2018年高考數(shù)學(xué) 命題角度6.1 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題大題狂練 理

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1、 命題角度1：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題 1．已知函數(shù)（）. （1）若函數(shù)的最小值為，求的值； （2）設(shè)函數(shù)，試求的單調(diào)區(qū)間； 【答案】（1）（2）詳見解析 【解析】 試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)：，再討論導(dǎo)函數(shù)在定義區(qū)間上是否有零點(diǎn)：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)無最小值，舍去；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減；在 上單調(diào)遞增.即再時(shí)，函數(shù)取最小值，因此，解得.（2）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)：，再討論導(dǎo)函數(shù)在定義區(qū)間上是否有零點(diǎn)：①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根 或，再比較大小，分類討論. （2）由題意，得， 則， ①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增； ②當(dāng)時(shí)，由，得或， （A

2、）若，則，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減； （B）若，則， 由，解得，由，解得， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在與上單調(diào)遞減； （C）若，則， 同理可得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在與上單調(diào)遞減. 綜上所述，的單調(diào)區(qū)間如下： ①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增； ②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減； ③當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為與； ④當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為與. 2. 已知是常數(shù). (Ⅰ)求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （Ⅱ）設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性. 【答案】(Ⅰ) ; （Ⅱ）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減. 【解析】試題分析: (Ⅰ) 把x=1代入解析式求出切點(diǎn)坐標(biāo),對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得到斜率,根據(jù)點(diǎn)斜式寫出切

3、線方程;（Ⅱ）把代入得到,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再進(jìn)行配方判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),按照極值點(diǎn)是否在定義域內(nèi)分四類進(jìn)行討論,得出函數(shù)的單調(diào)性. 試題解析:(Ⅰ) 因?yàn)?所以,故曲線在點(diǎn)處的切線方程為 所以， 在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減； ④當(dāng)時(shí)，由得 （舍去） 所以， 在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減. 點(diǎn)睛:本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)單調(diào)性的判斷問題的綜合應(yīng)用,屬于中檔題目. 函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線的斜率 ，過點(diǎn)P的切線方程為： ,求函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程與求函數(shù)y＝f(x)過點(diǎn)P(x0，y0)的切線方

4、程意義不同，前者切線有且只有一條，且方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)，后者可能不只一條． 3.已知函數(shù)在處有極值. （Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值； （Ⅱ）設(shè)，討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性. 【答案】(1) 在處有極值時(shí)，,(2)見解析. 【解析】試題分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，由∴且，求得或，檢驗(yàn)后可得結(jié)果；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，分五種情況討論，分別比較極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值即可得結(jié)果. 試題解析：（Ⅰ）定義域?yàn)椋? ∵在處有極值， ∴且， 即 解得：或 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)， ∴在處有極值時(shí)，. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，其單調(diào)性和極值分布情況如表：

5、 + 0 - 0 + 增 極大 減 極小 增 ∴①當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上的單調(diào)遞增； ②當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；③當(dāng)且，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減； ④當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上的單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增； ⑤時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增. 綜上所述，當(dāng)時(shí)函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性為： 或時(shí)，單調(diào)遞增； 時(shí)，在上的單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； 時(shí)，單調(diào)遞減； 時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. 【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值，屬于難題．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)一步求函數(shù)最值的步驟：①確定

6、函數(shù)的定義域；②對(duì)求導(dǎo)；③令，解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間；令，解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間；④根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的極值及最值（閉區(qū)間上還要注意比較端點(diǎn)處函數(shù)值的大?。? 4.已知函數(shù). （1）當(dāng)時(shí)，判斷的單調(diào)性； （2）若在上為單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍. 【答案】（1）在上為增函數(shù)；（2）. 【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后因式分解，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的知識(shí)可寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）當(dāng)時(shí)，可判斷函數(shù)導(dǎo)數(shù)恒為非負(fù)數(shù)，函數(shù)遞增符合題意.當(dāng)和時(shí)，利用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)判斷出不符合題意.故. 試題解析： (1)當(dāng)時(shí)， ，所以在上為減函數(shù)，在 上為增函數(shù)，即，從而可得：

