高中數(shù)學(xué) 第3章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 1.1 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性課件 北師大版選修2-2.ppt

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第三章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 1函數(shù)的單調(diào)性與極值1 1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 課前預(yù)習(xí)學(xué)案 1 對于函數(shù)f x x2 2x 1 寫出函數(shù)的遞增區(qū)間和遞減區(qū)間 2 在遞增區(qū)間內(nèi) 導(dǎo)函數(shù)f x 的符號確定嗎 在遞減區(qū)間內(nèi)呢 提示 1 遞增區(qū)間為 1 遞減區(qū)間為 1 2 f x 2x 2 故在遞增區(qū)間 1 內(nèi) f x 0 在遞減區(qū)間 1 內(nèi) f x 0 函數(shù)在區(qū)間 a b 上的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的符號有如下關(guān)系 利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)單調(diào)性 增加減少常函數(shù) 1 判斷函數(shù)單調(diào)性時 f x 0能推出f x 為增函數(shù) 但反之不一定 如函數(shù)f x x3在 上增加 但f x 0 f x 0是f x 為增函數(shù)的充分不必要條件 當(dāng)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f x 0 則f x 為常數(shù)函數(shù) 不具單調(diào)性 所以f x 0是f x 為增函數(shù)的必要不充分條件 2 求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟 確定函數(shù)f x 的定義域 求導(dǎo)數(shù)f x 由f x 0 或f x 0 解出相應(yīng)的x的范圍 當(dāng)f x 0時 f x 在相應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù) 當(dāng)f x 0時 f x 在相應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù) 3 f x 2x3 4x2 5的單調(diào)增區(qū)間是 4 求函數(shù)y x4 2x2 6的單調(diào)區(qū)間 解析 y 4x3 4x 令y 0即4x3 4x 0 解得 1 x 0或x 1 因此單調(diào)增區(qū)間為 1 0 和 1 令y 0 即4x3 4x 0 解得x 1或0 x 1 因此單調(diào)減區(qū)間為 1 和 0 1 課堂互動講義 利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性 用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)單調(diào)性的步驟 1 求出y f x 的導(dǎo)數(shù)f x 2 證明導(dǎo)數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)恒正 恒負(fù) 3 下結(jié)論 y f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)為增加的 減少的 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 規(guī)范解答 1 f x 6x2 12x 令f x 0 即6x2 12x 0 解得x 0或x 2 令f x 0 即6x2 12x 0 解得0 x 2 所以 該函數(shù)的遞增區(qū)間是 0 和 2 遞減區(qū)間是 0 2 2分 綜上函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是 0 單調(diào)減區(qū)間是 1 0 2 y x2 a a2 x a3 x a x a2 當(dāng)a 0時 a2 a 若x a或x a2 則f x 0 f x 單調(diào)遞增 若a x a2 則f x 0 f x 單調(diào)遞減 當(dāng)0 a 1時 a2 a 若x a2或x a 則f x 0 f x 單調(diào)遞增 若a2 x a 則f x 0 f x 單調(diào)遞減 當(dāng)a 1時 a2 a若x a或x a2 則f x 0 f x 單調(diào)遞增 若a x a2 則f x 0 f x 單調(diào)遞減 當(dāng)a 0或a 1時 a2 a 此時f x 0 f x 在R上單調(diào)遞增 綜上所述 當(dāng)a 0或a 1時 函數(shù)f x 的單調(diào)增區(qū)間是 a 和 a2 單調(diào)減區(qū)間是 a a2 當(dāng)0 a 1時 函數(shù)f x 的單調(diào)增區(qū)間是 a2 和 a 單調(diào)減區(qū)間是 a2 a 當(dāng)a 0或a 1時 f x 單調(diào)增區(qū)間是 無遞減區(qū)間 若函數(shù)f x ax3 x2 x 5在 上是增加的 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 思路導(dǎo)引 欲求實(shí)數(shù)a的取值范圍 需要建立關(guān)于a的關(guān)系式 利用不等式的知識進(jìn)行求解 由f x 在R上是增加的知 f x 0對x R恒成立 從而轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問題求解 由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍 利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍的解題規(guī)律 1 已知函數(shù)的單調(diào)性 求參數(shù)的范圍 這是一種非常重要的題型 在某個區(qū)間上f x 0 或f x 0 f x 在這個區(qū)間上單調(diào)遞增 或遞減 但由f x 在這個區(qū)間上單調(diào)遞增 或遞減 而僅僅得到f x 0 或f x 0 是不夠的 即還有可能f x 0也能使f x 在這個區(qū)間上單調(diào) 因而對于能否取到等號的問題需要單獨(dú)驗(yàn)證 2 有些問題也可以由導(dǎo)函數(shù)f x 0 0 在某個區(qū)域上恒成立 進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為 一個參數(shù)a g x 恒成立或a g x 恒成立問題 即 a g x 恒成立 a g x max a g x 恒成立 a g x min 3 若函數(shù)f x x3 ax2 1在 0 2 內(nèi)單調(diào)遞減 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 錯因 上述解答過程中犯了兩個錯誤 一是忽略了函數(shù)的定義域 二是求導(dǎo)過程中計算錯誤 導(dǎo)致結(jié)果出錯