2018年高考數學 破解命題陷阱 專題16 數列求和的方法規(guī)律

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1、 專題16 數列求和的方法規(guī)律 一．高考命題類型 1.倒序求合法 2.裂項求和法 3.錯位相減求和 4.分組求和 5.分奇偶數討論求和 6.利用數列周期性求和 7.含有絕對值的數列求和 二．命題陷阱及命題陷阱破解措施 1.倒序求和 例1. 設，利用課本中推導等差數列前n項和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值是________． 【答案】 【方法規(guī)律總結】：倒序相加法求和，不僅應用在等差數列中，而且在函數以及組合中也有應用。等差數列中主要利用等差數列性質：若，則；函數中主要利用對稱中心性質：若關于對稱，則；組合中中主

2、要利用組合數性質： 練習1.已知，數列滿足，則__________． 【答案】1009 【解析】因為的圖象關于原點對稱， 的圖象由向上平移個單位，向右平移個單位， 故答案為. 練習2.已知函數為奇函數， ，若，則數列的前項和為( ) 【答案】 【解析】∵函數為奇函數圖象關于原點對稱， ∴函數的圖象關于點(,0)對稱， ∴函數的圖象關于點(,1)對稱， ∴， ∵， ∴數列的前項之和為， 故選：。 練習3. 已知函數，則的值為 _____． 【答案】 2.裂項求和 例2. 數列的前項和為，若，則等于（

3、） 【答案】 【解析】 選 練習1.數列的前項的和為（ ） 【答案】 【解析】 故數列的前10項的和為 選。 練習2.在等差數列中， ，則數列的前項和為（ ） 【答案】 練習3. 已知數列與的前項和分別為， ，且， ， ，若恒成立，則的最小值是( ) 49 【答案】B 【解析】當時， ，解得或. 由得.由，得. 兩式相減得. 所以. 因為，所以. 即數列是以3為首項，3為公差的等差數列

4、，所以. 所以. 所以. 要使恒成立，只需. 故選. 練習4.已知為數列的前項和，若且，設，則的值是（ ） 【答案】 . 故選B. 練習5.定義為個正數的“均倒數”，若已知數列的前項的“均倒數”為，又，則（ ） 【答案】 練習6.數列滿足，且對于任意的都有，則等于（　?。? 【答案】D 【解析】由題意可得： ，則： ， 以上各式相加可得： ，則： ， 練習7.設數列滿足，且，若表示不超過的最大整數，則 ( ) 【答

5、案】 解得， ∴， ∴， ∴ 則． 故答案為：． 練習8. 已知冪函數的圖象過點，令（），記數列的前項和為，則（ ） 【答案】 【解析】函數的圖象過點， 可得,解得， ， 則， 則. 故選：. 練習9. 已知數列的首項為，且，若，則數列的前項和__________． 【答案】 練習10.設數列的前項為，點， 均在函數的圖象上. （1）求數列的通項公式。 （2）設， 為數列的前項和. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）∵點在函數的圖象上， ∴ 當 （2） 練習11.已知等差數

6、列的前項和為，且. （Ⅰ）求數列的通項公式； （Ⅱ）若數列滿足，且，求的前項和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）設等差數列的首項為,公差為， ，所以，解得。 練習12.已知等差數列的前項和為，且. （Ⅰ）求數列的通項公式； （Ⅱ）若數列滿足，且，求的前項和. 【答案】(1) (2) 3.錯位相減求和 例3.已知數列的首項， ， …． （1）證明：數列是等比數列； （2）數列的前項和． 【答案】（1）證明見解析；（2）. 【解析】（1） ， ， ，又， ， 數列是以為首項，為公比的等比數列． （2）由（1）知，即， ．設…

7、， ① 則…，② 由①②得， ．又…． 數列的前項和 ． 練習1.已知數列， ， 為數列的前項和， ， ， （） （1）求數列的通項公式； （2）證明為等差數列； （3）若數列的通項公式為，令為的前項的和，求. 【答案】（1）（2）見解析（3） （3）令 ①②，得 練習2.已知數列是首項為正數的等差數列，數列的前項和為. （1）求數列的通項公式； （2）設，求數列的前項和. 【答案】（1）；（2）. （2）由（1）知所以 所以 兩式相減，得 所以 練習3. 已知等差數列中， ，數列中， . （

8、1）分別求數列的通項公式； （2）定義， 是的整數部分， 是的小數部分，且.記數列滿足，求數列的前項和. 【答案】(1) ;(2) . 解析：（1）， ，∴是首項為 ，公比為的等比數列，∴，∴. （2）依題意，當時， ，∴， 所以， 令， 兩式相減，得 故. 4.分組求和 例4. 已知數列滿足， ， . （Ⅰ）求數列的通項公式； （Ⅱ）求數列的前項和. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) . 【解析】試題分析： (Ⅰ)結合遞推關系可得是以為首項，公比為的等比數列，據此可得通項公式為. (Ⅱ)結合(Ⅰ)的結論有，分鐘求和可得. 試題解析： （Ⅱ

