號或2號信箱的概率為＝. [錯因]　應(yīng)該考慮A投入各個信箱的概率，而不能考慮成四封信投入某一信箱的概率． [正解]　由于每封信可以任意投入信箱，對于A投入各個信箱的可能性是相等的，一共有3種不同的結(jié)果，投入1號信箱或2號信箱有2種結(jié)果，所以所求概率為. 1．拋擲

9、一枚均勻的正方體骰子，向上的點數(shù)是5或6的概率是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D．1 解析：選B 擲一枚骰子出現(xiàn)向上的點數(shù)為1,2,3,4,5,6，共6種情況．P＝＝＝. 2．有100張卡片(從1號到100號)，從中任取一張卡片，則取得的卡片是7的倍數(shù)的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選B ∵n＝100，m＝14， ∴P＝＝＝. 3．一枚硬幣連擲2次，恰好出現(xiàn)一次正面的概率是(　　) A. B. C. D．0 解析：選 A 列舉出所有基本事件，找出“只有一次正面”包含的結(jié)果．一枚硬幣連擲2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(

10、反，正)，(反，反)共4個，而只有一次出現(xiàn)正面的包括(正，反)，(反，正)2個，故其概率為＝. 4．下列試驗是古典概型的為________． ①從6名同學(xué)中選出4人參加數(shù)學(xué)競賽，每人被選中的可能性大小 ②同時擲兩顆骰子，點數(shù)和為7的概率 ③近三天中有一天降雨的概率 ④10人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率 解析：①②④是古典概型，因為符合古典概型的定義和特點． ③不是古典概型，因為不符合等可能性，受多方面因素影響． 答案：①②④ 5．(重慶高考)若甲、乙、丙三人隨機(jī)地站成一排，則甲、乙兩人相鄰而站的概率為________． 解析：三人站成一排有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲

11、、丙甲乙、丙乙甲，共6種排法，其中甲、乙相鄰有4種排法，所以甲、乙兩人相鄰而站的概率為＝. 答案： 6．設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0，若a是從0,1,2,3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率． 解：設(shè)事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實根”． 當(dāng)a≥0，b≥0時，方程x2＋2ax＋b2＝0有實根意味著Δ＝(2a)2－4b2≥0，即a≥b. 基本事件有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共12個，其中第1個數(shù)表

12、示a的取值，第2個數(shù)表示b的取值．而事件A包含9個基本事件，故事件A發(fā)生的概率為P(A)＝＝. 一、選擇題 1．下面是古典概型的是(　　) A．任意拋擲兩粒骰子，所得的點數(shù)之和作為基本事件 B．為求任取一個正整數(shù)，該正整數(shù)平方值的個位數(shù)字是1的概率，將取出的正整數(shù)作為基本事件 C．從甲地到乙地共有n條路線，求某人正好選中最短路線的概率 D．拋擲一枚均勻硬幣至首次出現(xiàn)正面為止 解析：選C 對于A，所得點數(shù)之和為基本事件，個數(shù)雖有限但不是等可能發(fā)生的；對于B，D，基本事件的個數(shù)都是無限的；只有C是古典概型． 2．下列對古典概型的說法中正確的是(　　) ①試驗中所有可能出現(xiàn)的

13、基本事件只有有限個； ②每個事件出現(xiàn)的可能性相等； ③每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等； ④基本事件總數(shù)為n，隨機(jī)事件A若包含k個基本事件，則P(A)＝. A．②④ B．①③④ C．①④ D．③④ 解析：選B ②中所說的事件不一定是基本事件，所以②不正確；根據(jù)古典概型的特點及計算公式可知①③④正確． 3．在5張卡片上分別寫上數(shù)字1,2,3,4,5，然后將它們混合后，再任意排成一行，則得到的五位數(shù)能被2或5整除的概率是(　　) A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 解析：選C 一個五位數(shù)能否被5整除關(guān)鍵看其個位數(shù)字，而由1,2,3,4,5組成的五位數(shù)中，1

