新編高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件： 坐標系與參數(shù)方程 第1節(jié) 坐標系學案 理 北師大版

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1、 第一節(jié)　坐標系 [考綱傳真]　(教師用書獨具)1.理解坐標系的作用，了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.2.了解極坐標的基本概念，會在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，能進行極坐標和直角坐標的互化.3.能在極坐標系中給出簡單圖形表示的極坐標方程． (對應學生用書第198頁) [基礎知識填充] 1．平面直角坐標系中的坐標伸縮變換 設點P(x，y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換φ：的作用下，點P(x，y)對應到點P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換． 2．極坐標與極坐標系的概念 圖1 在平面內(nèi)取一個定點O，叫作極點

2、，從O點引一條射線Ox，叫作極軸，選定一個單位長度和角的正方向(通常取逆時針方向)．這樣就確定了一個平面極坐標系，簡稱為極坐標系．對于平面內(nèi)任意一點M，用ρ表示線段OM的長，θ表示以Ox為始邊、OM為終邊的角度，ρ叫作點M的極徑，θ叫作點M的極角，有序?qū)崝?shù)對(ρ，θ)叫作點M的極坐標，記作M(ρ，θ)． 當點M在極點時，它的極徑ρ＝0，極角θ可以取任意值． 3．極坐標與直角坐標的互化 點M 直角坐標(x，y) 極坐標(ρ，θ) 互化公式 ρ2＝x2＋y2 tan θ＝(x≠0) 4.圓的極坐標方程 曲線 圖形 極坐標方程 圓心在極點，半徑為r的圓 ρ＝r(

3、0≤θ＜2π) 圓心為(r,0)，半徑為r的圓 ρ＝2rcos θ 圓心為，半徑為r的圓 ρ＝2rsin θ(0≤θ＜π) 5.直線的極坐標方程 (1)直線l過極點，且極軸到此直線的角為α，則直線l的極坐標方程是θ＝α(ρ∈R)． (2)直線l過點M(a,0)且垂直于極軸，則直線l的極坐標方程為ρcos θ＝a. (3)直線過M且平行于極軸，則直線l的極坐標方程為ρsin θ＝b(0＜θ＜π)． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)平面直角坐標系內(nèi)的點與坐標能建立一一對應關(guān)系，在極坐標系中點與坐標也是一一

4、對應關(guān)系．(　　) (2)若點P的直角坐標為(1，－)，則點P的一個極坐標是.(　　) (3)在極坐標系中，曲線的極坐標方程不是唯一的．(　　) (4)極坐標方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲線是一條直線．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．(教材改編)若以直角坐標系的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，則線段y＝1－x(0≤x≤1)的極坐標方程為(　　) A．ρ＝，0≤θ≤ B．ρ＝，0≤θ≤ C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ A　[∵y＝1－x(0≤x≤1)， ∴ρsin θ＝1－ρco

5、s θ(0≤ρcos θ≤1)， ∴ρ＝.] 3．(20xx·北京高考)在極坐標系中，點A在圓ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，點P的坐標為(1,0)，則|AP|的最小值為________． 1　[由ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 x2＋y2－2x－4y＋4＝0， 即(x－1)2＋(y－2)2＝1， 圓心坐標為C(1,2)，半徑長為1. ∵點P的坐標為(1,0)，∴點P在圓C外． 又∵點A在圓C上，∴|AP|min＝|PC|－1＝2－1＝1.] 4．已知直線l的極坐標方程為2ρsin＝，點A的極坐標為A，則點A到直線l的距離為______．

6、　[由2ρsin＝，得 2ρ＝， ∴y－x＝1. 由A，得點A的直角坐標為(2，－2)． ∴點A到直線l的距離d＝＝.] 5．已知圓C的極坐標方程為ρ2＋2ρ·sin－4＝0，求圓C的半徑． [解]　以極坐標系的極點為平面直角坐標系的原點O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標系xOy. 圓C的極坐標方程可化為 ρ2＋2ρ－4＝0， 化簡，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0. 則圓C的直角坐標方程為 x2＋y2－2x＋2y－4＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6， 所以圓C的半徑為. (對應學生用書第199頁) 平面直角坐標系中的伸縮變換

7、 　在平面直角坐標系中，已知伸縮變換φ： (1)求點A經(jīng)過φ變換所得點A′的坐標； (2)求直線l：y＝6x經(jīng)過φ變換后所得直線l′的方程． [解]　(1)設點A′(x′，y′)，由伸縮變換 φ：得 ∴x′＝×3＝1，y′＝＝－1. ∴點A′的坐標為(1，－1)． (2)設P′(x′，y′)是直線l′上任意一點． 由伸縮變換φ： 得 代入y＝6x，得2y′＝6·＝2x′， ∴y＝x即為所求直線l′的方程． [規(guī)律方法]　伸縮變換后方程的求法,平面上的曲線y＝f(x)在變換φ：的作用下的變換方程的求法是將代入y＝f(x)，得＝f，整理之后得到y(tǒng)′＝h(x′)，即