7、在定義域 上為增函數(shù). (2) ①當(dāng)時(shí)，由于，所以滿足在 上為單調(diào)增函數(shù)，即； ②當(dāng)時(shí)， ，由方程的判別式： ，所以方程有兩根，且由知， 在上為減函數(shù)，由可知，在時(shí)， ，這與 在上為單調(diào)增函數(shù)相矛盾. ③ 當(dāng)時(shí)， ， 在上為減函數(shù)，由可知，在時(shí)， ，這與 在上為單調(diào)增函數(shù)也是相矛盾. 綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是. 點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的求解，考查利用導(dǎo)數(shù)解決已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上遞增求參數(shù)的取值范圍，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.第一問已知的值，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，其基本步驟是：求函數(shù)導(dǎo)數(shù)、對(duì)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行通分因式分解、畫出導(dǎo)函數(shù)圖像、畫出原函數(shù)圖像，最后根據(jù)圖像來研究題目所

8、求的問題.第二問由于一階導(dǎo)數(shù)無法解決問題，故考慮用二階導(dǎo)數(shù)來解決. 5.已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù). （1）函數(shù)的圖象能否與軸相切？若能與軸相切，求實(shí)數(shù)的值；否則，請(qǐng)說明理由； （2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)能取到的最大整數(shù)值. 【答案】（1）見解析；（2）1． 【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程進(jìn)行分析求解；（2）依據(jù)題設(shè)條件借助等比數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的求和公式進(jìn)行求解： （1）， 假設(shè)函數(shù)的圖象與軸相切于點(diǎn)，則有， 即， 由②可知，代入①中可得． ∵， ∴，即， ∵， ∴方程無解， 故無論取何值，函數(shù)的圖象都不與軸相切．

9、 （2）記， 由題意知在上恒成立． 由，可得， 的必要條件是， 若，則， 當(dāng)時(shí)， ，故， 下面證明：當(dāng)時(shí)，不等式恒成立． 令，則． 記，則， 當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增且； 當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減且， ∵． ∴存在唯一的使得，且當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，∴，∴， 從而恒成立，故能取得的最大整數(shù)為1． 點(diǎn)睛：本題以含參數(shù)的函數(shù)解析式為背景，設(shè)立了兩道問題，旨在考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）等方面的綜合運(yùn)用。求解第一問時(shí)，先依據(jù)題設(shè)建立方程組求出方程，然后依據(jù)方程有解還是無解，從而使得問題獲解；解答第二問時(shí)，先依據(jù)

10、題設(shè)構(gòu)造函數(shù)用， 然后運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)進(jìn)行分析推證，從而使得問題簡(jiǎn)捷巧妙獲解。 6. 已知函數(shù)． （Ⅰ）若，求函數(shù)在上的最小值； （Ⅱ）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍； 【答案】(1)1 (2). 【解析】 試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?，? 所以在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，． 故函數(shù)在上的最小值是1． 7.己知函數(shù)， ． （I）求函數(shù)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)； （II）設(shè)，若函數(shù)在上是增函數(shù)．求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】（Ⅰ）零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 （II）的取值范圍是 【解析】試題分析：（1）先求得， 時(shí)， 恒成立，可證明時(shí)， ，可得在上單調(diào)遞減，根據(jù)零點(diǎn)定

11、理可得結(jié)果；（2）化簡(jiǎn)為分段函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，討論兩種情況，分別分離參數(shù)求最值即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍. 試題解析：（Ⅰ）函數(shù) , 求導(dǎo)，得， 當(dāng)時(shí)， 恒成立， 當(dāng)時(shí)， ， ∴ ， ∴在上恒成立，故在上單調(diào)遞減． 又， ， 曲線在[1，2]上連續(xù)不間斷， ∴由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理及其單調(diào)性知，?唯一的∈（1，2），使， 所以，函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1． （II）由（Ⅰ）知：當(dāng)時(shí)， ＞0，當(dāng)時(shí)， ＜0． ∴當(dāng)時(shí)， = 求導(dǎo)，得 由于函數(shù)在上是增函數(shù)， 故在， 上恒成立. ②當(dāng)時(shí)， ， 當(dāng)時(shí)， 在上恒成立， 綜合①②知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)．

