中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四單元 圖形初步與三角形 第16講 等腰三角形課件

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1、第第1616講講等腰三角形等腰三角形20112015年中考試題統(tǒng)計(jì)與命題展望考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)一等腰三角形考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)二等邊三角形定義 三邊都相等的三角形叫做等邊三角形. 性質(zhì) (1)三邊相等; (2)三角相等而且每一個(gè)角都等于60; (3)是軸對(duì)稱圖形,有三條對(duì)稱軸 判定 (1)三條邊都相等的三角形是等邊三角形 ; (2)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形 ; (3)有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形 考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)三線段垂直平分線考法1考法2考法3考法4考法1等腰三角形的概念和性質(zhì)有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形具有性質(zhì):等腰三角形的兩腰相等;等腰三角

2、形的兩個(gè)底角相等;等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.注意:在等腰、底邊上的高、底邊上的中線、頂角平分線四個(gè)元素中,任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件,就可以得到另外兩個(gè)元素作為結(jié)論.考法1考法2考法3考法4例1已知:如圖所示,在ABC中,AB=AC,BD=DC,CAF是ABC的外角,AEBC.求證:(1)AE平分FAC;(2)AEAD.分析:(1)利用“等邊對(duì)等角”和平行線的性質(zhì)可證明1=2;(2)要證AEAD,由等腰三角形的“三線合一”,得ADBC.再由AEBC,得到AEAD.考法1考法2考法3考法4證明:(1)AB=AC,B=C.又AEBC,1=B,2=C,1=2,AE平分F

3、AC.(2)AB=AC,BD=DC,ADBC.又AEBC,AEAD.規(guī)律總結(jié)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì),既涉及角相等又涉及線段相等和垂直,為證明線段和角的關(guān)系增添了又一理論根據(jù).考法1考法2考法3考法4考法2等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等.注意:等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形,它的定義既可作為性質(zhì),又可作為判定辦法.等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆.判定定理在同一個(gè)三角形中才能適用.例2已知:如圖,在RtABC中,C=90,過(guò)點(diǎn)B作BDAC,且BD=2AC,連接AD.試判斷ABD的形狀,并說(shuō)明理由.考法1考法2考法3考法4解:ABD是等腰三角形.理由:如圖,在B

4、D上取點(diǎn)E,使BE=DE,連接AE,則BE= BD.BD=2AC,BE=AC.BDAC,四邊形ACBE是平行四邊形.C=90,四邊形ACBE是矩形,AEB=90,即AEBD.AB=AD,ABD是等腰三角形.考法1考法2考法3考法4考法3等邊三角形的判定和性質(zhì)(1)等邊三角形是一種非常特殊的幾何圖形,它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ),它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件.同時(shí)等邊三角形又是特殊的等腰三角形,同樣具備三線合一的性質(zhì),解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用.(2)等邊三角形的特性如下:三邊相等、有三條對(duì)稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30角的直角三角形、連接三

5、邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個(gè)全等的小等邊三角形等.(3)等邊三角形的判定較復(fù)雜,在應(yīng)用時(shí)要抓住已知條件的特點(diǎn),選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?一般地,若從一般三角形出發(fā)可以通過(guò)三條邊相等判定、通過(guò)三個(gè)角相等判定;若從等腰三角形出發(fā),則想辦法獲取一個(gè)60的角判定.考法1考法2考法3考法4例3已知:如圖所示,點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn),ACD,CBE是等邊三角形,AE與CD交于點(diǎn)M,BD與CE交于點(diǎn)N,AE交BD于點(diǎn)O.求證:(1)AE=DB;(2)CMN是等邊三角形.分析:(1)因?yàn)榫€段AE和DB不在同一個(gè)三角形內(nèi),所以要證AE=DB,可把這兩條線段分別放到兩個(gè)全等的三角形中;(2)要證明CMN是等邊三角形可利

6、用“有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形”來(lái)證明.考法1考法2考法3考法4證明:(1)ACD,CBE是等邊三角形,AC=DC,BC=EC,ACD=BCE=60.又點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn),ACE=180-BCE=120.同理,DCB=120,ACE=DCB,DCE=180-60-60=60.ACE DCB(SAS),AE=DB.考法1考法2考法3考法4(2)ACE DCB,EAC=BDC,即MAC=NDC.ACM DCN(ASA),CM=CN.又MCN=DCE=60,CMN是等邊三角形.規(guī)律總結(jié)解決與等邊三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意挖掘等邊三角形所隱含的相等的邊和角的關(guān)系.考法1考法2考法3考法4考

7、法4線段垂直平分線的性質(zhì)和判定定義:經(jīng)過(guò)某一條線段的中點(diǎn),并且垂直于這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線,簡(jiǎn)稱“中垂線”.性質(zhì):線段的垂直平分線垂直且平分線段.線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),該點(diǎn)叫三角形的外心,并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.判定:到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.考法1考法2考法3考法4例4如圖,在四邊形ABCD中,ADBC,對(duì)角線AC的中點(diǎn)為O,過(guò)點(diǎn)O作AC的垂線分別與AD,BC相交于點(diǎn)E,F,連接AF.求證:AE=AF.分析:由ADBC,可證EAC=ACF,AEO=OFC.又EF垂直平分AC,得AO=OC,由“AAS”證明AOE COF,得AE=FC.再由EF是AC的垂直平分線,可以證明AF=FC,即可得AE=AF.考法1考法2考法3考法4證明:ADBC,EAO=FCO,AEO=CFO.EF垂直平分AC,AO=CO,FA=FC.AOE COF(AAS),AE=CF,AE=AF.規(guī)律總結(jié)線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等,因此,解決有關(guān)線段垂直平分線的題目時(shí),常連接線段的端點(diǎn)和線段垂直平分線上的點(diǎn),構(gòu)造等腰三角形得到線段或角相等.