8、為所求變換之后的方程. 易錯警示：應用伸縮變換時，要分清變換前的點的坐標(x，y)與變換后的點的坐標(x′，y′). [跟蹤訓練]　求橢圓＋y2＝1，經(jīng)過伸縮變換后的曲線方程. 【導學號：79140385】 [解]　由得① 將①代入＋y2＝1，得＋y′2＝1， 即x′2＋y′2＝1. 因此橢圓＋y2＝1經(jīng)過伸縮變換后得到的曲線方程是x2＋y2＝1. 極坐標與直角坐標的互化 　(20xx·全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中，圓C的方程為(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程； (2)直線l的參數(shù)方程是(t

9、為參數(shù))，l與C交于A，B兩點，|AB|＝，求l的斜率． [解]　(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圓C的極坐標方程為ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的極坐標系中，直線l的極坐標方程為θ＝α(ρ∈R)． 設A，B所對應的極徑分別為ρ1，ρ2，將l的極坐標方程代入C的極坐標方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0， 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ＝. 由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±. 所以l的斜率為或－. [規(guī)律方法]　1.極坐標與直角坐標互化公式的三個前提條件 (1)取直角坐標系

10、的原點為極點． (2)以x軸的非負半軸為極軸． (3)兩種坐標系規(guī)定相同的長度單位． 2．極坐標與直角坐標互化的策略 (1)直角坐標方程化為極坐標方程，只要運用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化簡即可； (2)極坐標方程化為直角坐標方程時常通過變形，構(gòu)造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，進行整體代換． [跟蹤訓練]　(20xx·合肥二檢)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ＝4cos θ. (1)求出圓C的直角坐標方程； (2)已知圓C與x軸相交于A，B兩點，直線l：y＝2x關(guān)于點M(0，m)(

11、m≠0)對稱的直線為l′.若直線l′上存在點P使得∠APB＝90°，求實數(shù)m的最大值． [解]　(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x2＋y2－4x＝0， 即圓C的標準方程為(x－2)2＋y2＝4. (2)直線l：y＝2x關(guān)于點M(0，m)的對稱直線l′的方程為y＝2x＋2m，而AB為圓C的直徑，故直線l′上存在點P使得∠APB＝90°的充要條件是直線l′與圓C有公共點， 故≤2，解得－2－≤m≤－2， 所以實數(shù)m的最大值為－2. 極坐標方程的應用 　(20xx·全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極

12、坐標方程為ρcos θ＝4. (1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|＝16，求點P的軌跡C2的直角坐標方程； (2)設點A的極坐標為，點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值． [解]　(1)設P的極坐標為(ρ，θ)(ρ>0)，M的極坐標為(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由題設知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝. 由|OM|·|OP|＝16得C2的極坐標方程為ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C2的直角坐標方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)設點B的極坐標為(ρB，α)(ρB>0)． 由題設知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的

13、面積 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α· ＝2≤2＋. 當α＝－時，S取得最大值2＋. 所以△OAB面積的最大值為2＋. [規(guī)律方法]　在用方程解決直線、圓和圓錐曲線的有關(guān)問題時，將極坐標方程化為直角坐標方程，有助于對方程所表示的曲線的認識，從而達到化陌生為熟悉的目的，這是轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用. [跟蹤訓練]　(20xx·太原市質(zhì)檢)已知曲線C1：x＋y＝和C2：(φ為參數(shù))．以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，且兩種坐標系中取相同的長度單位． (1)把曲線C1和C2的方程化為極坐標方程； (2)設C1與x，y軸交于M，N兩點，且線段MN的中點為P.若射線OP與C1，C2交于P，Q兩點，求P，Q兩點間的距離. 【導學號：79140386】 [解]　(1)曲線C1化為ρcos θ＋ρsin θ＝. ∴ρsin＝. 曲線C2化為＋＝1.(*) 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(*)式 得cos2θ＋sin2θ＝1，即ρ2(cos2θ＋3sin2θ)＝6. ∴曲線C2的極坐標方程為ρ2＝. (2)∵M(，0)，N(0,1)，∴P， ∴OP的極坐標方程為θ＝， 把θ＝代入ρsin＝得ρ1＝1，P. 把θ＝代入ρ2＝得ρ2＝2，Q. ∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q兩點間的距離為1.