新版全國通用高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題22 隨機(jī)變量及其分布列 理含解析

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2、 1 【走向高考】（全國通用）20xx高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題22 隨機(jī)變量及其分布列 理（含解析） 一、解答題 1．(20xx·安徽理，17)甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完 5 局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽．假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨立． (1)求甲在 4 局以內(nèi)(含 4

3、局)贏得比賽的概率； (2)記 X 為比賽決出勝負(fù)時的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)． [分析]?、偌自谒木謨?nèi)贏得比賽，即甲前兩局勝，或第一局?jǐn)?，二、三局勝，或第一局勝，第二局?jǐn)。谌?、四局勝? ②比賽總局?jǐn)?shù)最少2局，最多5局，求概率時，既要考慮甲勝結(jié)束，又要考慮乙勝結(jié)束． ③由于各局比賽結(jié)果相互獨立，故按獨立事件公式計算積事件的概率． [解析]　用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”，則P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1,2,3,4,5. (1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)

4、＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＝()2＋×()2＋××()2＝. (2)X的可能取值為2,3,4,5. P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2) ＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝， P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3) ＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝， P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4) ＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝， P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3

5、)－P(X＝4)＝. 故X的分布列為 X 2 3 4 5 P E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝. [方法點撥]　1.求復(fù)雜事件的概率的一般步驟： 1°列出題中涉及的各事件，并且用適當(dāng)?shù)姆柋硎荆? 2°理清各事件之間的關(guān)系，列出關(guān)系式； 3°根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確選取概率公式進(jìn)行計算． 2．直接計算符合條件的事件的概率較繁時，可先間接地計算對立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率． 3．要準(zhǔn)確理解隨機(jī)變量取值的意義，準(zhǔn)確把握每一個事件所包含的基本事件，然后依據(jù)類型代入概率公式進(jìn)行計算． 4．概率與統(tǒng)計知識結(jié)合的問題，先依據(jù)統(tǒng)計知識明確條件，求出有

6、關(guān)統(tǒng)計的結(jié)論，再將所求問題簡化為純概率及其分布的問題，依據(jù)概率及其分布列、期望、方差的知識求解． 5．離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)： 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 則①pi≥0，i＝1,2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1. 2．(20xx·重慶理，17)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗．設(shè)一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同．從中任意選取3個． (1)求三種粽子各取到1個的概率； (2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個數(shù)，求X的分布

7、列與數(shù)學(xué)期望． [分析]　考查了古典概型的概率以及分布列、數(shù)學(xué)期望，屬于簡單題型．(1)由古典概型概率公式計算；(2)從含有2個豆沙粽的10個粽子中取3個，據(jù)此可得出X的可能取值及其概率，列出分布列求得期望． [解析]　(1)令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個”，由古典概型的概率計算公式有 P(A)＝＝. (2)X的可能取值為0,1,2，且 P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝ 綜上知，X的分布列為： X 0 1 2 P 故E(X)＝0×＋1×＋2×＝(個) [方法點撥]　如果題目條件是從含A類物品M件，總數(shù)為N的A、B兩類物品中，抽

8、取n件，其中含有A類物品件數(shù)X為隨機(jī)變量，則按超幾何分布公式直接計算． 請練習(xí)下題： 一盒中有12個零件，其中有3個次品，從盒中每一次取出一個零件，取后不放回，求在取到正品前已取次數(shù)X的分布列和期望． [分析]　由于題設(shè)中要求取出次品不再放回，故應(yīng)仔細(xì)分析每一個X所對應(yīng)的事件的準(zhǔn)確含義．據(jù)此正確地計算概率p. [解析]　X可能的取值為0、1、2、3這四個數(shù)，而X＝k表示，共取了k＋1次零件，前k次取得的是次品，第k＋1次取得正品，其中k＝0、1、2、3. (1)當(dāng)X＝0時，第1次取到正品，試驗中止，此時 P(X＝0)＝＝. (2)當(dāng)X＝1時，第1次取到次品，第2次取到正品， P