9、）由（Ⅰ）可知， 故 . 練習1.數列，……的前項和為（ ） 【答案】 【解析】分組求和： 。 本題選擇選項. 練習2.數列的前項和為=（ ） 【答案】 故選 ． 練習3. 已知數列{an}的通項公式是，則＝(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】= ,選B. 5.分奇偶數討論求和 【中】6.已知函數，且，則 ( ) 【答案】 【解析】當為奇數時，為偶數，則，所以， 當為偶數時，為奇數，則 ，

10、所以. 練習1. 已知在各項為正的數列中， ， ， ，則__________． 【答案】 【解析】因為,所以 ,即數列隔項成等比,所以 練習2. 已知函數，且，則等于（ ） A. -2014 B. 2014 C. 2019 D. -2019 【答案】D 【解析】若 是奇數，則構成等差數列， 則公差 則奇數項的和 若是偶數，則 則公差 則前1008個偶數項和 則 ， 故選D． 練習3. 已知數列的前項和為，且,（），若, 則數列的前項和_______________. 【答案】或 當n為偶數時， ，當n為奇數時， ，綜上所

11、述 ,故填或. 點睛：數列問題是高考中的重要問題，主要考查等差等比數列的通項公式和前項和，主要利用解方程得思想處理通項公式問題，利用分組求和、裂項相消、錯位相減法等方法求數列的和．在利用錯位相減求和時，要注意提高運算的準確性，防止運算錯誤 練習4. 設數列滿足：①；②所有項；③ ． 設集合，將集合中的元素的最大值記為．換句話說， 是 數列中滿足不等式的所有項的項數的最大值．我們稱數列為數列的 伴隨數列．例如，數列1,3,5的伴隨數列為1,1,2,2,3． （1）若數列的伴隨數列為1,1,1,2,2,2,3，請寫出數列； （2）設，求數列的伴隨數列的前100之和； （3）若數列的

12、前項和（其中常數），試求數列的伴隨數列前項和． 【答案】（1）1,4,7（2） 見解析（3） 試題解析：（1）1,4,7． （2）由，得 ∴ 當時， 當時， 當時， 當時， 當時， ∴ （3）∵ ∴ 當時， ∴ 由得： ∵使得成立的的最大值為， ∴ 當時： 當時： 當時： ∴ 練習5. 已知數列滿足： ， . （1）求； （2）若，記.求. 【答案】（1）（2） 試題解析： （1） 是公差為的等差數列 . （2）由（1）知

13、， . 6.利用數列周期性求和 例1.數列的通項，其前項和為，則為 【答案】 7.含有絕對值的數列求和 例1.已知數列中，，且滿足 （1）求的通項公式 （2）設，求. 【答案】(1) 最大為. (2) 【解析】（1）∵， ∴數列是等差數列 由知 ∴ （2）由（1）可得數列的前項和為。 當時， 。 當時， 。 綜上。 三．真題演練 1.【2017山東，理19】已知{xn}是各項均為正數的等比數列，且x1+x2=3，x3-x2=2 （Ⅰ）求數列{xn}的通項公式； （Ⅱ）如圖，在平面

14、直角坐標系xOy中，依次連接點P1(x1, 1)，P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1)得到折線P1 P2…Pn+1，求由該折線與直線y=0，所圍成的區(qū)域的面積. 【答案】(I)（II） （II）過……向軸作垂線，垂足分別為……, 由(I)得 記梯形的面積為. 由題意， 所以 ……+ =……+ ① 又……+ ② ①-②得 = 所以 【考點】1.等比數列的通項公式；2.等比數列的求和；3.“錯位相減法”. 【名師點睛】本題主要考查等比數列的通項公式及求和公式、數列求和的“錯位相減法”.此類題目是數列問題中的常見題型.本題覆蓋面廣，對

15、考生計算能力要求較高.解答本題，布列方程組，確定通項公式是基礎，準確計算求和是關鍵，易錯點是在“錯位”之后求和時，弄錯等比數列的項數.本題將數列與解析幾何結合起來，適當增大了難度，能較好的考查考生的數形結合思想、邏輯思維能力及基本計算能力等. 2.【2017北京，理20】設和是兩個等差數列，記， 其中表示這個數中最大的數． （Ⅰ）若，，求的值，并證明是等差數列； （Ⅱ）證明：或者對任意正數，存在正整數，當時，；或者存在正整數，使得是等差數列． 【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）分別代入求，觀察規(guī)律，再證明當時，，所以關于單調遞減. 所以，即證明；

16、（Ⅱ）首先求的通項公式，分三種情況討論證明. 試題解析：解：（Ⅰ） ， . 當時，， 所以關于單調遞減. 所以. 所以對任意，于是， 所以是等差數列. （Ⅱ）設數列和的公差分別為，則 . 所以 ①當時，取正整數，則當時，，因此. 此時，是等差數列. ②當時，對任意， 此時，是等差數列. 【考點】1.新定義；2.數列的綜合應用;3.推理與證明. 【名師點睛】近年北京卷理科壓軸題一直為新信息題，本題考查學生對新定義的理解能力和使用能力，本題屬于偏難問題，反映出學生對于新的信息的的理解和接受能力，本題考查數列的有關知識及歸納法證明方法，即考查了數列（分段形