12、 故實(shí)數(shù)的取值范圍是． 8.己知函數(shù) (其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))， ． (I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (II)設(shè)，.已知直線是曲線的切線，且函數(shù)上是增函數(shù)． (i)求實(shí)數(shù)的值； (ii)求實(shí)數(shù)c的取值范圍． 【答案】（I）見解析；（II）（1）；（2）. 【解析】試題分析：(I)求導(dǎo)得，討論和即可； (II) (i)由相切得，解方程即可；(ii)先構(gòu)造來討論和的大小，得，求導(dǎo)，得. 由函數(shù)在上是增函數(shù)，且曲線在上連續(xù)不斷知： 在， 上恒成立，分兩段討論即可. 試題解析： （Ⅰ）∵， ∴， （Ⅱ）（1）對(duì)求導(dǎo)，得， 設(shè)直線與曲線切于點(diǎn)，則 解得，∴； （2）記函

13、數(shù) ， ， 求導(dǎo)，得， 當(dāng)時(shí)， 恒成立， 當(dāng)時(shí)， ， ∴ ， ∴在上恒成立，故在上單調(diào)遞減． 又， ， 曲線在[1，2]上連續(xù)不間斷， ∴由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理及其單調(diào)性知，?唯一的∈（1，2），使． ∴當(dāng)時(shí)， ＞0，當(dāng)時(shí)， ＜0． ∴當(dāng)時(shí)， = 求導(dǎo)，得 由函數(shù)在上是增函數(shù)，且曲線在上連續(xù)不斷知： 在， 上恒成立． ①當(dāng)時(shí)， ≥0在上恒成立， 即在上恒成立， 記， ，則， ， 當(dāng) 變化時(shí)， ， 變化情況列表如下： 3 0 極小值 ∴min= 極小值= ， 故“在上恒成立”，只需 ，即． ②當(dāng)時(shí)， ，

14、當(dāng)時(shí)， 在上恒成立， 綜合①②知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)． 故實(shí)數(shù)的取值范圍是． 9.已知函數(shù)，. （1）若直線與函數(shù)的圖象相切，求的值； （2）設(shè)，對(duì)于，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】(1);(2). 【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件，借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程求解；（2）先將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，再借助題設(shè)條件與求導(dǎo)法則，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)分析求解： (1)設(shè)與的切點(diǎn)為， .又. (2),又在上為增函數(shù)，不妨設(shè)，則，，即，設(shè)，在上為減函數(shù)，，在恒成立，即.設(shè),,在上為增函數(shù)，， ，由已知，故實(shí)數(shù)的取值范圍是. 點(diǎn)睛：本題以含參數(shù)的函數(shù)解析式為背景，旨在考查

15、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）等方面的綜合運(yùn)用。解答本題的第一問時(shí)，充分借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直接建立方程進(jìn)行求解使得問題獲解；解答本題的第二問時(shí)，先將絕對(duì)值不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化與化歸，然后再構(gòu)造函數(shù)，將參數(shù)從不等式中分離出來，通過求函數(shù)的最小值，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍，使得問題巧妙獲解。 10.已知函數(shù)． （1）若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）若， ，證明： . 【答案】(1) 當(dāng)，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為和;(2)見解析. 【解析】試題分析：（1），求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)討論單調(diào)性即可； （2）欲證，即證在上單調(diào)遞減，求導(dǎo)證明即可. 試題解析： （2），則， ， 欲證，即證在上單調(diào)遞減， ∵， 令， 則 ∴在上為減函數(shù)， 而 ∴，則， ∴在上單調(diào)遞減， 又，∴. - 17 -