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1、三角函數可以作為描述現實世界三角函數可以作為描述現實世界 現象的數學模型現象的數學模型.感受引入感受引入:周期周期如如:海水的潮汐現象海水的潮汐現象;物理學中的物理學中的:物體物體的簡諧運動、圓周運動、單擺運動、的簡諧運動、圓周運動、單擺運動、波的傳播、交流電等都是由周期運動波的傳播、交流電等都是由周期運動產生的現象和問題，它們往往會與三產生的現象和問題，它們往往會與三角函數產生聯系。因此，三角函數在角函數產生聯系。因此，三角函數在實際問題中有著廣泛的應用。實際問題中有著廣泛的應用。楚水實驗學校高一數學備課組三角函數的應用三角函數的應用實際應用問題實際應用問題審 題（設設）分析、聯想、抽象、轉
2、化分析、聯想、抽象、轉化構建數學模型構建數學模型數學化 （列列）尋找解題思路（解解）解答數學問題解答數學問題還原 （答答）解答應用題的基本流程解答應用題的基本流程知識回顧知識回顧:例例1.如圖，某地一天從如圖，某地一天從6時到時到14時的溫度變化曲線時的溫度變化曲線近似滿足函數近似滿足函數sin().yAxb（1）求這一時段的最大溫差；）求這一時段的最大溫差；（2）寫出這段曲線的函數解析式）寫出這段曲線的函數解析式.T/度t/ho61014102030解解：（：（1）觀察圖象可知，觀察圖象可知， 這段時間的這段時間的最大溫差是最大溫差是20C。（2）從圖中可以看出，從）從圖中可以看出，從6時到
3、時到14時的圖象是函時的圖象是函數數y=Asin(x+) +b的半個周期的圖象，所以的半個周期的圖象，所以1(30 10)20,2b1 214 682 因為點（因為點（6，10）是五點法作圖中的第四點，故）是五點法作圖中的第四點，故336,248解解 得得所求函數解析式為所求函數解析式為310sin() 206,1484yxx，1(30 10)10,2AT/度t/ho61014102030小結：小結： maxminmaxmin1 1A =f x-f xA =f x-f x2 2 maxminmaxmin1 1b=f x+f xb=f x+f x2 2利利用用求求得得2 2 T T = =， 利
4、利用用最最低低點點或或最最高高點點在在圖圖象象上上該該點點的的坐坐標標滿滿足足函函數數解解析析式式可可求求得得, , 一般的，所求出的函數模型只能近似刻一般的，所求出的函數模型只能近似刻畫這天某個時刻的溫度變化情況，因此應當畫這天某個時刻的溫度變化情況，因此應當特別注意自變量的變化范圍特別注意自變量的變化范圍.也可以利用函數的零值點來求也可以利用函數的零值點來求應用舉例應用舉例:例例2 如圖，點如圖，點O為做簡諧運動的物體的平衡位置，取為做簡諧運動的物體的平衡位置，取向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅為向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅為3cm，周期為周期為3s，且物體向右運動到距
5、平衡位置最遠處時開，且物體向右運動到距平衡位置最遠處時開始計時始計時. 求物體對平衡位置的位移求物體對平衡位置的位移x(cm)和時間和時間t(s)之間的之間的函數關系；函數關系； 求該物體在求該物體在t=5s時的位置時的位置.O Ox x= =3 3s si in n x x+ + 0 0, ,0 0 2 2 2 2 2 2 則則由由T T = = =3 3, ,可可得得 = = 3 3當當t t = = 0 0時時，有有x x = =3 3s si in n = =3 3, ,則則s si in n = =1 1 又又0 0 2 2 ，故故可可得得 = =2 22 2 2 2 所所以以，所所
6、求求函函數數關關系系為為x x= =3 3s si in nt t+ += =3 3c co os st t3 32 23 3解解（）設（）設x x和和t t之間的函數關系為：之間的函數關系為： 1 10 0 2 2 令令t t= =5 5, ,得得x x= =3 3c co os s= =- -1 1. .5 5, ,3 3故故該該物物體體在在t t= =5 5s s時時的的位位置置是是在在OO點點的的左左側側且且距距OO點點1 1. .5 5c cmm處處。例例3 一半徑為一半徑為3m的水輪如圖所示，水輪圓心距離水面的水輪如圖所示，水輪圓心距離水面2m，已知水輪每分鐘轉動，已知水輪每分鐘轉
7、動4圈，如果當水輪上點圈，如果當水輪上點P從水從水中浮現時中浮現時(圖中點圖中點P0)開始計算時間開始計算時間. 將點將點P距離水面的高度距離水面的高度z(m)表示為時間表示為時間t(s)的函數；的函數； 點點P第一次到達最高點大約要多長時間？第一次到達最高點大約要多長時間？xOyPP0-23案例探究案例探究: 海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐. 在通常情況在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后落潮時下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后落潮時返回海洋返回海洋.
