精編高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第三章 167;3　第2課時(shí) 半角公式及其應(yīng)用 Word版含答案

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 第2課時(shí)　半角公式及其應(yīng)用 [核心必知] 正弦、余弦和正切的半角公式 半角的正弦公式 sin ＝±_ 半角的余弦公式 cos ＝±_ 半角的正切公式 tan ＝±＝＝ [問(wèn)題思考] 1．半角公式適用條件是什么？ 提示：cos ＝± ，sin ＝± 中，α∈R，tan ＝± ＝中， α≠2kπ＋π，k∈Z，tan ＝中，α≠kπ，k∈Z. 2．半角正切公式中的三個(gè)公式各有什么優(yōu)缺點(diǎn)？ 提示：無(wú)理式公式的優(yōu)點(diǎn)是只含一個(gè)函數(shù)cos α，缺點(diǎn)是含有“±”號(hào)，需判斷所在的象限來(lái)確定tan 的正負(fù)；有理式公式的優(yōu)點(diǎn)是不用判斷所在

2、的象限，缺點(diǎn)是需知道sin α，cos α兩個(gè)函數(shù)的值才能計(jì)算． 講一講 1．已知cos α＝，α為第四象限的角，求tan 的值． [嘗試解答]　法一：(用tan ＝± 來(lái)處理)． ∵α為第四象限的角，∴是第二或第四象限的角． ∴tan <0. ∴tan ＝－ ＝－ ＝－ ＝－ ＝－ ＝. 法二：(用tan ＝來(lái)處理) ∵α為第四象限的角， ∴sin α<0. ∴sin α＝－ ＝－ ＝－. ∴tan ＝＝＝. 法三：(用tan ＝來(lái)處理) ∵α為第四象限的角， ∴sin α<0. ∴sin α＝－ ＝－＝－. ∴tan ＝＝ ＝＝.

3、 在求半角的正切tan 時(shí)，用tan ＝± 來(lái)處理，要由α所在的象限確定所在的象限，再用三角函數(shù)值的符號(hào)取舍根號(hào)前的雙重符號(hào)；而用tan ＝或tan ＝來(lái)處理，可以避免這些問(wèn)題．尤其是tan ＝，分母是單項(xiàng)式，容易計(jì)算．因此常用tan ＝求半角的正切值． 練一練 1．已知sin α＝－，180°<α<270°，求sin ，cos ，tan 的值． 解：∵180°<α<270°，∴90°<<135°. 又∵sin α＝－，∴cos α＝－. ∴sin ＝ ＝ ＝. cos ＝－ ＝ ＝－. tan ＝＝－2. 講一講 2．設(shè)α∈(，2π)，化簡(jiǎn)： .

4、 [嘗試解答]　∵α∈， ∴cos α>0，cos <0. 故原式＝ ＝ ＝＝|cos | ＝－cos . 利用半角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，應(yīng)正確選用升、降冪公式：當(dāng)待化簡(jiǎn)式中含有根式時(shí)，應(yīng)選用升冪公式(cos 2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1)去根號(hào)；當(dāng)待化簡(jiǎn)式中含有高次式時(shí)，應(yīng)選用降冪公式(sin2α＝，cos2α＝)降低次數(shù)以減少運(yùn)算量，注意隱含條件中角的范圍． 練一練 2．化簡(jiǎn)：(1＋tan xtan )． 解：原式＝(1＋·) ＝sin x(1＋) ＝sin x＝tan x. 講一講 3．求證：＝sin 2α. [嘗試解答]　左邊＝

5、 ＝＝ ＝sin αcos α＝sin 2α＝ 右邊． 1．證明三角恒等式的實(shí)質(zhì)是消除等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡(jiǎn)、左右歸一或變更論證． 2．常用定義法、化弦法、化切法、拆項(xiàng)拆角法、“1”的代換法、公式變形法，要熟練掌握基本公式，善于從中選擇巧妙簡(jiǎn)捷的方法． 3．證明條件三角恒等式，首先應(yīng)觀察條件與結(jié)論之間的差異(三角函數(shù)名及結(jié)構(gòu))，從解決某一差異入手，采用條件轉(zhuǎn)化法或條件代入法． 練一練 3．求證：sin2－1＝－. 證明：由sin ＝± ， 知sin ＝± ， ∴sin2＝， ∴sin2－1＝－1 ＝－， 原等式得證． 化簡(jiǎn)：(90°<α