9、(X＝1)＝×＝. (3)當(dāng)X＝2時，前2次取到次品，第3次取到正品， P(X＝2)＝××＝. 當(dāng)X＝3時，前3次將次品全部取出， P(X＝3)＝××＝. 所以X的分布列為： X 0 1 2 3 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 3．(20xx·石家莊質(zhì)檢)某商場為了了解顧客的購物信息，隨機(jī)的在商場收集了100位顧客購物的相關(guān)數(shù)據(jù)，整理如下： 一次購物款 (單位：元) [0,50) [50,100) [100,150) [150,200) [200，＋∞) 顧客人數(shù) m 20 30 n 10 統(tǒng)計結(jié)果顯示：100位顧

10、客中購物款不低于100元的顧客占60%.據(jù)統(tǒng)計該商場每日大約有5000名顧客，為了增加商場銷售額度，對一次性購物不低于100元的顧客發(fā)放紀(jì)念品(每人一件)．(注：視頻率為概率) (1)試確定m、n的值，并估計該商場每日應(yīng)準(zhǔn)備紀(jì)念品的數(shù)量； (2)現(xiàn)有4人去該商場購物，求獲得紀(jì)念品的人數(shù)ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望． [解析]　(1)由已知，100位顧客中購物款不低于100元的顧客有n＋40＝100×60%， n＝20； m＝100－(20＋30＋20＋10)＝20. 該商場每日應(yīng)準(zhǔn)備紀(jì)念品的數(shù)量大約為5000×＝3000件． (2)由(1)可知1人購物獲得紀(jì)念品的頻率即為概率 p＝＝

11、. 故4人購物獲得紀(jì)念品的人數(shù)ξ服從二項分布B(4，)． P(ξ＝0)＝C()0()4＝， P(ξ＝1)＝C()1()3＝， P(ξ＝2)＝C()2()2＝， P(ξ＝3)＝C()3()1＝， P(ξ＝4)＝C()4()0＝， ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 P ξ數(shù)學(xué)期望為E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝. 或由E(ξ)＝4×＝. [方法點撥]　1.獨立重復(fù)試驗與二項分布 一般地，如果在一次試驗中事件A發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…

12、，n)．稱事件A發(fā)生的次數(shù)X服從參數(shù)為n、p的二項分布． 若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 2．離散型隨機(jī)變量的期望：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 則E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn，D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn. 3．準(zhǔn)確辨別獨立重復(fù)試驗的基本特征(①在每次試驗中，試驗結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況；②在每次試驗中，事件發(fā)生的概率相同)，牢記公式Pn(k)＝Cpk(1

13、－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，并深刻理解其含義，是解二項分布問題的關(guān)鍵． 4．對于復(fù)雜事件，要先辨析其構(gòu)成，依據(jù)互斥事件，或者相互獨立事件按事件的和或積的概率公式求解，還要注意含“至多”，“至少”類詞語的事件可轉(zhuǎn)化為對立事件的概率求解． 請練習(xí)下題： 為了了解今年某校高三畢業(yè)班準(zhǔn)備報考飛行員學(xué)生的身體素質(zhì)，學(xué)校對他們的體重進(jìn)行了測量，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖(如圖)，已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為123，其中第2小組的頻數(shù)為12. (1)求該校報考飛行員的總?cè)藬?shù)； (2)以這所學(xué)校的樣本數(shù)據(jù)來估計全省的總體數(shù)據(jù)，若從全省報考飛行員的學(xué)生中(人