14、,2,3,4,5出現(xiàn)在個位是等可能的．所以個位數(shù)字的基本事件有1,2,3,4,5，“能被2或5整除”這一事件中含有基本事件2,4,5，概率為＝0.6. 4．從1,2,3,4這四個數(shù)字中，任取兩個不同的數(shù)字構(gòu)成一個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)大于30的概率為(　　) A.　　 B. C. D. 解析：選 A 從1,2,3,4這四個數(shù)字中，任取兩個不同的數(shù)字，可構(gòu)成12個兩位數(shù)：12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43，其中大于30的有：31,32,34,41,42,43共6個，所以所得兩位數(shù)大于30的概率為P＝＝. 5．4張卡片

15、上分別寫有數(shù)字1,2,3,4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選C 從4張卡片中隨機(jī)抽取2張，對應(yīng)的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，故基本事件總數(shù)n＝6.且每個基本事件發(fā)生的可能性相等．設(shè)事件A＝“取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則A中所含的基本事件為：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，故m＝4，綜上可知所求事件的概率P(A)＝＝. 二、填空題 6．三張卡片上分別寫上字母E，E，B，將三張卡片隨機(jī)地排成一行，恰好排成英文單詞BE

16、E的概率為________． 解析：三張卡片的排列方法有EEB，EBE，BEE，共3種．且等可能出現(xiàn)，則恰好排成英文單詞BEE的概率為. 答案： 7．(江蘇高考)從1,2,3,4這四個數(shù)中一次隨機(jī)地取兩個數(shù)，則其中一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍的概率是________． 解析：采用枚舉法：從1,2,3,4這四個數(shù)中一次隨機(jī)取兩個數(shù)，基本事件為：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6個，符合“一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍”的基本事件有{1,2}，{2,4}，共2個，所以所求的概率為. 答案： 8．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣先后拋擲三次，恰好出現(xiàn)一次正面向上的概率是_

17、_______． 解析：所有的基本事件為(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共8組．設(shè)“恰好出現(xiàn)1次正面向上”為事件A，則A包含(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，共3個基本事件，所以P(A)＝. 答案： 三、解答題 9．設(shè)b和c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數(shù)，求方程x2＋bx＋c＝0有實根的概率． 解：設(shè)事件A為“方程x2＋bx＋c＝0有實根”，則 A＝{(b，c)|b2－4c≥0，b，c＝1,2，…，6}． 而(b，c)共有 (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1

18、,5)(1,6)， (2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)， (3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)， (4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)， (5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)， (6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)， 共36組． 其中，可使事件A成立的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,

19、5)，(6,6)，共19組． 故事件A的概率為P(A)＝. 10．(山東高考)袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標(biāo)號分別為1,2,3；藍(lán)色卡片兩張，標(biāo)號分別為1,2. (1)從以上五張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于4的概率； (2)向袋中再放入一張標(biāo)號為0的綠色卡片，從這六張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于4的概率． 解：(1)標(biāo)號為1,2,3的三張紅色卡片分別記為A，B，C，標(biāo)號為1,2的兩張藍(lán)色卡片分別記為D，E，從五張卡片中任取兩張的所有可能的結(jié)果為：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，

20、D)，(C，E)，(D，E)，共10種． 由于每一張卡片被取到的機(jī)會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的． 從五張卡片中任取兩張，這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號之和小于4的結(jié)果為：(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3種． 所以這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號之和小于4的概率為. (2)記F為標(biāo)號為0的綠色卡片，從六張卡片中任取兩張的所有可能的結(jié)果為： (A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共15種． 由于每一張卡片被取到的機(jī)會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的． 從六張卡片中任取兩張，這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號之和小于4的結(jié)果為：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F(xiàn))，(B，F(xiàn))，(C，F(xiàn))，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共8種． 所以這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號之和小于4的概率為.