2018年高考數(shù)學 專題51 二項式定理常見的解題策略解題模板

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1、 專題51 二項式定理常見的解題策略 【高考地位】 二項式定理有關(guān)問題，是中學數(shù)學中的一個重要知識點，在歷年的高考中幾乎每年都有涉及. 因此掌握二項式定理問題的常見題型及其解題策略是十分必要的. 其考試題型主要有：求展開式中指定的項、求展開式中某一項的系數(shù)或二項式系數(shù)、求展開式中的系數(shù)和等，其難度不會太大，但題型可能較靈活．在高考中通常是以易題出現(xiàn)，主要以選擇題、填空題和解答題的形式考查，其試題難度屬中檔題. 【方法點評】 類型一 求展開式中指定的項或某一項的系數(shù)或二項式系數(shù) 使用情景：求展開式中指定的項或某一項的系數(shù)或二項式系數(shù) 解題模板：第一步 首先求出二項展開式的通項

2、； 第二步 根據(jù)已知求出展開式中指定的項或某一項的系數(shù)或二項式系數(shù)； 第三步 得出結(jié)論. 例1. 展開式中第3項的二項式系數(shù)為（ ） A．6 B．-6 C．24 D．-24 【答案】A 【變式演練1】二項式展開式中，項的系數(shù)為 ． 【答案】 【解析】 試題分析：，所以由得系數(shù)為 考點：二項式定理 【方法點睛】求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略 (1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第r＋1項，再由特定項的特點求出r值即可. (2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再

3、由通項寫出第r＋1項，由特定項得出r值，最后求出其參數(shù). 【變式演練2】的展開式中項的系數(shù)為20，則實數(shù) ． 【答案】 【解析】 試題分析：二項式展開式的通項為，令，解得，故展開式中項的系數(shù)為，解得. 考點：二項式定理． 【變式演練3】求的展開式中的系數(shù). 【答案】． 考點：二項式定理． 類型二 二項式系數(shù)的性質(zhì)與各項系數(shù)和 使用情景：二項式系數(shù)的性質(zhì)與各項系數(shù)和 解題模板：第一步 觀察題意特征，合理地使用賦值法； 第二步 區(qū)別二項式系數(shù)與展開式中項的系數(shù)，靈活利用二項式系數(shù)的性質(zhì)； 第三步 得出結(jié)論. 例2 【2018河北衡水模擬】若的展開式中的

4、二項式系數(shù)和為， 的系數(shù)為，則為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 故選 【變式演練4】在的展開式中，各二項式系數(shù)的和為128，則常數(shù)項是__________． 【答案】14. 考點：1、二項式定理的應用. 類型三 二項式定理的應用 使用情景：使用二項式定理處理整除問題 解題模板：第一步 通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與余數(shù)密切相關(guān)聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式； 第二步 再用二項式定理展開，但要注意兩點：一是余數(shù)的范圍，a＝cr＋b，其中余數(shù)b∈[0， r)，r是除數(shù)，切記余數(shù)不能為負，二是二項式定理的

5、逆用．； 第三步 得出結(jié)論. 例3 .設a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，則a＝( ) A．0 B．1 C．11 D．12 【答案】D. 【解析】 點評：在使用二項式定理展開，但要注意兩點：一是余數(shù)的范圍，a＝cr＋b，其中余數(shù)b∈[0，r)，r是除數(shù)，切記余數(shù)不能為負，二是二項式定理的逆用． 【變式演練5】S＝C27(1)＋C27(2)＋…＋C27(27)除以9的余數(shù)為________． 【答案】7. 【解析】 考點：二項式定理． 【高考再現(xiàn)】 1. 【2017課標1

6、，理6】展開式中的系數(shù)為 A．15 B．20 C．30 D．35 【答案】C 【解析】 試題分析：因為，則展開式中含的項為，展開式中含的項為，故前系數(shù)為，選C. 【考點】二項式定理 【名師點睛】對于兩個二項式乘積的問題，第一個二項式中的每項乘以第二個二項式的每項，分析好的項共有幾項，進行加和.這類問題的易錯點主要是未能分析清楚構(gòu)成這一項的具體情況，尤其是兩個二項式展開式中的不同. 2．【2017課標3，理4】的展開式中33的系數(shù)為 A． B． C．40 D．80 【答案】C 3.【2017浙江，13】已知多項式32=，則=___

7、_____，=________． 【答案】16，4 【解析】 試題分析：由二項式展開式可得通項公式為：，分別取和可得，令可得 【考點】二項式定理 【名師點睛】本題主要考查二項式定理的通項與系數(shù)，屬于簡單題． 二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關(guān)于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數(shù)）（2）考查各項系數(shù)和和各項的二項式系數(shù)和；（3）二項式定理的應用． 4.【2017山東，理11】已知的展開式中含有項的系數(shù)是，則 . 【答案】 【解析】試題分析：由二項式定理的通

8、項公式，令得：，解得． 【考點】二項式定理 【名師點睛】根據(jù)二項式展開式的通項，確定二項式系數(shù)或確定二項展開式中的指定項，是二項式定理問題中的基本問題，往往要綜合運用二項展開式的系數(shù)的性質(zhì)、二項式展開式的通項求解. 本題能較好地考查考生的思維能力、基本計算能力等. 5.【2016年高考四川理數(shù)】設i為虛數(shù)單位，則的展開式中含x4的項為 （A）－15x4 （B）15x4 （C）－20i x4 （D）20i x4 【答案】A 6. 【2016年高考北京理數(shù)】在的展開式中，的系數(shù)為__________________.（用數(shù)字作答） 【答案】60. 【解析】

