2018年高考數(shù)學(xué) 破解命題陷阱 專題16 數(shù)列求和的方法規(guī)律

專題16 數(shù)列求和的方法規(guī)律 一．高考命題類型 1.倒序求合法 2.裂項(xiàng)求和法 3.錯位相減求和 4.分組求和 5.分奇偶數(shù)討論求和 6.利用數(shù)列周期性求和 7.含有絕對值的數(shù)列求和 二．命題陷阱及命題陷阱破解措施 1.倒序求和 例1. 設(shè)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值是________． 【答案】 【方法規(guī)律總結(jié)】：倒序相加法求和，不僅應(yīng)用在等差數(shù)列中，而且在函數(shù)以及組合中也有應(yīng)用。等差數(shù)列中主要利用等差數(shù)列性質(zhì)：若，則；函數(shù)中主要利用對稱中心性質(zhì)：若關(guān)于對稱，則；組合中中主要利用組合數(shù)性質(zhì)： 練習(xí)1.已知，數(shù)列滿足，則__________． 【答案】1009 【解析】因?yàn)榈膱D象關(guān)于原點(diǎn)對稱， 的圖象由向上平移個單位，向右平移個單位， 故答案為. 練習(xí)2.已知函數(shù)為奇函數(shù)， ，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和為( ) 【答案】 【解析】∵函數(shù)為奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱， ∴函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對稱， ∴函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,1)對稱， ∴， ∵， ∴數(shù)列的前項(xiàng)之和為， 故選：。 練習(xí)3. 已知函數(shù)，則的值為 _____． 【答案】 2.裂項(xiàng)求和 例2. 數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則等于（ ） 【答案】 【解析】 選 練習(xí)1.數(shù)列的前項(xiàng)的和為（ ） 【答案】 【解析】 故數(shù)列的前10項(xiàng)的和為 選。 練習(xí)2.在等差數(shù)列中， ，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（ ） 【答案】 練習(xí)3. 已知數(shù)列與的前項(xiàng)和分別為， ，且， ， ，若恒成立，則的最小值是( ) 49 【答案】B 【解析】當(dāng)時(shí)， ，解得或. 由得.由，得. 兩式相減得. 所以. 因?yàn)?，所? 即數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以. 所以. 所以. 要使恒成立，只需. 故選. 練習(xí)4.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，若且，設(shè)，則的值是（ ） 【答案】 . 故選B. 練習(xí)5.定義為個正數(shù)的“均倒數(shù)”，若已知數(shù)列的前項(xiàng)的“均倒數(shù)”為，又，則（ ） 【答案】 練習(xí)6.數(shù)列滿足，且對于任意的都有，則等于（　　） 【答案】D 【解析】由題意可得： ，則： ， 以上各式相加可得： ，則： ， 練習(xí)7.設(shè)數(shù)列滿足，且，若表示不超過的最大整數(shù)，則 ( ) 【答案】 解得， ∴， ∴， ∴ 則． 故答案為：． 練習(xí)8. 已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，令（），記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ） 【答案】 【解析】函數(shù)的圖象過點(diǎn)， 可得,解得， ， 則， 則. 故選：. 練習(xí)9. 已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和__________． 【答案】 練習(xí)10.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)為，點(diǎn)， 均在函數(shù)的圖象上. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 （2）設(shè)， 為數(shù)列的前項(xiàng)和. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）∵點(diǎn)在函數(shù)的圖象上， ∴ 當(dāng) （2） 練習(xí)11.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且. （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若數(shù)列滿足，且，求的前項(xiàng)和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為， ，所以，解得。 練習(xí)12.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且. （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若數(shù)列滿足，且，求的前項(xiàng)和. 【答案】(1) (2) 3.錯位相減求和 例3.已知數(shù)列的首項(xiàng)， ， …． （1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列； （2）數(shù)列的前項(xiàng)和． 【答案】（1）證明見解析；（2）. 