高三數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)夯基提能作業(yè)本：第九章 平面解析幾何 第六節(jié)　雙曲線 Word版含解析

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1、 第六節(jié)　雙曲線 A組　基礎(chǔ)題組 1.已知橢圓+=1(a>0)與雙曲線-=1有相同的焦點(diǎn),則a的值為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C.4 D. 2.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與圓x2+y2-10x=0的圓心重合,且雙曲線的離心率等于,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 3.已知a>b>0,橢圓C1的方程為+=1,雙曲線C2的方程為-=1,C1與C2的離心率之積為,則C2的漸近線方程為(　　) A.x±y=0 B.x±y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0 4.(2015課標(biāo)Ⅰ,

2、5,5分)已知M(x0,y0)是雙曲線C:-y2=1上的一點(diǎn),F1,F2是C的兩個(gè)焦點(diǎn).若·<0,則y0的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 5.設(shè)F1,F2分別為雙曲線-=1(a>0,b>0)的左,右焦點(diǎn).若在雙曲線右支上存在點(diǎn)P,滿足|PF2|=|F1F2|,且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng),則該雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D. 6.(2016北京,12,5分)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線為2x+y=0,一個(gè)焦點(diǎn)為(,0),則a=　　　;b=　　　　.? 7.設(shè)中心在原點(diǎn)的雙曲線與橢圓+y2=1有公共的焦點(diǎn),且它們的離心率互為

3、倒數(shù),則該雙曲線的方程是　　　　　　　.? 8.已知F1,F2為雙曲線-=1(a>0,b>0)的焦點(diǎn),過(guò)F2作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)P和Q,且△F1PQ為正三角形,則雙曲線的漸近線方程為　　　　.? 9.已知雙曲線的中心在原點(diǎn),左,右焦點(diǎn)F1,F2在坐標(biāo)軸上,離心率為,且過(guò)點(diǎn)(4,-). (1)求雙曲線的方程; (2)若點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上,求證:·=0. 10.已知雙曲線E:-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別為l1:y=2x,l2:y=-2x. (1)求雙曲線E的離心率; (2)如圖,O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)直線l分別交直線l1,l2于A,B兩點(diǎn)(A

4、,B分別在第一、四象限),且△OAB的面積恒為8.試探究:是否存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E.若存在,求出雙曲線E的方程. B組　提升題組 11.(2016安徽江南十校3月聯(lián)考)已知l是雙曲線C:-=1的一條漸近線,P是l上的一點(diǎn),F1,F2是C的兩個(gè)焦點(diǎn),若·=0,則P到x軸的距離為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C.2 D. 12.(2016吉林長(zhǎng)春二模)過(guò)雙曲線x2-=1的右支上一點(diǎn)P分別向圓C1:(x+4)2+y2=4和圓C2:(x-4)2+y2=1作切線,切點(diǎn)分別為M,N,則|PM|2-|PN|2的最小值為(　　)　　　　　　

5、　　　　　　　　　　　　 A.10 B.13 C.16 D.19 13.(2016北京,13,5分)雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線為正方形OABC的邊OA,OC所在的直線,點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn).若正方形OABC的邊長(zhǎng)為2,則a=　　　　.? 14.已知雙曲線x2-=1的左頂點(diǎn)為A1,右焦點(diǎn)為F2,P為雙曲線右支上一點(diǎn),則·的最小值為　　　　.? 15.已知橢圓C1的方程為+y2=1,雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別是C1的左、右頂點(diǎn),而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)求雙曲線C2的方程; (2)若直線l:y=kx+與雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A

6、和B,且·>2,求k的取值范圍. 16.設(shè)A,B分別為雙曲線-=1(a>0,b>0)的左,右頂點(diǎn),雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4,焦點(diǎn)到漸近線的距離為. (1)求雙曲線的方程; (2)已知直線y=x-2與雙曲線的右支交于M,N兩點(diǎn),且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)D,使+=t,求t的值及點(diǎn)D的坐標(biāo). 答案全解全析 A組　基礎(chǔ)題組 1.C　因?yàn)闄E圓+=1(a>0)與雙曲線-=1有相同的焦點(diǎn)(±,0),則有a2-9=7,所以a=4. 2.A　由題意知圓心坐標(biāo)為(5,0),即c=5,又e==,所以a=,所以a2=5,b2=20

7、,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1. 3.A　設(shè)橢圓C1和雙曲線C2的離心率分別為e1和e2,則e1=,e2=.因?yàn)閑1·e2=,所以=,即=,∴=. 故雙曲線的漸近線方程為y=±x=±x,即x±y=0. 4.A　若·=0,則點(diǎn)M在以原點(diǎn)為圓心,半焦距c=為半徑的圓上,則解得=.可知:·<0?點(diǎn)M在圓x2+y2=3的內(nèi)部?