8、 下面給出了某港口在某季節(jié)每天幾個時刻下面給出了某港口在某季節(jié)每天幾個時刻的水深的水深.時時 刻刻水深水深/m時時 刻刻水深水深/m時時 刻刻水深水深/m0:005.09:002.518:005.03:007.512:005.021:002.56:005.015:007.524:005.0 選用一個三角函數來近似描述這個港口的水深與選用一個三角函數來近似描述這個港口的水深與時間的函數關系，并給出在整點時的水深的近似值；時間的函數關系，并給出在整點時的水深的近似值； 一條貨船的吃水深度一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離船底與水面的距離)為為4m，安全條例規(guī)定至少要有安全條例規(guī)定至少要有1.5m
9、的安全間隙的安全間隙(船底與海底的船底與海底的距離距離)，該船何時能進入港口？，該船何時能進入港口？ 若船的吃水深度為若船的吃水深度為4m，安全間隙為，安全間隙為1.5m，該船，該船在在2:00開始卸貨，吃水深度以每小時開始卸貨，吃水深度以每小時0.3m的速度減少，的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？域？解解:（1）以時間為橫坐標，）以時間為橫坐標，水深為縱坐標，水深為縱坐標，在直角坐標系中畫出散點圖，在直角坐標系中畫出散點圖，根據圖象，可以考慮用函數根據圖象，可以考慮用函數來刻畫水深與時間之間的對應來刻畫水深與時間之
10、間的對應關系關系.從數據和圖象可以得出：從數據和圖象可以得出：sin()yAxhA=2.5,h=5,T=12, =0;由由 ，得，得2 2 T T = = =1 12 2 = =. .6 6所以，這個港口的水深與時間的關系可以近似所以，這個港口的水深與時間的關系可以近似描述為：描述為： y y = = 2 2 . .5 5 s si in nx x + + 5 56 6由上述關系式易得港口在整點時水深的近似值：由上述關系式易得港口在整點時水深的近似值：（2 2）貨船需要的安全水深為）貨船需要的安全水深為 4+1.5=5.54+1.5=5.5（米），（米），所以當所以當y5.5y5.5時就可以進
11、港時就可以進港. .令令化簡得化簡得 s si in nx x = = 0 0 . .2 26 6 2.5sinx+5=5.52.5sinx+5=5.56 6由計算器計算可得由計算器計算可得 x x 0 0. .2 20 01 14 4, ,或或 - -x x 0 0. .2 20 01 14 46 66 60.3848,5.6152ABxx0,24x因為因為 ，所以由函數周期性易得，所以由函數周期性易得12 0.3848 12.3848,12 5.6152 17.6152.CDxx解得解得因此，貨船可以在凌晨因此，貨船可以在凌晨零時零時30分左右進港，早晨分左右進港，早晨5時時30分左右出港
12、；或在中午分左右出港；或在中午12時時30分左右進港，下午分左右進港，下午17時時30分左右出港，每次可以在港口停留分左右出港，每次可以在港口停留5小時左右。小時左右。（3）設在時刻）設在時刻x船舶的安全船舶的安全水深為水深為y，那么，那么y=5.5-0.3(x-2) (x22),在同一坐標系內作出在同一坐標系內作出這兩個函數的圖象，可以看這兩個函數的圖象，可以看到在到在6時到時到7時之間兩個函數時之間兩個函數圖象有一個交點圖象有一個交點. 通過計算可得在通過計算可得在6時的水深約為時的水深約為5米，米，此時船舶的安全水深約為此時船舶的安全水深約為4.3米；米；6.5時的時的水深約為水深約為4
13、.2米，此時船舶的安全水深約為米，此時船舶的安全水深約為4.1米；米；7時的水深約為時的水深約為3.8米，而船舶的安米，而船舶的安全水深約為全水深約為4米，因此為了安全，船舶最米，因此為了安全，船舶最好在好在6.5時之前停止卸貨，將船舶駛向較深時之前停止卸貨，將船舶駛向較深的水域。的水域。解決實際問題的步聚解決實際問題的步聚:實際問題實際問題讀懂問題讀懂問題抽象慨括抽象慨括數學建模數學建模推理推理演算演算數學模型的解數學模型的解還原說明還原說明實際問題的解實際問題的解讀懂概念丶字母讀懂概念丶字母讀出相關制約讀出相關制約.在抽象、簡化、明確變在抽象、簡化、明確變量和參數的基礎上建立量和參數的基礎上建立一個明確的數學關系一個明確的數學關系. 審題審題 關鍵關鍵課堂小結課堂小結:課后作業(yè)課后作業(yè):課課練P30 第15課時
高二數學必修4 三角函數的應用 課件
