備戰(zhàn)2018年高考數(shù)學(xué) 解答題高分寶典 專題04 立體幾何（核心考點(diǎn)）文

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1、 專題04立體幾何 核心考點(diǎn)一平行關(guān)系的證明 平行關(guān)系包括直線與直線平行、直線與平面平行及平面與平面平行,平行關(guān)系的證明一般作為解答題的第一問(wèn),難度中等或中等以下,解答此類問(wèn)題要注意步驟的規(guī)范. 【經(jīng)典示例】如圖所示,四邊形ABCD與四邊形ADEF都為平行四邊形,M,N,G分別是AB,AD,EF的中點(diǎn)．求證： (1)BE∥平面DMF； (2)平面BDE∥平面MNG. 答題模板 證明BE∥平面DMF的步驟 第一步,在平面DMF內(nèi)找出一條直線MO與BE平行； 第二步,指出 BE平面DMF,MO平面DMF； 第三步,由線面平行的判斷定理得BE∥平面DMF. 【滿分答案】證

2、明　(1)如圖所示,設(shè)DF與GN交于點(diǎn)O,連接AE,則AE必過(guò)點(diǎn)O, 連接MO,則MO為△ABE的中位線, 所以BE∥MO. 因?yàn)锽E平面DMF,MO平面DMF, 所以BE∥平面DMF. (2)因?yàn)镹,G分別為平行四邊形ADEF的邊AD,EF的中點(diǎn), 所以DE∥GN. 因?yàn)镈E平面MNG,GN平面MNG, 所以DE∥平面MNG. 因?yàn)镸為AB的中點(diǎn), 所以MN為△ABD的中位線, 所以BD∥MN. 因?yàn)锽D平面MNG,MN平面MNG, 所以BD∥平面MNG. 因?yàn)镈E與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線, 所以平面BDE∥平面MNG. 【解題技巧】 1.判斷

3、或證明線面平行的常用方法 (1)利用線面平行的定義(無(wú)公共點(diǎn))； (2)利用線面平行的判定定理(a?α, b?α,a∥b?a∥α)； (3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β,a?α?a∥β)； (4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β,a?α,a?β,a∥α?a∥β)． 2. 證明面面平行的方法 (1)面面平行的定義； (2)面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行； (3)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行； (4)兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行； (5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化． 3.

4、 平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化 在證明線面、面面平行時(shí),一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化,即從“線線平行”到“線面平行”,再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí),其順序恰好相反,但也要注意,轉(zhuǎn)化的方向是由題目的具體條件而定的,不可過(guò)于“模式化”． 模擬訓(xùn)練 1．如圖所示,斜三棱柱ABC－A1B1C1中,點(diǎn)D,D1分別為AC,A1C1上的點(diǎn)． (1)當(dāng)?shù)扔诤沃禃r(shí),BC1∥平面AB1D1? (2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求的值． 由棱柱的性質(zhì)知,四邊形A1ABB1為平行四邊形, ∴點(diǎn)O為A1B的中點(diǎn)． 在△A1BC1中,點(diǎn)O,D1分別為A1B,A1C1的中點(diǎn), ∴OD1

5、∥BC1. 又∵OD1平面AB1D1,BC1平面AB1D1, ∴BC1∥平面AB1D1. ∴當(dāng)＝1時(shí),BC1∥平面AB1D1. (2)由平面BC1D∥平面AB1D1, 且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1, 平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O, 得BC1∥D1O,同理AD1∥DC1, ∴＝,＝, 又∵＝1,∴＝1,即＝1. 核心考點(diǎn)二垂直關(guān)系的證明 平行關(guān)系包括直線與直線垂直、直線與平面垂直及平面與平面垂直,垂直關(guān)系的證明一般作為解答題的第一問(wèn),難度中等或中等以下,解答此類問(wèn)題要注意步驟的規(guī)范. 【經(jīng)典示例】如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,A

6、B⊥AD,AC⊥CD,∠ABC＝60°,PA＝AB＝BC,E是PC的中點(diǎn)．證明： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 答題模板 證明PD⊥平面ABE(線面垂直)的步驟： 第一步,證明AE⊥PD,AB⊥PD(在平面ABE內(nèi)找出兩條直線與AD垂直)；. 第二步,指出AB∩AE＝A (兩直線相交)；. 第三步,利用線面垂直的判定定理確定PD⊥平面ABE. 【滿分答案】(1)在四棱錐P-ABCD中, ∵PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD, ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC＝A, ∴CD⊥平面PAC. 而AE?平面PAC,∴CD⊥AE. (2)由PA＝A

7、B＝BC,∠ABC＝60°,可得AC＝PA. ∵E是PC的中點(diǎn), ∴AE⊥PC. 由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD＝C, ∴AE⊥平面PCD. 而PD?平面PCD,∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A, ∴AB⊥平面PAD,而PD?平面PAD, ∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE＝A,∴PD⊥平面ABE. 【解題技巧】 1.證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵 (1)證明直線和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b,a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α,α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)． (2)證