6、<180°)． [錯(cuò)解]　∴α是第二象限角， ∴原式＝ ＝ ＝ ＝cos α. [錯(cuò)因]　錯(cuò)解中把α的范圍錯(cuò)誤地當(dāng)作的范圍，從而判斷cos 的符號(hào)時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤． [正解]　原式＝ ＝ ＝. 又∵90°<α<180°， ∴45°<<90°， ∴cos >0， ∴原式＝＝－cos α. 1．tan 15°等于(　　) A．2＋　　　　　　　　　B．2－ C.＋1 D.－1 解析：選B　tan 15°＝tan＝＝2－. 2．設(shè)α∈(π，2π)，則 等于(　　) A．sin B．cos C

7、．－sin D．－cos 解析：選D　∵α∈(π，2π)，∴<<π.∴cos <0. ∴原式＝ ＝|cos |＝－cos . 3．已知sin 2θ＝，θ∈(0，)，則tan θ等于(　　) A. B.或 C. D. 解析：選C　∵0<θ<∴0<2θ<. ∴cos 2θ＝ ＝ ＝. ∴tan θ＝＝＝. 4．已知cos α＝，270°<α<360°，那么cos 的值為_(kāi)_______． 解析：∵270°<α<360°，∴135°<<180°， ∴cos <0. ∴cos ＝－ ＝－ ＝－. 答案： － 5．已知sin θ＝且π<θ<3π，則tan ＝__

8、______． 解析：∵<θ<3π， ∴cos θ＝－， 又∵<<π， ∴tan ＝ ＝ ＝2. 答案：2 6．計(jì)算：tan ＋. 解：tan ＋＝＋ ＝＋＝＋2＋ ＝1＋＋. 一、選擇題 1．已知tan ＝3，則cos α為(　　) A.　　　　　　　　　　B．－ C. D．－ 解析：選B　法一：cos α＝cos2－sin2＝＝＝＝－. 法二：∵tan ＝3，∴＝9， 即1－cos α＝9＋9cos α，解得cos α＝－. 2．已知α為第三象限角，且sin α＝－，則tan 等于(　　) A. B

9、. C．－ D．－ 解析：選C　∵α為第三象限角， ∴cos α＝－＝－ ＝－， tan ＝＝＝－. 3．設(shè)a＝cos 6°－sin 6°， b＝，c＝ 則有(　　) A．a(chǎn)>b>c　　　　　　　　B．a(chǎn)

10、 C．－sin 2α D．2sin 2α 解析：選B　原式＝4cos2α ＝2cos2αtan α＝2cos2α ＝2sin αcos α＝sin 2α. 二、填空題 5．計(jì)算：sin ＝________． 解析：sin ＝ ＝ ＝. 答案： 6．在△ABC中，若cos A＝，則sin2＋cos 2A的值為_(kāi)_______． 解析：∵cos A＝， ∴原式＝cos2＋cos 2A ＝＋2cos2A－1 ＝＋2×()2－1＝－. 答案：－ 7．化簡(jiǎn)：·＝________． 解析：原式＝· ＝·2tan 2α ＝×2tan

11、 2α ＝tan 2α. 答案：tan 2α 8．已知sin －cos ＝－，若450°<α<540°，則tan ＝________． 解析：由條件知1－2sin cos ＝， ∴2sin cos ＝，即sin α＝ 又450°<α<540°，cos α<0， ∴cos α＝－. tan ＝＝＝2. 答案：2 三、解答題 9．求值：－sin 10°(－tan 5°)． 解：原式＝－sin 10°(－) ＝－sin 10° ＝－2cos 10° ＝ ＝ ＝ ＝cos 30°＝. 10．已知函數(shù)y＝cos2x＋sin xcos x＋1(x∈R)，求函數(shù)的最大值及對(duì)應(yīng)自變量x的集合． 解：y＝cos2x＋sin xcos x＋1 ＝cos 2x＋sin 2x＋ ＝sin(2x＋)＋， y取最大值，只需2x＋ ＝＋2kπ(k∈Z)， 即x＝kπ＋(k∈Z)． ∴ymax＝. ∴當(dāng)函數(shù)y取最大值時(shí)，自變量x的集合為 .