【解析】（1） ， ， ，又， ， 數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列． （2）由（1）知，即， ．設(shè)…， ① 則…，② 由①②得， ．又…． 數(shù)列的前項(xiàng)和 ． 練習(xí)1.已知數(shù)列， ， 為數(shù)列的前項(xiàng)和， ， ， （） （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）證明為等差數(shù)列； （3）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，令為的前項(xiàng)的和，求. 【答案】（1）（2）見解析（3） （3）令 ①②，得 練習(xí)2.已知數(shù)列是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【答案】（1）；（2）. （2）由（1）知所以 所以 兩式相減，得 所以 練習(xí)3. 已知等差數(shù)列中， ，數(shù)列中， . （1）分別求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）定義， 是的整數(shù)部分， 是的小數(shù)部分，且.記數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【答案】(1) ;(2) . 解析：（1）， ，∴是首項(xiàng)為 ，公比為的等比數(shù)列，∴，∴. （2）依題意，當(dāng)時(shí)， ，∴， 所以， 令， 兩式相減，得 故. 4.分組求和 例4. 已知數(shù)列滿足， ， . （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) . 【解析】試題分析： (Ⅰ)結(jié)合遞推關(guān)系可得是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，據(jù)此可得通項(xiàng)公式為. (Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)論有，分鐘求和可得. 試題解析： （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， 故 . 練習(xí)1.數(shù)列，……的前項(xiàng)和為（ ） 【答案】 【解析】分組求和： 。 本題選擇選項(xiàng). 練習(xí)2.數(shù)列的前項(xiàng)和為=（ ） 【答案】 故選 ． 練習(xí)3. 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是，則＝(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】= ,選B. 5.分奇偶數(shù)討論求和 【中】6.已知函數(shù)，且，則 ( ) 【答案】 【解析】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，則，所以， 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，則 ， 所以. 練習(xí)1. 已知在各項(xiàng)為正的數(shù)列中， ， ， ，則__________． 【答案】 【解析】因?yàn)?所以 ,即數(shù)列隔項(xiàng)成等比,所以 練習(xí)2. 已知函數(shù)，且，則等于（ ） A. -2014 B. 2014 C. 2019 D. -2019 【答案】D 【解析】若 是奇數(shù)，則構(gòu)成等差數(shù)列， 則公差 則奇數(shù)項(xiàng)的和 若是偶數(shù)，則 則公差 則前1008個偶數(shù)項(xiàng)和 則 ， 故選D． 練習(xí)3. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且,（），若, 則數(shù)列的前項(xiàng)和_______________. 【答案】或 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， ，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， ，綜上所述 ,故填或. 點(diǎn)睛：數(shù)列問題是高考中的重要問題，主要考查等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和，主要利用解方程得思想處理通項(xiàng)公式問題，利用分組求和、裂項(xiàng)相消、錯位相減法等方法求數(shù)列的和．在利用錯位相減求和時(shí)，要注意提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性，防止運(yùn)算錯誤 練習(xí)4. 設(shè)數(shù)列滿足：①；②所有項(xiàng)；③ ． 設(shè)集合，將集合中的元素的最大值記為．換句話說， 是 數(shù)列中滿足不等式的所有項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的最大值．我們稱數(shù)列為數(shù)列的 伴隨數(shù)列．例如，數(shù)列1,3,5的伴隨數(shù)列為1,1,2,2,3． （1）若數(shù)列的伴隨數(shù)列為1,1,1,2,2,2,3，請寫出數(shù)列； （2）設(shè)，求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前100之和； （3）若數(shù)列的前項(xiàng)和（其中常數(shù)），試求數(shù)列的伴隨數(shù)列前項(xiàng)和． 