14、數(shù)很多)任選3人，設(shè)X表示體重超過60kg的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． [分析]　先由頻率直方圖中前三組頻率的比及第2小組頻數(shù)及頻率分布直方圖的性質(zhì)求出n的值和任取一個報考學(xué)生體重超過60kg的概率．再由從報考飛行員的學(xué)生中任選3人知，這是三次獨立重復(fù)試驗，故X服從二項分布． [解析]　(1)設(shè)報考飛行員的人數(shù)為n，前3個小組的頻率分別為p1，p2，p3，則由條件可得： 解得p1＝0.125，p2＝0.25，p3＝0.375. 又因為p2＝0.25＝，故n＝48. (2)由(1)可得，一個報考學(xué)生體重超過60kg的概率為 P＝p3＋(0.037＋0.013)×5＝，

15、由題意知X服從二項分布B(3，)， P(x＝k)＝C()k()3－k(k＝0,1,2,3)， 所以隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 4．(20xx·江西省質(zhì)量監(jiān)測)一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示： 老板根據(jù)銷售量給予店員獎勵，具體獎勵規(guī)定如下表 銷售量X個 X<100 100≤X<150 150≤X<200 X≥200 獎勵金額(元) 0 50 100 150 (1)求在未來連續(xù)3天里，店員共獲得獎勵150元的概率； (2)記未來連

16、續(xù)2天，店員獲得獎勵X元，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)． [解析]　(1)由頻率分布直方圖得店員一天獲得50元、100元、150元的概率分別是0.3,0.2,0.1，不得獎勵的概率是0.4， 所以未來連續(xù)3天里，店員共獲得獎勵150元的概率 P＝0.33＋A×0.3×0.2×0.4＋C×0.42×0.1＝0.219； (2)X可能取值有0,50,100,150,200,250,300. P(X＝0)＝0.42＝0.16，P(X＝50)＝2×0.4×0.3＝0.24. P(X＝100)＝0.32＋2×0.4×0.2＝0.25，P(X＝150)＝2×0.4×0.1＋2×0.3

17、×0.2＝0.20. P(X＝200)＝0.22＋2×0.3×0.1＝0.10， P(X＝250)＝2×0.2×0.1＝0.04， P(X＝300)＝0.12＝0.01， 所以隨機(jī)變量X的分布列是： X 0 50 100 150 200 250 300 P(X) 0.16 0.24 0.25 0.20 0.10 0.04 0.01 E(X)＝0×0.16＋50×0.24＋100×0.25＋150×0.20＋200×0.10＋250×0.04＋300×0.01＝100(或E(X)＝2(0×0.4＋50×0.3＋100×0.2＋150×0.1)＝100)

18、 [方法點撥]　概率與統(tǒng)計知識相結(jié)合是高考主要命題方式之一．一般先解答統(tǒng)計問題，最后依據(jù)條件確定隨機(jī)變量的取值及其概率，再列出分布列求期望．請練習(xí)下題： (20xx·江西上饒市三模)對某校高二年級學(xué)生暑期參加社會實踐次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計，隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加社會實踐的次數(shù)．根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下： 分組 頻數(shù) 頻率 [10,15) 20 0.25 [15,20) 48 n [20,25) m p [25,30) 4 0.05 合計 M 1 (1)求出表中M，p及圖中a的值； (2)在所取樣本中，從參加

19、社會實踐的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選3人，記參加社會實踐次數(shù)在區(qū)間[25,30)內(nèi)的人數(shù)為X，求X的分布列和期望． [解析]　(1)由頻率分布表和頻率分布直方圖的知識與性質(zhì)知，＝0.25，＝n,0.25＋n＋p＋0.05＝1，＝a，解之可得M＝80，p＝0.1，a＝0.12. (2)參加社會實踐次數(shù)分別在[20,25]和[25,30)的人數(shù)依次為0.1×80＝8人，0.05×80＝4人，從這12人中隨機(jī)抽取3人，隨機(jī)變量X的取值為0,1,2,3. P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝， P(X＝3)＝＝＝. 分布列如下： X 0 1 2 3

