高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)(整合考點(diǎn)+典例精析+深化理解)第六章 第四節(jié)基本不等式≤(ab∈R+ )課件 理

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1、第四節(jié)第四節(jié) 基本不等式:基本不等式: (a,bR)第六章第六章【例1】若ab1,P ,Q (ln a ln b),Rln ,試比較P,Q,R的大小利用基本不等式比較數(shù)(或式)的大小自主解答:解析:ab1,ln aln b0,點(diǎn)評(píng):如果兩個(gè)數(shù)(式)的關(guān)系符合基本不等式的結(jié)構(gòu)形式,則可以用基本不等式比較大小,如果兩個(gè)數(shù)(式)的關(guān)系通過(guò)變形可以變成基本不等式的結(jié)構(gòu)形式,則可以用基本不等式比較大小1已知ma (a2),n x22(x0),則m,n之間的大小關(guān)系是()Amn Bm2,xn.故選A.答案:A利用基本不等式判定不等式的正誤【例2】給出以下四個(gè)不等式:(ab)24ab(a,bR);|a| 4

2、;sin x其中正確的個(gè)數(shù)是()A0 B1 C2 D3解析:(ab)2a2b22ab2ab2ab4ab,正確錯(cuò)誤當(dāng)sin x 時(shí),sin x2,顯然等號(hào)取不到,事實(shí)上,設(shè)tsin x,則t(0,1,yt 在(0,1上為減函數(shù),故當(dāng)t1時(shí),y取最小值5,錯(cuò)誤故選B.答案:B點(diǎn)評(píng):利用基本不等式判斷一個(gè)不等式的正誤,主要看該不等式是否滿(mǎn)足基本不等式成立的條件 變式探究變式探究2“ab0”是“ab ”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析:a2b22ab中參數(shù)的取值不只是可以取正數(shù)均值不等式 才需滿(mǎn)足a0,b0.故選A.答案:A【例3】(1)(2012蚌埠質(zhì)檢)

3、已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿(mǎn)足a7a62a5,若存在兩項(xiàng)am,an使得 ,則的最小值為()A1 B3C9 D不存在利用最值定理求最值(2)已知a0,b0,abab8,則ab的最小值是_思路點(diǎn)撥:思路點(diǎn)撥:對(duì)于(1),根據(jù)等比數(shù)列所給的等式,找出m,n的關(guān)系mn3,將所找的關(guān)系與 結(jié)合,再用基本不等式求最值,關(guān)鍵的一步是對(duì)于(2),由基本不等式將已知等式變成不等式關(guān)系,再用解二次不等式的方法求解解析:(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q,則由a7a62a5得q2q2,解得q2(舍去負(fù)值q1),amanaqmn22a,得2mn22.mn3.故選B.答案:(1)B(2)4點(diǎn)評(píng):在使用基本不等式求最值時(shí),一定要注意其

4、中的等號(hào)能不能成立,是否符合使用基本不等式的條件如果根據(jù)限制條件等號(hào)不能成立,則應(yīng)該通過(guò)其他方法解決(如函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等)使用基本不等式求最值,其基本的技巧是變換,通過(guò)變換出現(xiàn)兩式之和為常數(shù)或者兩式之積為常數(shù),達(dá)到使用基本不等式的目的使用基本不等式求最值時(shí),要注意三個(gè)條件,即“一正、二定、三相等”變式探究變式探究3(1)設(shè)a0,b0.若 是3a與3b的等比中項(xiàng),則的最小值為_(kāi)(2)已知x,yR,且滿(mǎn)足 1,則xy的最大值為_(kāi)解析:(1)由題有()23a3bab1,又a0,b0,(2)因?yàn)閤0,y0,所以 可化為4x3y12, 所以(4x)(3y) 236(當(dāng)且僅當(dāng)4x3y時(shí)等號(hào)成立),即12xy3

5、6,所以xy3.所以xy的最大值為3.答案:(1)4(2)3利用基本不等式證明其他不等式【例4】若x0,y0,xy1,求證: 9.思路點(diǎn)撥:思路點(diǎn)撥:本題要求根據(jù)條件求最值,xy為常數(shù),xy可有最大值,如何合理利用條件xy1是解答本題的關(guān)鍵,可在要求的式子上乘以(xy),也可通過(guò)三角換元轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題. 點(diǎn)評(píng):利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況,證明思路是從已證不等式和問(wèn)題的已知條件出發(fā),借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理,經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理最后轉(zhuǎn)化為需證問(wèn)題變式探究4已知a0,b0且ab1.求證: 原不等式成立基本不等式的實(shí)際應(yīng)用【例5】為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗,房屋

6、的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位:萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿(mǎn)足關(guān)系: 若不建隔熱層,每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元設(shè)f為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式;(2)隔熱層修建多厚時(shí),總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小,并求最小值解析:(1)設(shè)隔熱層厚度為x cm,由題設(shè),每年能源消耗費(fèi)用為C(x) ,再由C(0)8,得k40,因此C(x)而建造費(fèi)用為C1(x)6x.最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f(x)20C(x)C1(x)20(2)由(1)知f(x)

7、 6x(0 x10),10801070,當(dāng)且僅當(dāng) 2(3x5)時(shí),等號(hào)成立,即(3x5)2400,3x520,x5或x (舍去)時(shí),上式中的等號(hào)成立,即f(x)min70(萬(wàn)元),當(dāng)隔熱層修建5 cm厚時(shí),總費(fèi)用達(dá)到最小,最小值為70萬(wàn)元點(diǎn)評(píng):(1)解實(shí)際應(yīng)用題的基本思路是:設(shè)變量時(shí)一般把要求的變量定義為函數(shù);根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)的解析式后,只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值;在求函數(shù)的最值時(shí),一定要在定義域(使實(shí)際問(wèn)題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解(2)利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是使用變量表示求解目標(biāo),可以建立一個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系,也可以建立滿(mǎn)足一定條件的二元函數(shù)關(guān)系變式探究5.(20

8、13三明模擬)某住宅小區(qū)為了使居民有一個(gè)優(yōu)雅、舒適的生活環(huán)境,計(jì)劃建一個(gè)正八邊形的休閑小區(qū),它的主體造型的平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為200 m2的十字型區(qū)域現(xiàn)計(jì)劃在正方形MNPQ上建一花壇,造價(jià)為4 200 元/m2,在四個(gè)相同的矩形上(圖中陰影部分)鋪花崗巖地坪,造價(jià)為210 元/m2,再在四個(gè)空角上鋪草坪,造價(jià)為80 元/m2.(1)設(shè)總造價(jià)為S元,AD的長(zhǎng)為xm,試建立S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)計(jì)劃至少投入多少元,才能建造這個(gè)休閑小區(qū)解析:(1)設(shè)DQy,則x24xy200,y S4 200 x22104xy804 y238 0004 000 x2 (0 x10)當(dāng)且僅當(dāng)4 000 x2 即x 或x (舍去)時(shí),Smin118 000(元),即計(jì)劃至少要投入11.8萬(wàn)元才能建造這個(gè)休閑小區(qū)

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