9、 試題分析：根據(jù)二項展開的通項公式可知，的系數(shù)為，故填：. 考點：二項式定理. 【名師點睛】1.所謂二項展開式的特定項，是指展開式中的某一項，如第項、常數(shù)項、有理項、字母指數(shù)為某些特殊值的項.求解時，先準確寫出通項，再把系數(shù)與字母分離出來(注意符號)，根據(jù)題目中所指定的字母的指數(shù)所具有的特征，列出方程或不等式來求解即可；2、求有理項時要注意運用整除的性質(zhì)，同時應注意結(jié)合的范圍分析. 7. 【2016高考新課標1卷】的展開式中,x3的系數(shù)是 .（用數(shù)字填寫答案） 【答案】 考點:二項式定理 8 【2016高考天津理數(shù)】的展開式中x2的系數(shù)為__________.(用

10、數(shù)字作答) 【答案】 【解析】 試題分析：展開式通項為，令，，所以的．故答案為． 考點：二項式定理 9. 【2016高考山東理數(shù)】若（ax2+）5的展開式中x5的系數(shù)是—80，則實數(shù)a=_______. 【答案】-2 【解析】 試題分析：因為，所以由，因此 考點：二項式定理 【名師點睛】本題是二項式定理問題中的常見題型，二項展開式的通項公式，往往是考試的重點.本題難度不大，易于得分.能較好的考查考生的基本運算能力等. 10.【2015高考天津，理12】在 的展開式中，的系數(shù)為 . 【答案】 【反饋練習】 1．【2018廣西桂梧高中聯(lián)考】的展開式

11、的第4項的系數(shù)為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題意可得的展開式的第4項為，選A. 2. 【2018陜西西安長安區(qū)聯(lián)考】若，則的展開式中常數(shù)項為 A. 8 B. 16 C. 24 D. 60 【答案】C 【解析】∵∴的通項公式為 令，即 ∴二項式展開式中常數(shù)項是，故選C 3. 【2018東北名校聯(lián)考】若，則（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由二項展開式的通項公式，可知都小于．則．在原二項展開式中令，可得．故本題答案選． 4．【2018陜西兩校聯(lián)考】

12、的展開式中的系數(shù)是（ ） A. 56 B. 84 C. 112 D. 168 【答案】D 【解析】根據(jù)和的展開式的通項公式可得， 的系數(shù)為,故選D. 5．【2018廣西南寧摸底聯(lián)考】的展開式中項的系數(shù)為（ ） A. 80 B. C. D. 48 【答案】B 【解析】由題意可得，令r=1,所以的系數(shù)為-80.選B. 6．【2018云南昆明一中摸底】二項式展開式中的常數(shù)項為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 7．【2018廣西柳州摸底聯(lián)考】的展開式中， 的系數(shù)為（ ） A. 60

13、 B. C. 240 D. 【答案】C 【解析】，選C. 8．【江西省新余市2016屆高三第二次模擬考試數(shù)學（理）試題】展開式中除常數(shù)項外的其余項的系數(shù)之和為 . 【答案】 考點：二項式定理. 9．【2018廣西南寧八中摸底】在的展開式中，含的項的系數(shù)是（ ） A. 60 B. 160 C. 180 D. 240 【答案】D 【解析】二項式的通項公式為 ，令，所以含的項的系數(shù)是，故選D 10．【2018陜西名校五校聯(lián)考】的展開式中常數(shù)項為( ) A. B. C. D. 25

14、 【答案】C 【解析】 的通項為， ，根據(jù)式子可知當 或 時有常數(shù)項，令 ; 令;故所求常數(shù)項為 ，故選C. 11．【2018江西新余一中二?！吭诙検降恼归_式中，各項系數(shù)之和為，各項二項式系數(shù)之和為，且，則展開式中常數(shù)項的值為（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】B 12．【2018四川德陽三校聯(lián)考】已知,則___________. 【答案】 【解析】含的項的系數(shù)為，故填. 13. 【2018福建四校聯(lián)考】在的二項展開式中， 的項的系數(shù)是_______.（用數(shù)字作答） 【答案】70 【解析】根據(jù)二項式定理, 的通項為

15、， 當時,即r=4時,可得. 即項的系數(shù)為70. 14. 【2018黑龍江齊齊哈爾一模】在的展開式中，常數(shù)項是__________． 【答案】 【解析】第一個括號取，第二個括號為 ∴常數(shù)項是 故答案為： 15. 【2018江西宜春六校聯(lián)考】若，且，則的值為__________． 【答案】1 16. 【2018山西山大附中四調(diào)】 ，則__________． 【答案】28 【解析】令 ，則， 設的展開式含有項， ，令 ， ，所以. 17. 【2018遼寧凌源三校聯(lián)考】在的展開式中，含項的為， 的展開式中含項的為，則的最大值為__________. 【答案】 【解析】展開式的通項公式為： ， 令可得： ，則， 14