20、 P 可得E(X)＝1. 5．(20xx·河南八市質(zhì)量監(jiān)測)某市在20xx年2月份的高三期末考試中對數(shù)學(xué)成績數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示，全市10000名學(xué)生的成績服從正態(tài)分布N(115,25)，現(xiàn)某校隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績分析，結(jié)果這50名同學(xué)的成績?nèi)拷橛?0分到140分之間．現(xiàn)將結(jié)果按如下方式分為6組，第一組[80,90)，第二組[90,100)，……，第六組[130,140]，得到如下圖所示的頻率分布直方圖． (1)試估計該校數(shù)學(xué)的平均成績(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)； (2)這50名學(xué)生中成績在120分(含120分)以上的同學(xué)中任意抽取3人，該3人在全

21、市前13名的人數(shù)記為X，求X的分布列和期望． 附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ

22、07， 所以該校的平均成績?yōu)?07. (2)由于＝0.0013，根據(jù)正態(tài)分布： ∵P(115－3×5

23、 E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.2. [方法點撥]　1.正態(tài)分布 數(shù)學(xué)期望為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ的正態(tài)隨機(jī)變量概率密度函數(shù)為f(x)＝e－，x∈R. 2．正態(tài)曲線的特點 ①曲線位于x軸上方，與x軸不相交； ②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱； ③曲線在x＝μ處達(dá)到峰值； ④曲線與x軸之間的面積為1； ⑤當(dāng)σ一定時，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖①所示；⑥當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定．σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖②所示． 3．正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值 正態(tài)變量在區(qū)間

24、(μ－σ，μ＋σ)內(nèi)取值的概率為68.3%； 正態(tài)變量在區(qū)間(μ－2σ，μ＋2σ)內(nèi)取值的概率為95.4%； 正態(tài)變量在區(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ)內(nèi)取值的概率為99.7%. 4．期望、方差的性質(zhì) E(aX＋b)＝aE(X)＋b；D(aX＋b)＝a2D(X)． 6．(20xx·石家莊市一模)集成電路E由3個不同的電子元件組成，現(xiàn)由于元件老化，三個電子元件能正常工作的概率分別降為，，，且每個電子元件能否正常工作相互獨立．若三個電子元件中至少有2個正常工作，則E能正常工作，否則就需要維修，且維修集成電路E所需費用為100元． (1)求集成電路E需要維修的概率； (2)若某電子設(shè)備共由2

25、個集成電路E組成，設(shè)X為該電子設(shè)備需要維修集成電路所需的費用，求X的分布列和期望． [解析]　(1)三個電子元件能正常工作分別記為事件A，B，C，則P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝. 依題意，集成電路E需要維修有兩種情形： ①3個元件都不能正常工作，概率為 P1＝P( )＝P()P()P()＝××＝； ②3個元件中的2個不能正常工作，概率為 P2＝P(A ＋B＋ C)＝P(A)＋P(B)＋P( C) ＝××＋××＋××＝ 所以，集成電路E需要維修的概率為P1＋P2＝＋＝. (2)設(shè)ξ為維修集成電路的個數(shù)，則ξ～B，而X＝100ξ， P(X＝100k)＝P(ξ＝k)＝Ck

26、2－k，k＝0,1,2. X的分布列為： X 0 100 200 P ∴E(X)＝0×＋100×＋200×＝ 或E(X)＝100E(ξ)＝100×2×＝. 7．(20xx·鄭州市質(zhì)檢)為了迎接20xx年3月30日在鄭州舉行的“中國鄭州國際馬拉松賽”，舉辦單位在活動推介晚會上進(jìn)行嘉賓現(xiàn)場抽獎活動. 抽獎盒中裝有6個大小相同的小球，分別印有“鄭開馬拉松”和“美麗綠城行”兩種標(biāo)志. 搖勻后，參加者每次從盒中同時抽取兩個小球(取出后不再放回)，若抽到兩個球都印有“鄭開馬拉松”標(biāo)志即可獲獎，并停止取球；否則繼續(xù)抽取．第一次取球就抽中獲一等獎，第二次取球抽中獲二等獎，第三次取

