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1、第四單元第四單元 平面向量與復(fù)數(shù)平面向量與復(fù)數(shù)第一節(jié)第一節(jié) 平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理1.向量的有關(guān)概念及表示法大小方向 長度 模 記作0 0 長度為 的向量,其方向是任意的 零向量 向量 模 既有 又有 的量;向量的大小叫做向量的 (或 ) 向量 表示法定義名稱ABAB01 e e 相同 相反 a ab b 共線 相等 相同 a a=b b (1)a a與b b為相反的向量,則(2)0 0的相反向量為0 0長度 且方向 的向量 相反向量 長度 且方向 的向量 相等向量 向量又叫做共線向量 共線向量 a a與b b共線可記為 0 0與任一向量 方向 或
2、 的非零向量 平行向量 常用 表示 長度等于 的向量 單位向量 表示法定義名稱相等 相反 a a=-b b 平行 2.向量的線性運算三角形平行四邊形b b+a aa a+(b b+c c)三角形|a a|相同相反0()a a(a a)= ;(+)a a=(a a+b b)=(1)|a a|= .(2)當0時,a a與a a的方向 ;當0時,a a與a a的方向 ;當=0時,a a= .求實數(shù)與向量a a的積的運算 數(shù)乘 法則 求a a與b b的相反向量-b b的和的運算叫做a a與b b的差 減法 (1)交換律:a a+b b= .(2)結(jié)合律:(a a+b b)+c c= 法則 法則 求兩個
3、向量和的運算 加法 運算律 法則(或幾何意義) 定義 向量運算 a a+a aa a+b b3. 共線向量定理非零 存在 向量a a與向量b b共線的充要條件: 一個實數(shù),使b b=a a基礎(chǔ)達標基礎(chǔ)達標1. （教材改編題）化簡 得( )A. B. C. D. 0 0ACBDDCBA AB DA BC 2. 對于向量a a,b b,且 =a a+2b b, =-5a a+6b b, =7a a-2b b,則共線的三點是( )A. A、B、C B. A、B、D C. A、C、D D. B、C、DAB CD BC D B 1.解: 原式0ACDBCDBAACCDDBBA 2.解析： =2a4b2，
4、 ，又BD與AB有公共點B，A、B、D三點共線 BDBCCD BDAB 3. (2011福州模擬)如圖e e1,e e2為互相垂直的單位向量，則向量a a-b b可表示為( )A. 3e e2-e e1 B. -2e e1-4e e2 C. e e1-3e e2 D.3e e1-e e2C 解析：如圖所示，記向量a，b的終點分別為A，B，則ab e13e2.AB 4. (2011南京模擬改編)設(shè)ABC的外心為O，以線段OA、OB為鄰邊作平行四邊形，第四個頂點為D，再以O(shè)C、OD為鄰邊作平行四邊形，它的第四個頂點為H. 若OA=a a,OB=b b,OC=c c,用a a,b b,c c表示OH
5、為 . a a+b b+c c 解析： = ab， =abc.ODOAOB OHOCOD經(jīng)典例題經(jīng)典例題題型一題型一 平面向量的有關(guān)概念平面向量的有關(guān)概念 【例1】給出下列命題： 若|a a|b b|，則a a=b b； 若A，B，C，D是不共線的四點，則AB=DC是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件； 若a a,b b滿足|a a|b b|且a a與b b同向,則a ab b； 若a a/b b,b b/c c，則a a/c c. 其中正確命題的序號是 . （請把正確命題的序號都填上）解：不正確. 兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同；正確；AB=DC，|AB|=|DC|且ABDC，
6、又 A，B，C，D是不共線的四點， 四邊形 ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則ABDC且|AB|=|DC|，因此，AB=DC;向量不能比較大小,故不正確; 不正確,考慮b=0這種特殊情況.綜上所述，正確命題的序號是. 題型二題型二 平面向量的線性運算平面向量的線性運算【例2】（2010全國改編）ABC中，點D在邊AB上，且AD=2DB，若CB=a a,CA=b b， 則CD=( )A. a a+ b b B. a a+ b b C. a a+ b b D. a a+ b b1323231323454535 解：如圖，由題意得AD+2BD=0,又CD=CA+AD,CD=
7、CB+BD,+2，得3CD=CA+2CB=b b+2a a,CD= a a+ b b.2313題型三題型三 向量的共線及應(yīng)用向量的共線及應(yīng)用【例3】（2010蘇州模擬改編）設(shè)a a、b b是不共線的兩個非零向量.(1)若OA2a ab b，OB3a ab b，OCa a-3b b，求證：A、B、C三點共線；(2)是否存在實數(shù)k使8a akb b與ka a2b b共線，若存在，求出實數(shù)k的值；若不存在，請說明理由. 解：(1)證明：AB=(3a a+b b)-(2a a-b b)=a a+2b b,而BC(a3b b)(3a ab b)2a a4b b2AB，AB與BC共線. 又有公共點B，A、
8、B、C三點共線. (2)假設(shè)存在實數(shù)k,使8a akb b與ka a2b b共線，則存在實數(shù)，使得(8a akb b)(ka a2b b)(8k)a a(k2)b b0，a a與b b不共線，8k0,k208222，k=4.經(jīng)驗證，k=4均適合.變式變式3-13-1（2010湖北）已知ABC和點M滿足MA+MB+MC=0 0.若存在實數(shù)m使得AB+AC=mAM成立，則m=( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 5解:由MA+MB+MC=0 0得MA+MB=-MC，設(shè)AB的中點為D,則MA+MB=2MD，從而-MC=2MD ，即CM=2MD，所以M點為ABC的重心. 設(shè)BC的中點為E，則AB+AC=2AE,所以AE=m2AM,由三角形重心的性質(zhì)知:m=3.解析：由|AB+AC|=|AB-AC|可得ABAC,即得ABC是以BC為斜邊的直角三角形，則|AM|=12|BC|=124=2.答案：C鏈接高考鏈接高考 （2010四川）設(shè)點M是線段BC的中點，點A在直線BC外， BC2=16,|AB+AC|=|AB-AC|,則|AM|=( )A. 8 B. 4 C. 2 D. 1知識準備：1. 要掌握平面向量加、減法的幾何意義;2. 要知道直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的性質(zhì).
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