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1、第三節(jié) 數(shù)列的極限
極限思想是由于求某些實際問題的精確解答而產(chǎn)生的. 例如，我國古代數(shù)學家劉徽（公元3世紀）利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積的方法----割圓術(shù)（參看光盤演示）, 就是極限思想在幾何學上的應(yīng)用. 又如，春秋戰(zhàn)國時期的哲學家莊子（公元4世紀）在《莊子.天下篇》一書中對“截丈問題”（參看光盤演示）有一段名言：“一尺之棰, 日截其半, 萬世不竭”，其中也隱含了深刻的極限思想.
極限是研究變量的變化趨勢的基本工具，高等數(shù)學中許多基本概念，例如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、無窮級數(shù)等都是建立在極限的基礎(chǔ)上. 極限方法又是研究函數(shù)的一種最基本的方法. 本節(jié)將首先給出數(shù)列極限的定義.
2、
分布圖示
★ 極限概念的引入 ★ 數(shù)列的定義
★ 數(shù)列的極限 ★ 數(shù)列極限的嚴格定義
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4
★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8
★ 收斂數(shù)列的有界性
★ 極限的唯一性 ★ 例9
★ 收斂數(shù)列的保號性 ★ 子數(shù)列的收斂性
★ 內(nèi)容小結(jié)
3、 ★ 課堂練習
★ 習題 1-3 ★ 返回
內(nèi)容要點
一、數(shù)列的定義
二、數(shù)列的極限
論證法，其論證步驟為：
（1）對于任意給定的正數(shù), 令 ；
（2）由上式開始分析倒推, 推出 ；
（3）取 ，再用語言順述結(jié)論.
三、收斂數(shù)列的有界性
四、極限的唯一性
五、收斂數(shù)列的保號性
六、子數(shù)列的收斂性
例題選講
數(shù)列的極限
例1 (E01)下列各數(shù)列是否收斂, 若收斂, 試指出其收斂于何值.
(1);
4、(2); (3); (4).
解 (1)數(shù)列即為
易見,當無限增大時, 也無限增大, 故該數(shù)列是發(fā)散的;
(2)數(shù)列即為
易見,當無限增大時,無限接近于0, 故該數(shù)列是收斂于0;
(3)數(shù)列即為
易見,當無限增大時, 無休止地反復(fù)取1、-1兩個數(shù),而不會接近于任何一個確定的常數(shù),故該數(shù)列是發(fā)散的;
(4)數(shù)列即為
易見,當無限增大時, 無限接近于1, 故該數(shù)列是收斂于1.
例2 (E02) 證明
證 由，故對任給要使只要即所以，若取則當時，就有
即
5、
例3 設(shè)(為常數(shù))，證明
證 因?qū)θ谓o對于一切自然數(shù)恒有所以， 即：常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).
注：用定義證數(shù)列極限存在時，關(guān)鍵是：對任意給定的尋找但不必要求最小的
例4 證明其中
證 任給若則若欲使
必須即故對任給若取則當時，就有
從而證得
例5 設(shè)且求證
證 任給由
要使即要
對當時，
從而當時，恒有故
例6 用數(shù)列極限定義證明
證 由于只要解得
因此，對任給的取則時，
成立，
即
6、 例7 (E03) 用數(shù)列極限定義證明
證 由于，要使只要即因此，對任給的取當時，有
即
例8 (E04) 證明：若則存在正整數(shù)當時，不等式成立.
證 因由數(shù)列極限的定義知，對任給的存在當時，恒有由于故時，恒有
從而有由此可見，只要取則當時，恒有 . 證畢.
例9 (E05) 證明數(shù)列是發(fā)散的
證 設(shè)由定義，對于使得當時，恒有即當時，區(qū)間長度為1.而無休止地反復(fù)取1，－1兩個數(shù)，不可能同時位于長度為1地區(qū)間. 因此改數(shù)列是發(fā)散的. 證畢.
注：此例同時也表明：有界數(shù)列不一定收斂.
課堂練習
1．設(shè) 證明數(shù)列 的極限是0.
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