【答案】（1）1,4,7（2） 見解析（3） 試題解析：（1）1,4,7． （2）由，得 ∴ 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， ∴ （3）∵ ∴ 當(dāng)時(shí)， ∴ 由得： ∵使得成立的的最大值為， ∴ 當(dāng)時(shí)： 當(dāng)時(shí)： 當(dāng)時(shí)： ∴ 練習(xí)5. 已知數(shù)列滿足： ， . （1）求； （2）若，記.求. 【答案】（1）（2） 試題解析： （1） 是公差為的等差數(shù)列 . （2）由（1）知 ， . 6.利用數(shù)列周期性求和 例1.數(shù)列的通項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，則為 【答案】 7.含有絕對值的數(shù)列求和 例1.已知數(shù)列中，，且滿足 （1）求的通項(xiàng)公式 （2）設(shè)，求. 【答案】(1) 最大為. (2) 【解析】（1）∵， ∴數(shù)列是等差數(shù)列 由知 ∴ （2）由（1）可得數(shù)列的前項(xiàng)和為。 當(dāng)時(shí)， 。 當(dāng)時(shí)， 。 綜上。 三．真題演練 1.【2017山東，理19】已知{xn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1+x2=3，x3-x2=2 （Ⅰ）求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，依次連接點(diǎn)P1(x1, 1)，P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1)得到折線P1 P2…Pn+1，求由該折線與直線y=0，所圍成的區(qū)域的面積. 【答案】(I)（II） （II）過……向軸作垂線，垂足分別為……, 由(I)得 記梯形的面積為. 由題意， 所以 ……+ =……+ ① 又……+ ② ①-②得 = 所以 【考點(diǎn)】1.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.等比數(shù)列的求和；3.“錯位相減法”. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式、數(shù)列求和的“錯位相減法”.此類題目是數(shù)列問題中的常見題型.本題覆蓋面廣，對考生計(jì)算能力要求較高.解答本題，布列方程組，確定通項(xiàng)公式是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確計(jì)算求和是關(guān)鍵，易錯點(diǎn)是在“錯位”之后求和時(shí)，弄錯等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù).本題將數(shù)列與解析幾何結(jié)合起來，適當(dāng)增大了難度，能較好的考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯思維能力及基本計(jì)算能力等. 2.【2017北京，理20】設(shè)和是兩個等差數(shù)列，記， 其中表示這個數(shù)中最大的數(shù)． （Ⅰ）若，，求的值，并證明是等差數(shù)列； （Ⅱ）證明：或者對任意正數(shù)，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，；或者存在正整數(shù)，使得是等差數(shù)列． 【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）分別代入求，觀察規(guī)律，再證明當(dāng)時(shí)，，所以關(guān)于單調(diào)遞減. 所以，即證明；（Ⅱ）首先求的通項(xiàng)公式，分三種情況討論證明. 試題解析：解：（Ⅰ） ， . 當(dāng)時(shí)，， 所以關(guān)于單調(diào)遞減. 所以. 所以對任意，于是， 所以是等差數(shù)列. （Ⅱ）設(shè)數(shù)列和的公差分別為，則 . 所以 ①當(dāng)時(shí)，取正整數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，因此. 此時(shí)，是等差數(shù)列. ②當(dāng)時(shí)，對任意， 此時(shí)，是等差數(shù)列. 【考點(diǎn)】1.新定義；2.數(shù)列的綜合應(yīng)用;3.推理與證明. 【名師點(diǎn)睛】近年北京卷理科壓軸題一直為新信息題，本題考查學(xué)生對新定義的理解能力和使用能力，本題屬于偏難問題，反映出學(xué)生對于新的信息的的理解和接受能力，本題考查數(shù)列的有關(guān)知識及歸納法證明方法，即考查了數(shù)列（分段形函數(shù)）求值，又考查了歸納法證明和對數(shù)據(jù)的分析研究，考查了學(xué)生的分析問題能力和邏輯推理能力，本題屬于拔高難題，特別是第二兩步難度較大，適合選拔優(yōu)秀學(xué)生. 3.【2017天津，理18】已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，,，. （Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 【答案】 （1）..（2）. 【解析】 試題分析：根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式列方程求出等差數(shù)列首項(xiàng)和公差及等比數(shù)列的公比，寫出等差數(shù)列和等比孰劣的通項(xiàng)公式，利用錯位相減法求出數(shù)列的和，要求計(jì)算要準(zhǔn)確. （II）解：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為， 由，，有， 故， ， 上述兩式相減，得 得. 所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為. 