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1、壓軸題提分練（一）
1. （2018威海模擬）已知橢圓
C:
2 2
x y
孑+ b2= i@> b> 0)的離心率為
且過點
，③
,動直線I: y= kx+ m交橢圓C于不同的兩點A, B,且OA OB= 0（O
為坐標原點）.
（1） 求橢圓C的方程.
（2） 討論3m2 — 2k2是否為定值？若為定值，求出該定值，若不是請說明理由. 解析：（1）由題意可知C = ￥，所以a2= 2c2= 2（a2 — b2），即a2 = 2b2,①
a 2
又點p（￥，中）在橢圓上，所以有4^+4b2=1，②
2 2
由①②聯立，解得b = 1， a =
2、 2,
2
故所求的橢圓方程為2+y2= 1.
(2)設 A(x1, y1)，B(X2, y2)，由 OA OB= 0,
可知 X1X2 + y〔y2 = 0.
y= kx+ m,
聯立方程組x2 2
G+y =1,
2 2 2
消去y化簡整理得(1 + 2k )x + 4kmx+ 2m — 2 = 0,
. 2 2 2 2 /口 2 2 十「、‘ 4km
由△= 16k m — 8(m —1)(1 + 2k )>0,得 1+ 2k >m ,所以 X1 + x2 = — 2, X1x2
1+ 2k
2
2m2 — 2
2
1 + 2k2
又由題知X1X2 +
3、y1y2= 0,
即 X1X2 + (kx1 + m)(kx2 + m) = 0,
2 2
整理為(1+ k )x1x2 + km(x1 + X2)+ m = 0.
2
2 2m — 2 4km 2
將③代入上式，得(1 + k ) 2 — km + m = 0.
1 + 2k2 1+ 2k2
2 2
3m — 2 — 2k 2 2
2
1+ 2k2
化簡整理得 —=0,從而得到3m2 — 2k2 = 2.
2 2
2. (2018 南寧二中模擬)設函數 f(x)= — a lnx+x — ax(a€ R).
(1)試討論函數f(x)的單調性;
⑵設(Kx)
4、 = 2x+ (a2— a)ln
€ R)有兩個不相等的實根
xi , X2,證明 h'
解析：(1)由 f(x) = — a2ln
x+ x2 — ax,可知
2 2 2 a 2x 一 ax一 a
f' (x)= —— + 2x— a=
x
2x+ a x— a
x .
因為函數f(x)的定義域為(0,+x)，所以,
①若a>0,當x€0, a)時，f' (x)v0函數f(x)單調遞減，當xG(a, +^)時,
>0,函數f(x)單調遞增;
②若a = 0時，f' (x) = 2x>0在xq0,+8)內恒成立，函數f(x)單調遞增;
③若av0,當xq0,—
a
5、
,f' (x)v0,函數f(x)單調遞減，當x€(—2
時，f' (x)>0,函數f(x)單調遞增.
2
(2)證明：由題可知 h(x) = f(x) + K(x) = x + (2 — a)x— aln x(x> 0),
2
a 2x + 2— ax— a 2x— a x+ 1 所以 h (x) = 2x+ (2 — a) — x=
入
所以當 x€0, |)時，h' (x)v0；
當 xq|,+8)時，h' (x)>0「x="2時，h' ?
x1 + x2
欲證h' (一^ )>0,只需證h'(
x1 + x2 a a
~^~) >h'⑥，又 h〃(x)二 2+
6、 子>0,即 h' (x)
x,記 h(x)= f(x) + K(x),當 a>0 時，若方程 h(x) = m(m
Xi + X2 a
單調遞增，故只需證明 >|.
設xi, X2是方程h(x) = m的兩個不相等的實根，不妨設為 0
7、2
2 2
故只需證明
2 xi — x2 + In xi — In X2
xi + x2 xi — X2+ 2xi — 2x2
2 2
X1 — X2+ 2xi — 2X2
即 Xi + X2> .(*)
xi — X2 + In xi — In X2
因為 xi — X2+ In xi — In X2V0,
2xi — 2x2
所以(*)式可化為In xi — In X2V
Xi + X2
即 InXi<
xi
Li
因為 00,當且僅當 t
t+ i t (t+ i)2 t(t + if
=i時，等號成立，因此R(t)在(0,i)單調遞增.
又 R(i)= 0,因此 R(t)<0, tqo,i).
2t — 2
故 Intv , tqo,i)得證,
t+1
X1 + X2 從而h' (—2 )>0得證.
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