27、球抽中獲三等獎，沒有抽中不獲獎．活動開始后，一位參賽者問：“盒中有幾個印有‘鄭開馬拉松’的小球？”主持人說“我只知道第一次從盒中同時抽兩球，不都是‘美麗綠城行’標(biāo)志的概率是.” (1)求盒中印有“鄭開馬拉松”小球的個數(shù)； (2)若用η表示這位參加者抽取的次數(shù)，求η的分布列及期望． [解析]　(1)設(shè)印有“美麗綠城行”的球有n個，同時抽兩球不都是“美麗綠城行”標(biāo)志為事件A, 則同時抽取兩球都是“美麗綠城行”標(biāo)志的概率是P()＝， 由對立事件的概率知P(A)＝1－P()＝. 即P()＝＝，解得n＝3. (2)由已知，兩種球各三個，η可能取值分別為1、2、3，則η＝2的含義是第一次

28、取到兩球都印有“美麗綠城行”，第二次取球中獎；或第一次取到兩類球各一個，第二次取球中獎， ∴P(η＝1)＝＝， P(η＝2)＝·＋·＝， P(η＝3)＝1－P(η＝1)－P(η＝2)＝，則η的分布列為： η 1 2 3 Ρ 所以E(η)＝1×＋2×＋3×＝. [方法點撥]　解決概率的實際應(yīng)用問題，先通過審題，將條件翻譯為解題需要的數(shù)學(xué)語言，再依據(jù)條件判明概率類型、弄清隨機(jī)變量取值時所表示事件的含義，并把復(fù)雜事件進(jìn)行合理的分拆，轉(zhuǎn)化為簡單事件，最后代入對應(yīng)公式進(jìn)行計算． 請再練習(xí)下題： (20xx·福建理，18)為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000

29、位顧客進(jìn)行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵額． (1)若袋中所裝的4個球中有1個所標(biāo)的面值為50元，其余3個均為10元，求： ①顧客所獲的獎勵額為60元的概率； ②顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望； (2)商場對獎勵總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成．為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計，并說明理由． [解析]　(1)設(shè)顧客所獲的獎勵額為X

30、， (ⅰ)依題意，得P(X＝60)＝＝， 顧客所獲的獎勵額為60元的概率為； (ⅱ)依題意，得X的所有可能取值為20,60， P(X＝60)＝，P(X＝20)＝＝. 即X的分布列為 X 20 60 P 0.5 0.5 ∴顧客所獲的獎勵額的期望E(X)＝20×0.5＋60×0.5＝40(元)． (2)根據(jù)商場的預(yù)算，每個顧客的平均獎勵為60元，所以先尋找期望為60的可能方案，對于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10,10,10,50)的方案，因為60元是面值之和的最大值，所以期望不可能是60元；如果選擇(50,50,50,10)的方案，因為60元是面積之和最小

31、值，所以期望也不可能是60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)記為方案1， 對于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，記為方案2， 以下是對兩個方案的評價： 對于方案1，即方案(10,10,50,50)，設(shè)顧客所獲獎勵額為X1，則X1的分布列為 X1 20 60 100 P X1的期望為E(X1)＝20×＋60×＋100×＝60， X1的方差為D(X1)＝(20－60)2×＋(60－60)2×＋(100－60)2×＝ . 對于方案2，即方案(20,20,40,40)設(shè)顧客所獲的獎勵額為X2，則X2的分布列為 X2 40 60 80 P X2的期望為E(X2)＝40×＋60×＋80×＝60， X2的方差為D(X2)＝(40－60)2×＋(60－60)2×＋(80－60)2×＝. 由于兩種方案的獎勵額的期望都符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案1的小，所以應(yīng)選擇方案2.