2018年高考數(shù)學(xué) 命題角度5.5 圓錐曲線的定值、定點(diǎn)問題大題狂練 文

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1、 命題角度5.5：圓錐曲線的定值、定點(diǎn)問題 1.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)，離心率，直線與以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓相切. （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，直線的斜率分別為.證明： 為定值. 【答案】（1）（2） 【解析】試題分析: （I）設(shè)橢圓的方程，利用離心率e＝直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切，確定幾何量，從而可得橢圓的方程； （Ⅱ）利用M點(diǎn)在橢圓上，計(jì)算斜率，化簡即可得到結(jié)論． （2）證明：由橢圓的方程得， 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則. . . 為定值. 點(diǎn)睛：本題考查橢

2、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓相切，考查斜率的計(jì)算，主要應(yīng)用點(diǎn)在曲線上得出定值. 2. 已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定直線的距離比到定點(diǎn)的距離大. （1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程； （2）過點(diǎn)的直線交軌跡于， 兩點(diǎn)，直線， 分別交直線于點(diǎn)， ，證明以為直徑的圓被軸截得的弦長為定值，并求出此定值. 【答案】（I）；（II）詳見解析. 【解析】試題分析：（1）依據(jù)題設(shè)條件及兩點(diǎn)間距離公式建立方程分析求解；（2）依據(jù)題設(shè)條件建立直線， 的方程，再運(yùn)用坐標(biāo)之間的關(guān)系分析探求： 試題解析： 解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)槎c(diǎn)在定直線： 的右側(cè)， 且動(dòng)點(diǎn)到定直線： 的距離比到定點(diǎn)的距離大， 所以且， 化簡得，即，

3、 軌跡的方程為． （Ⅱ）設(shè)， （），則， ， ∵， ， 三點(diǎn)共線， ∴， ∴， 又，∴， 直線的方程為，令，得． 同理可得． 所以以為直徑的圓的方程為， 即． 將代入上式，可得， 令，即或， 故以為直徑的圓被軸截得的弦長為定值4． 點(diǎn)睛：解析幾何是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)與內(nèi)容，也是高考重點(diǎn)考查的重要考點(diǎn)與熱點(diǎn)。這類問題的設(shè)置旨在考查借助直角坐標(biāo)的關(guān)系求解幾何圖形問題。求解第一問時(shí)充分依據(jù)題設(shè)條件，運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式建立等量關(guān)系，通過化簡使得問題獲解；解答第二問時(shí)，先設(shè)， ，在借助題設(shè)中的條件建立以為直徑的圓的方程為，探究其最值關(guān)系，從而使得問題獲解。 3. 已知橢

4、圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為圓， 是上一點(diǎn)， ，且． （1）求橢圓的方程； （2）當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)時(shí)，線段上取點(diǎn)，且滿足，證明點(diǎn)總在某定直線上，并求出該定直線． 【答案】（1）（2）見解析 試題解析：（1）由已知得，且， 在中，由余弦定理得，解得. 則，所以橢圓的方程為. （2）由題意可得直線的斜率存在， 設(shè)直線的方程為，即， 代入橢圓方程，整理得， 設(shè)，則. 設(shè)，由得 （考慮線段在軸上的射影即可）， 所以， 于是， 整理得，（*） 又，代入（*）式得， 所以點(diǎn)總在直線上. 考點(diǎn)：1.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；2.直線與橢圓位置關(guān)系. 點(diǎn)睛：圓

5、錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題時(shí)高考中的常考題型，難度一般較大，常常把直線、圓及圓錐曲線等知識(shí)結(jié)合在一起，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的考查，尤其是函數(shù)思想、分類討論思想的考查.求定值問題常見的方法：（1）從特殊點(diǎn)入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)，（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.定點(diǎn)問題的常見解法：（1）假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無關(guān)，故得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求定點(diǎn)，（2）從特殊位置入手，找出定點(diǎn)，再證明該點(diǎn)符合題意. 4. 已知橢圓的焦距為，點(diǎn)在上. （I）求的方程；

6、（II）過原點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸重合的直線與有兩個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影為，線段的中點(diǎn)為，直線交于點(diǎn)，證明：直線的斜率與直線的斜率乘積為定值. 【答案】（I）（II）定值 【解析】試題分析：（1）（I）由題意知， 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，利用定義求解 的值，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； 試題解析： （I）由題意知， 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為， ， . 所以，橢圓的方程為. （II）設(shè)，則 由點(diǎn)在橢圓上得， ，兩式相減得， . ， . 因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即. ，為定值. 5. 已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)，且在軸上截得的弦長為 （Ⅰ）求圓心的軌跡方程； （Ⅱ）過點(diǎn)的直線交軌跡于兩點(diǎn)，證明： 為定值

7、，并求出這個(gè)定值. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）定值為 【解析】試題分析：（1）設(shè)動(dòng)圓圓心坐標(biāo)為，根據(jù)垂徑定理得，化簡解得圓心的軌跡方程；（2）設(shè)直線的方程為： ，利用直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理化簡 試題解析：解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓圓心坐標(biāo)為， 由題意得：動(dòng)圓半徑 圓心到軸的距離為， 依題意有， 化簡得，即動(dòng)圓圓心的軌跡方程為： （Ⅱ）①當(dāng)直線的斜率不存在，則直線的方程為： 得 所以，故為定值. 綜合①②，為定值，且定值為 點(diǎn)睛：定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明

8、該式是恒定的. 定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn). 6. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A、B、C是橢圓上不同的三點(diǎn)， ，C在第三象限，線段BC的中點(diǎn)在直線OA上。 （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)； （3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上（異于點(diǎn)A、B、C）且直線PB， PC分別交直線OA于M、N兩點(diǎn)，證明為定值并求出該定值. 【答案】（1）（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為．（3）為定值，定值為． 【解析】試題分析：（1）將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入方程即可求得，（2）設(shè)點(diǎn)，得BC的中點(diǎn)坐標(biāo)，帶去直線OA聯(lián)立