8、明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直,而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．因此,判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想． 2. 判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定義； ②面面垂直的判定定理(a⊥β,a?α?α⊥β)． (2)在已知平面垂直時(shí),一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化． 在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線,轉(zhuǎn)化為線面垂直,然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直． 3. 垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化 在證明線面垂直、面面垂直時(shí),一定要注意判定定理成立的條件．同時(shí)抓住線線、線面、面面垂直的轉(zhuǎn)化關(guān)系,即： 在證明兩平面垂直時(shí),一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線,若這樣的直線在圖中不存在,則可通過(guò)作輔助線來(lái)解

9、決. 模擬訓(xùn)練 2．如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1. 求證：(1)直線DE∥平面A1C1F； (2)平面B1DE⊥平面A1C1F. 【解析】(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC. 在△ABC中,因?yàn)镈,E分別為AB,BC的中點(diǎn), 所以DE∥AC,于是DE∥A1C1. 又因?yàn)镈E平面A1C1F,A1C1平面A1C1F, 所以直線DE∥平面A1C1F. 又因?yàn)锽1D⊥A1F,A1C1平面A1C1F,A1F平面A1C1F,A1C1∩A1F＝A1, 所以

10、B1D⊥平面A1C1F. 因?yàn)橹本€B1D平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F. 核心考點(diǎn)三求幾何體的體積 全國(guó)卷文科高考立體幾何解答題第二問(wèn)通常為幾何體體積的計(jì)算,難度多為中等或中等以下,計(jì)算柱、錐、臺(tái)體的體積,關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高,應(yīng)注意充分利用多面體的截面特別是軸截面,將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解. 【經(jīng)典示例】如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB＝AD＝AC＝3,PA＝BC＝4,M為線段AD上一點(diǎn),AM＝2MD,N為PC的中點(diǎn)． (1)證明：MN∥平面PAB； (2)求四面體NBCM的體積． 答題模板 求三棱錐體積

11、的步驟 第一步,確定幾何體是三棱錐或把幾何體分割為幾個(gè)三棱錐； 第二步,確定棱錐的頂點(diǎn)及底面(注意一般以高與底面積比較容易求為原則)； 第三步,求出高于底面積； 第四步,代入體積公式進(jìn)行計(jì)算. 【滿分答案】(1)由已知得AM＝AD＝2. 如圖,取BP的中點(diǎn)T,連接AT,TN, 由N為PC中點(diǎn)知TN∥BC,TN＝BC＝2. 又AD∥BC,故TN=AM,TN∥AM,所以四邊形AMNT為平行四邊形,于是MN∥AT. 因?yàn)锳T?平面PAB,MN平面PAB, 所以MN∥平面PAB. (2)因?yàn)镻A⊥平面ABCD,N為PC的中點(diǎn),所以N到平面ABCD的距離為PA. 取BC的中點(diǎn)

12、E,連接AE. 由AB＝AC＝3得AE⊥BC,AE＝＝. 由AM∥BC得M到BC的距離為, 故S△BCM＝×4×＝2. 所以四面體N-BCM的體積VN-BCM＝×S△BCM×＝. 【解題技巧】 1.若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體,則可直接利用公式進(jìn)行求解． 2.求空間幾何體體積的常用方法為割補(bǔ)法和等積變換法：①割補(bǔ)法：將這個(gè)幾何體分割成幾個(gè)柱體、錐體,分別求出柱體和錐體的體積,從而得出要求的幾何體的體積；②等積變換法：特別的,對(duì)于三棱錐,由于其任意一個(gè)面均可作為棱錐的底面,從而可選擇更容易計(jì)算的方式來(lái)求體積；利用“等積性”還可求“點(diǎn)到面的距離”. 3. “

13、補(bǔ)形法”是立體幾何中一種常見(jiàn)的重要方法,在解題時(shí),把幾何體通過(guò)“補(bǔ)形”補(bǔ)成一個(gè)完整的幾何體或置于一個(gè)更熟悉的幾何體中,巧妙地破解空間幾何體的體積等問(wèn)題,常見(jiàn)的補(bǔ)形法有對(duì)稱補(bǔ)形、聯(lián)系補(bǔ)形與還原補(bǔ)形,對(duì)于還原補(bǔ)形,主要涉及臺(tái)體中“還臺(tái)為錐”,將不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體等． 模擬訓(xùn)練 3．如圖所示,在空間幾何體ADE－BCF中,四邊形ABCD是梯形,四邊形CDEF是矩形,且平面ABCD⊥平面CDEF,AD⊥DC,AB＝AD＝DE＝2,EF＝4,M是線段AE上的動(dòng)點(diǎn)． (1)試確定點(diǎn)M的位置,使AC∥平面MDF,并說(shuō)明理由； (2)在(1)的條件下,平面MDF將幾何體ADE－BCF分成兩部分,求空間幾何體M－DEF與空間幾何體ADM－BCF的體積之比． (2)將幾何體ADE－BCF補(bǔ)成三棱柱ADE－B′CF,如圖所示, 三棱柱ADE－B′CF的體積為V＝S△ADE·CD＝. ×2×2×4＝8,則幾何體ADE－BCF的體積VADE－BCF＝VADE－B′CF－VF－BB′C ＝8－××2＝. 因?yàn)槿忮FM－DEF的體積 VM－DEF＝××1＝, 所以VADM－BCF＝－＝, 所以兩幾何體的體積之比為∶＝1∶4. 9