【考點(diǎn)】等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和 【名師點(diǎn)睛】利用等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式列方程組求數(shù)列的首項(xiàng)和公差或公比，進(jìn)而寫出通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，這是等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本要求，數(shù)列求和方法有倒序相加法，錯位相減法，裂項(xiàng)相消法和分組求和法等，本題考查錯位相減法求和. 4.【2017浙江，22】（本題滿分15分）已知數(shù)列{xn}滿足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)（）． 證明：當(dāng)時(shí)， （Ⅰ）0＜xn+1＜xn； （Ⅱ）2xn+1? xn≤； （Ⅲ）≤xn≤． 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析． 【解析】 試題解析：（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)n=1時(shí)，x1=1>0 假設(shè)n=k時(shí)，xk>0，那么n=k+1時(shí)，若，則，矛盾，故． 因此，所以，因此 （Ⅱ）由得 記函數(shù) 函數(shù)f(x)在[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以=0， 因此， （Ⅲ）因?yàn)?，所以得? ，， 故， 【考點(diǎn)】不等式證明 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的概念、遞推關(guān)系與單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，不等式及其應(yīng)用，同時(shí)考查推理論證能力、分析問題和解決問題的能力，屬于難題．本題主要應(yīng)用：（1）數(shù)學(xué)歸納法證明不等式；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式；（3）由遞推關(guān)系證明． 5.【2017江蘇，19】 對于給定的正整數(shù),若數(shù)列滿足 對任意正整數(shù)總成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列”. （1）證明：等差數(shù)列是“數(shù)列”; （2）若數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，證明：是等差數(shù)列. 【答案】（1）見解析（2）見解析 （2）數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，因此， 當(dāng)時(shí)，，① 當(dāng)時(shí)，.② 由①知，，③ ，④ 將③④代入②，得，其中， 所以是等差數(shù)列，設(shè)其公差為. 在①中，取，則，所以， 在①中，取，則，所以， 所以數(shù)列是等差數(shù)列. 【考點(diǎn)】等差數(shù)列定義及通項(xiàng)公式 【名師點(diǎn)睛】證明為等差數(shù)列的方法： (1)用定義證明：為常數(shù)）； (2)用等差中項(xiàng)證明：； (3)通項(xiàng)法： 為的一次函數(shù)； (4)前項(xiàng)和法： 6. 【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且記，其中表示不超過的最大整數(shù)，如． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求數(shù)列的前1 000項(xiàng)和． 【答案】（Ⅰ），， ；（Ⅱ）1893. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）先用等差數(shù)列的求和公式求公差，從而求得通項(xiàng)，再根據(jù)已知條件表示不超過的最大整數(shù)，求；（Ⅱ）對分類討論，再用分段函數(shù)表示，再求數(shù)列的前1 000項(xiàng)和． 試題解析：（Ⅰ）設(shè)的公差為，據(jù)已知有，解得 所以的通項(xiàng)公式為 （Ⅱ）因?yàn)? 所以數(shù)列的前項(xiàng)和為 考點(diǎn)：等差數(shù)列的的性質(zhì)，前項(xiàng)和公式，對數(shù)的運(yùn)算. 考點(diǎn)定位：本題考查新定義信息題，考查學(xué)生對新定義的理解能力和使用能力。 【名師點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生對新定義的理解能力和使用能力，本題屬于偏難問題，反映出學(xué)生對于新的信息的的理解和接受能力，題目給出新的定義：{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An，第n項(xiàng)之后各項(xiàng)an＋1，an＋2，…的最小值記為Bn，dn＝An－Bn ,對于數(shù)列{an}給出這樣一個新的定義，首先要理解定義，題目的第一步，前一項(xiàng)的最大值為2，第一項(xiàng)后面的項(xiàng)的最小值為1，即，則，同理求出，通過第一步的計(jì)算應(yīng)用新定義，加深對定義的認(rèn)識進(jìn)入第二步就容易一些了，第二步證明充要條件、第三步的證明就是在第一步的基礎(chǔ)上的深化研究，畢竟是一個新的信息題，在一個全新的環(huán)境下進(jìn)行思維，需要在原有的知識儲備，還需要嚴(yán)密的邏輯思維和分析問題與解決問題的能力，有得分的機(jī)會，但得滿分較難. 30