8、或e=-1(舍去). 6.答案　1;2 解析　由題可知雙曲線焦點(diǎn)在x軸上, 故漸近線方程為y=±x,又一條漸近線為2x+y=0,即y=-2x,∴=2,即b=2a. 又∵該雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為(,0), ∴c=. 由a2+b2=c2可得a2+(2a)2=5, 解得a=1,b=2. 7.答案　2x2-2y2=1 解析　∵橢圓的焦點(diǎn)為(±1,0),∴雙曲線的焦點(diǎn)為(±1,0).∵橢圓的離心率e=,∴雙曲線的離心率e'=.∴雙曲線中c2=2a2,∴1=2a2,∴a2=,又雙曲線中b2=c2-a2,∴b2=,∴所求雙曲線的方程為2x2-2y2=1. 8.答案　y=±x 解析　解法一:

9、設(shè)F2(c,0)(c>0),P(c,y0), 代入雙曲線方程得y0=±, ∵PQ⊥x軸,∴|PQ|=. 在Rt△F1F2P中,∠PF1F2=30°, ∴|F1F2|=|PF2|,即2c=·. 又∵c2=a2+b2, ∴b2=2a2或2a2=-3b2(舍去), ∵a>0,b>0,∴=. 故所求雙曲線的漸近線方程為y=±x. 解法二:∵在Rt△F1F2P中,∠PF1F2=30°, ∴|PF1|=2|PF2|. 由雙曲線定義知|PF1|-|PF2|=2a, ∴|PF2|=2a, 由已知易得|F1F2|=|PF2|, ∴2c=2a,∴c2=3a2=a2+b2,∴2a2=b2

10、, ∵a>0,b>0,∴=, 故所求雙曲線的漸近線方程為y=±x. 9.解析　(1)∵e=,∴可設(shè)雙曲線的方程為x2-y2=λ(λ≠0). ∵雙曲線過(guò)點(diǎn)(4,-),∴16-10=λ,即λ=6, ∴雙曲線的方程為x2-y2=6. (2)證法一:由(1)可知,雙曲線中a=b=, ∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0), ∴=,=, ∴·==-. ∵點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上,∴9-m2=6,m2=3, 故·=-1,∴MF1⊥MF2,即·=0. 證法二:由證法一知=(-3-2,-m), =(2-3,-m), ∴·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2, ∵點(diǎn)M在

11、雙曲線上, ∴9-m2=6,即m2-3=0, ∴·=0. 10.解析　(1)因?yàn)殡p曲線E的漸近線方程分別為y=2x,y=-2x,所以=2,所以=2,故c=a, 從而雙曲線E的離心率e==. (2)由(1)知,雙曲線E的方程為-=1. 設(shè)直線l與x軸相交于點(diǎn)C. 當(dāng)l⊥x軸時(shí),若直線l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn), 則|OC|=a,|AB|=4a, 又因?yàn)椤鱋AB的面積為8, 所以|OC|·|AB|=8,因此a·4a=8,解得a=2, 此時(shí)雙曲線E的方程為-=1. B組　提升題組 11.C　F1(-,0),F2(,0),不妨設(shè)l的方程為y=x,則可設(shè)P(x0,x0)

12、,由·=(--x0,-x0)·(-x0,-x0)=3-6=0,得x0=±,故P到x軸的距離為|x0|=2,故選C. 12.B　由題意可知,|PM|2-|PN|2=(|PC1|2-4)-(|PC2|2-1) =|PC1|2-|PC2|2-3=(|PC1|-|PC2|)·(|PC1|+|PC2|)-3 =2(|PC1|+|PC2|)-3≥2|C1C2|-3=13,故選B. 13.答案　2 解析　由OA、OC所在的直線為漸近線,且OA⊥OC,知兩條漸近線的夾角為90°,從而雙曲線為等軸雙曲線,則其方程為x2-y2=a2.OB是正方形的對(duì)角線,且點(diǎn)B是雙曲線的焦點(diǎn),則c=2,根據(jù)c2=2a2

13、可得a=2. 14.答案　-2 解析　由已知可得A1(-1,0),F2(2,0),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)(x≥1),則·=(-1-x,-y)·(2-x,-y)=x2-x-2+y2,因?yàn)閤2-=1,所以·=4x2-x-5,當(dāng)x=1時(shí),·有最小值-2. 15.解析　(1)設(shè)雙曲線C2的方程為-=1(a>0,b>0),則a2=4-1=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1,故雙曲線C2的方程為-y2=1. (2)將y=kx+代入-y2=1,得(1-3k2)x2-6kx-9=0. 由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點(diǎn),得 ∴k2<1且k2≠.① 設(shè)A(x1,y1),B(x2,

14、y2), 則x1+x2=,x1x2=. ∴·=x1x2+y1y2 =x1x2+(kx1+)(kx2+) =(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+2 =. 又∵·>2, ∴>2,即>0, 解得