17、函數）求值，又考查了歸納法證明和對數據的分析研究，考查了學生的分析問題能力和邏輯推理能力，本題屬于拔高難題，特別是第二兩步難度較大，適合選拔優(yōu)秀學生. 3.【2017天津，理18】已知為等差數列，前n項和為，是首項為2的等比數列，且公比大于0，,，. （Ⅰ）求和的通項公式； （Ⅱ）求數列的前n項和. 【答案】 （1）..（2）. 【解析】 試題分析：根據等差數列和等比數列通項公式及前項和公式列方程求出等差數列首項和公差及等比數列的公比，寫出等差數列和等比孰劣的通項公式，利用錯位相減法求出數列的和，要求計算要準確. （II）解：設數列的前項和為， 由，，有， 故， ，

18、上述兩式相減，得 得. 所以，數列的前項和為. 【考點】等差數列、等比數列、數列求和 【名師點睛】利用等差數列和等比數列通項公式及前項和公式列方程組求數列的首項和公差或公比，進而寫出通項公式及前項和公式，這是等差數列、等比數列的基本要求，數列求和方法有倒序相加法，錯位相減法，裂項相消法和分組求和法等，本題考查錯位相減法求和. 4.【2017浙江，22】（本題滿分15分）已知數列{xn}滿足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)（）． 證明：當時， （Ⅰ）0＜xn+1＜xn； （Ⅱ）2xn+1? xn≤； （Ⅲ）≤xn≤． 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；

19、（Ⅲ）見解析． 【解析】 試題解析：（Ⅰ）用數學歸納法證明： 當n=1時，x1=1>0 假設n=k時，xk>0，那么n=k+1時，若，則，矛盾，故． 因此，所以，因此 （Ⅱ）由得 記函數 函數f(x)在[0，+∞）上單調遞增，所以=0， 因此， （Ⅲ）因為，所以得， ，， 故， 【考點】不等式證明 【名師點睛】本題主要考查數列的概念、遞推關系與單調性等基礎知識，不等式及其應用，同時考查推理論證能力、分析問題和解決問題的能力，屬于難題．本題主要應用：（1）數學歸納法證明不等式；（2）構造函數，利用函數的單調性證明不等式；（3）由遞推關系證明． 5.【2017江蘇，

20、19】 對于給定的正整數,若數列滿足 對任意正整數總成立，則稱數列是“數列”. （1）證明：等差數列是“數列”; （2）若數列既是“數列”，又是“數列”，證明：是等差數列. 【答案】（1）見解析（2）見解析 （2）數列既是“數列”，又是“數列”，因此， 當時，，① 當時，.② 由①知，，③ ，④ 將③④代入②，得，其中， 所以是等差數列，設其公差為. 在①中，取，則，所以， 在①中，取，則，所以， 所以數列是等差數列. 【考點】等差數列定義及通項公式 【名師點睛】證明為等差數列的方法： (1)用定義證明：為常數）； (2)用等差中項證

21、明：； (3)通項法： 為的一次函數； (4)前項和法： 6. 【2016高考新課標2理數】為等差數列的前項和，且記，其中表示不超過的最大整數，如． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求數列的前1 000項和． 【答案】（Ⅰ），， ；（Ⅱ）1893. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）先用等差數列的求和公式求公差，從而求得通項，再根據已知條件表示不超過的最大整數，求；（Ⅱ）對分類討論，再用分段函數表示，再求數列的前1 000項和． 試題解析：（Ⅰ）設的公差為，據已知有，解得 所以的通項公式為 （Ⅱ）因為 所以數列的前項和為 考點：等差數列的的性質，前項和公式，對數的運算. 考點定位：

22、本題考查新定義信息題，考查學生對新定義的理解能力和使用能力。 【名師點睛】本題考查學生對新定義的理解能力和使用能力，本題屬于偏難問題，反映出學生對于新的信息的的理解和接受能力，題目給出新的定義：{an}是由非負整數組成的無窮數列，該數列前n項的最大值記為An，第n項之后各項an＋1，an＋2，…的最小值記為Bn，dn＝An－Bn ,對于數列{an}給出這樣一個新的定義，首先要理解定義，題目的第一步，前一項的最大值為2，第一項后面的項的最小值為1，即，則，同理求出，通過第一步的計算應用新定義，加深對定義的認識進入第二步就容易一些了，第二步證明充要條件、第三步的證明就是在第一步的基礎上的深化研究，畢竟是一個新的信息題，在一個全新的環(huán)境下進行思維，需要在原有的知識儲備，還需要嚴密的邏輯思維和分析問題與解決問題的能力，有得分的機會，但得滿分較難. 30