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1、
第6講 冪函數(shù)與二次函數(shù)
一、選擇題
1.已知冪函數(shù)y=f(x)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn),則f(2)=( )
A. B.4
C. D.
解析 設(shè)f(x)=xα,因?yàn)閳D像過(guò)點(diǎn),代入解析式得:α=-,∴f(2)=2-=.
答案 C
2.若函數(shù)f(x)是冪函數(shù),且滿足=3,則f()的值為( )
A.-3 B.-
C.3 D.
解析 設(shè)f(x)=xα,則由=3,得=3.
∴2α=3,∴f()=()α==.
2、
答案 D
3.已知函數(shù)f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3,若有f(a)=g(b),則b的取值范圍為 ( ).
A.[2-,2+] B.(2-,2+)
C.[1,3] D.(1,3)
解析 f(a)=g(b)?ea-1=-b2+4b-3?ea=-b2+4b-2成立,故-b2+4b-2>0,解得2-
3、得a=
-3.
答案 A
5 .函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象關(guān)于直線x=-對(duì)稱.據(jù)此可推測(cè),對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)a,b,c,m,n,p,關(guān)于x的方程m[f(x)]2+nf(x)+p=0的解集都不可能是( ).
A.{1,2} B.{1,4}
C.{1,2,3,4} D.{1,4,16,64}
解析 設(shè)關(guān)于f(x)的方程m[f(x)]2+nf(x)+p=0有兩根,即f(x)=t1或f(x)=t2.
而f(x)=ax2+bx+c的圖象關(guān)于
4、x=-對(duì)稱,因而f(x)=t1或f(x)=t2的兩根也關(guān)于x=-對(duì)稱.而選項(xiàng)D中≠.
答案 D
6.二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,a為正整數(shù),c≥1,a+b+c≥1,方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)小于1的不等正根,則a的最小值是 ( ).
A.3 B.4 C.5 D.6
解析 由題意得f(0)=c≥1,f(1)=a+b+c≥1.當(dāng)a越大,y=f(x)的開(kāi)口越小,當(dāng)a越小,y=f(x)的開(kāi)口越大,而y=f(x)的開(kāi)口最大時(shí),y=f(x)過(guò)(0,1),(1,1),則c=1,a+b+c=1.a+b=0,a=-b,-=,又b2-4ac>0,a(a-4)>0
5、,a>4,由于a為正整數(shù),即a的最小值為5.
答案 C
二、填空題
7.對(duì)于函數(shù)y=x2,y=x有下列說(shuō)法:①兩個(gè)函數(shù)都是冪函數(shù);②兩個(gè)函數(shù)在第一象限內(nèi)都單調(diào)遞增;③它們的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱;④兩個(gè)函數(shù)都是偶函數(shù);⑤兩個(gè)函數(shù)都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0)、(1,1);⑥兩個(gè)函數(shù)的圖像都是拋物線型.
其中正確的有________.
解析 從兩個(gè)函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)去進(jìn)行比較.
答案 ①②⑤⑥
8.若二次函數(shù)f(x)=ax2-4x+c的值域?yàn)閇0,+∞),則a,c滿足的條件是________.
解析 由已知得?
答案 a>0,ac=4
9.方程x2-mx+1=0的兩根
6、為α、β,且α>0,1<β<2,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
解析 ∵∴m=β+.
∵β∈(1,2)且函數(shù)m=β+在(1,2)上是增函數(shù),
∴1+1<m<2+,即m∈.
答案
10.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2.若同時(shí)滿足條件:
①?x∈R,f(x)<0或g(x)<0;
②?x∈(-∞,-4),f(x)g(x)<0,
則m的取值范圍是________.
解析 當(dāng)x<1時(shí),g(x)<0,當(dāng)x>1時(shí),g(x)>0,當(dāng)x=1時(shí),g(x)=0,m=0不符合要求;當(dāng)m>0時(shí),根據(jù)函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)的單調(diào)性,一定存在區(qū)間[a,+∞)使
7、f(x)≥0且g(x)≥0,故m>0時(shí)不符合第①條的要求;當(dāng)m<0時(shí),如圖所示,如果符合①的要求,則函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)都得小于1,如果符合第②條要求,則函數(shù)f(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)小于-4,問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)f(x)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn),其中較大的零點(diǎn)小于1,較小的零點(diǎn)小于-4,函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)是2m,-(m+3),故m滿足或解第一個(gè)不等式組得-4
8、+1)(k∈Z)上的表達(dá)式.
解 設(shè)在[-1,1)上,f(x)=xn,由點(diǎn)在函數(shù)圖象上,求得n=3.
令x∈[2k-1,2k+1),則x-2k∈[-1,1),
∴f(x-2k)=(x-2k)3.又f(x)周期為2,
∴f(x)=f(x-2k)=(x-2k)3.即f(x)=(x-2k)3(k∈Z).
12.已知函數(shù)f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4, 6].
(1)當(dāng)a=-2時(shí),求f(x)的最值;
(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍,使y=f(x)在區(qū)間[-4,6]上是單調(diào)函數(shù);
(3)[理]當(dāng)a=1時(shí),求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間.
解 (1)當(dāng)a=-2時(shí),f(x)=x2-4x+3=
9、(x-2)2-1,
由于x∈[-4,6],
∴f(x)在[-4,2]上單調(diào)遞減,在[2,6]上單調(diào)遞增,
∴f(x)的最小值是f(2)=-1,
又f(-4)=35,f(6)=15,故f(x)的最大值是35.
(2)由于函數(shù)f(x)的圖像開(kāi)口向上,對(duì)稱軸是x=-a,
所以要使f(x)在[-4,6]上是單調(diào)函數(shù),應(yīng)有-a≤-4或-a≥6,即a≤-6 或a≥4.
(3)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x2+2x+3,
∴f(|x|)=x2+2|x|+3,此時(shí)定義域?yàn)閤∈[-6,6],
且f(x)=
∴f(|x|)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,6],單調(diào)遞減區(qū)間是[-6,0].
13.設(shè)函數(shù)f(x
10、)=ax2-2x+2,對(duì)于滿足10,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解 不等式ax2-2x+2>0等價(jià)于a>,
設(shè)g(x)=,x∈(1,4),則
g′(x)=
==,
當(dāng)10,當(dāng)2,
因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
14.已知函數(shù)f(x)=x-k2+k+2(k∈Z)滿足f(2)0,使函數(shù)g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在區(qū)間[-1,2]上的值域?yàn)??若存在,求出q;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解 (1)∵f(2)0,解得-10滿足題設(shè),由(1)知
g(x)=-qx2+(2q-1)x+1,x∈[-1,2].
∵g(2)=-1,∴兩個(gè)最值點(diǎn)只能在端點(diǎn)(-1,g(-1))和頂點(diǎn)處取得.而-g(-1)=-(2-3q)=≥0,∴g(x)max==,
g(x)min=g(-1)=2-3q=-4.
解得q=2,∴存在q=2滿足題意.