9、橢圓方程即可求得m,n,從而得C的坐標(biāo)，（3）分別設(shè)出P,N,M三點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)P,B,M三點(diǎn)共線和P,C,N三點(diǎn)共線得到M，N,P的關(guān)系，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程即可得各系數(shù)之間的關(guān)系，于是化簡得定制 （3）設(shè)， ， ． ∵三點(diǎn)共線，∴，整理，得． ∵三點(diǎn)共線，∴，整理，得． ∵點(diǎn)在橢圓上，∴， ． 從而． 所以．∴為定值，定值為． 點(diǎn)睛：本題主要考察圓錐曲線，先根據(jù)題意可以的橢圓方程，對(duì)于第二問和第三問則需要多借助草圖分析點(diǎn)之間的幾何關(guān)系，尤其要注意三點(diǎn)共線在此題中的運(yùn)用，明確目標(biāo)逐步化簡即可 7.已知橢圓： 的短軸長為，離心率為，圓的圓心在橢圓上，半徑

10、為2，直線與直線為圓的兩條切線. （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）試問： 是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由. 【答案】（1）；（2） 【解析】試題分析：（1）由橢圓焦點(diǎn)在軸上， ，離心率，則，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，圓的方程為，由直線與圓相切，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得為方程，的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理可知： ，由在橢圓上即可求得. （2）因?yàn)橹本€與圓相切，∴ 整理得： ， 同理可得： ， 所以， 為方程的兩個(gè)根 ∴，又∵在橢圓上，∴ ∴，故是定值為 【方法點(diǎn)睛】本題主要考查待定待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程方程、橢圓的幾何性質(zhì)以及圓錐曲線的定值問題

11、，屬于難題. 探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：① 從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；② 直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值. 8.在直角坐標(biāo)系中， 已知定圓，動(dòng)圓過點(diǎn)且與圓相切，記動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線. （1）求曲線的方程； （2）設(shè)是曲線上兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為 (異于點(diǎn))，若直線分別交軸于點(diǎn)，證明: 為定值. 【答案】（1）；（2）詳見解析. 【解析】試題分析：（1）由兩圓關(guān)系得等量關(guān)系，再根據(jù)橢圓定義確定軌跡形狀及標(biāo)準(zhǔn)方程，（2）解析幾何中定值問題，往往通過計(jì)算給予證明，先設(shè)坐標(biāo)，列直線方程，求出與軸交點(diǎn)坐標(biāo)，再

12、利用點(diǎn)在橢圓上這一條件進(jìn)行代入消元，化簡計(jì)算為定值 . 試題解析： 解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)在內(nèi)，所以圓內(nèi)切于圓，則，由橢圓定義知，圓心的軌跡為橢圓，且，則，所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為. (2)設(shè)，則，由題意知.則，直線方程為，令，得，同理，于是， 又和在橢圓上，故，則 . 所以. 9. 已知橢圓的離心率為，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的菱形的面積是4，圓過橢圓的上頂點(diǎn)作圓的兩條切線分別與橢圓相交于兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)），直線的斜率分別為. （1）求橢圓的方程； （2）當(dāng)變化時(shí)，①求的值；②試問直線是否過某個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說明理由. 【答案】（1）；（2）見解析. 由，得，于是有

13、，直線的斜率為，直線的方程為，令，得，即可證明直線過定點(diǎn). 試題解析：（1）由題設(shè)知， ， ，又， 解得. 故所求橢圓的方程是. （2）①，則有，化簡得， 對(duì)于直線，同理有， 于是是方程的兩實(shí)根，故. 考慮到時(shí)， 是橢圓的下頂點(diǎn)， 趨近于橢圓的上頂點(diǎn)，故若過定點(diǎn)，則猜想定點(diǎn)在軸上. 由，得，于是有. 直線的斜率為， 直線的方程為， 令，得， 故直線過定點(diǎn). 10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為． （1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程； （2）已知為定直線上一點(diǎn). ①過點(diǎn)作的垂線交軌跡于點(diǎn)（不在軸上），求證：直線與的斜率之積是定值； ②若點(diǎn)的

14、坐標(biāo)為，過點(diǎn)作動(dòng)直線交軌跡于不同兩點(diǎn)，線段上的點(diǎn)滿足，求證：點(diǎn)恒在一條定直線上. 【答案】（1）（2）①直線與的斜率之積為定值． ②點(diǎn)在定直線上． 【解析】試題分析：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，直接利用軌跡方程定義計(jì)算即可；（2）， ①令，由，得，即，即，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，而的斜率分別為，于是，即直線與的斜率之積為定值； ②令，則，代入橢圓，消元即可證明點(diǎn)在定直線上． 試題解析：（1）設(shè)，則，點(diǎn)到直線的距離， 由，得，化簡得， 即點(diǎn)在軌跡的方程為； ②令，則， 令點(diǎn)，則， 即，即 由①×③，②×④，得， 因?yàn)樵跈E圓上，所以， ⑤×2+⑥×3，得 ，即， 所以點(diǎn)在定直線上． 本題主要考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系，是高考的必考點(diǎn)，屬于難題．求橢圓方程的方法一般就是根據(jù)條件建立的方程，求出即可，注意的應(yīng)用；涉及直線與圓錐曲線相交時(shí)，未給出直線時(shí)需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線方程，要特別注意直線斜率是否存在的問題，避免不分類討論造成遺漏，然后要聯(lián)立方程組，得一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系寫出，再根據(jù)具體問題應(yīng)用上式，其中要注意判別式條件的約束作用． - 17 -