2013-2017高考數(shù)學(xué)分類匯編-文科 第三章導(dǎo)數(shù) 第1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算

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1、 第三章 導(dǎo)數(shù) 第1節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算 題型33 導(dǎo)數(shù)的定義——暫無 題型34 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1.（2015天津文11）已知函數(shù) ，其中為實(shí)數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，若 ，則的值為 ． 1. 解析 因?yàn)?，所以. 2.（2015陜西文21(1)）設(shè)求. 2. 解析 由題設(shè)，所以， 所以， 由錯(cuò)位相減法求得： ， 所以. 3.（2016天津文10）已知函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，則的值為__________. 3.3解析 因?yàn)?，所? 4.（2017浙江20） 已知函數(shù). （1）求的導(dǎo)函數(shù)； （2）求在區(qū)間上的取值范圍. 4.解析 （1）因?yàn)?，， 所

2、以. （2）由，解得或. 當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表所示. 1 0 0 ↘ 0 ↗ ↘ 又，，所以在區(qū)間上的取值范圍是. 題型35 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 1. （2013江西文11） 若曲線（）在點(diǎn)處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則 . 1.解析 因?yàn)椋栽邳c(diǎn)處的切線斜率，則切線方程為. 又切線過原點(diǎn)，故，解得. 2.(2013廣東文12）若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，則 ． 2.分析 計(jì)算出函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求的值. 解析 因?yàn)?，所?因?yàn)榍€在

3、點(diǎn)處的切線平行于軸， 故其斜率為，故. 3. (2013天津文20）設(shè)， 已知函數(shù) （1）證明在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減， 在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增； （2）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線相互平行， 且 證明：. 3. 分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)證明；（2）利用（1）的結(jié)論、直線平行的條件用 參數(shù)表示出用換元法證明結(jié)論. 解析 證明：（1）設(shè)函數(shù) ①由于從而當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減. ②由于所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.即函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增. 綜合①②及可知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增. （2）由（1）知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減

4、，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增. 因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線相互平行，從而互不相等，且不妨設(shè)由 可得解得 從而 設(shè)則 由解得 所以 設(shè)則因?yàn)樗? 故即 4. (2013陜西文21）已知函數(shù). （1）求的反函數(shù)的圖象上點(diǎn)處的切線方程； （2）證明：曲線與曲線有唯一公共點(diǎn)； （3）設(shè)，比較與的大小，并說明理由. 4.分析 確定反函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；將兩曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零 點(diǎn)個(gè)數(shù)問題來解決；利用作差法比較大小． 解析 （1）解：的反函數(shù)為，設(shè)所求切線的斜率為． 因?yàn)椋?，于是在點(diǎn)處的切線方程為. （2）證法一：曲線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．因

5、為，所以存在零點(diǎn). 又，令,則. 當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增， 所以在處有唯一的極小值，即在上的最小值為. ，所以在上是單調(diào)遞增的，所以在上有唯一的零點(diǎn)，故曲線與曲線有唯—的公共點(diǎn)． 證法二：因?yàn)?，，所以曲線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于曲線與公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)． 設(shè)，則，即當(dāng)時(shí)，兩曲線有公共點(diǎn)． 又， 所以在上是單調(diào)遞減，所以與有唯一的公共點(diǎn)，故曲線與曲線有唯—的公共點(diǎn)． （3）解： . 設(shè)函數(shù)，則，所以，所以單調(diào)遞增． 當(dāng)時(shí)，．令，則得． 又，所以 5. (2013福建文22）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）. （1）若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，求的

6、值； （2）求函數(shù)的極值； （3）當(dāng)時(shí)，若直線與曲線沒有公共點(diǎn)，求的最大值. 5.分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率；（2）討論字母的取值；（3）先構(gòu)造函數(shù)再結(jié)合函數(shù) 的零點(diǎn)存在性定理求解. 解析 解法一：（1）由，得.又曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，得，即，解得. （2）. ①當(dāng)時(shí)，，為上的增函數(shù)，所以函數(shù)無極值. ②當(dāng)時(shí)，，得.，；，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，且極小值為，無極大值. 綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值； （3）當(dāng)時(shí)，.令，則直線與曲線沒有公共點(diǎn)，等價(jià)方程在上沒有實(shí)數(shù)解. 假設(shè)，此時(shí)，. 又函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，由零點(diǎn)存在性定理，可知在上至少

7、有一個(gè)解，與“方程在上沒有實(shí)數(shù)解”矛盾，故. 又時(shí)，，知方程在上沒有實(shí)數(shù)解.所以的最大值為. 解法二“（1）（2）同解法一. （3）當(dāng)時(shí)，. 直線與曲線沒有公共點(diǎn)，等價(jià)于關(guān)于的方程在上沒有實(shí)數(shù)解，即關(guān)于的方程： （*） 在上沒有實(shí)數(shù)解. ①當(dāng)時(shí)，方程（*）可化為，在上沒有實(shí)數(shù)解. ②當(dāng)時(shí)，方程（*）化為. 令，則有. 令，得， 當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表： 當(dāng)時(shí)，，同時(shí)當(dāng)趨于時(shí)，趨于，從而的取值范圍為. 所以當(dāng)時(shí)，方程（*）無實(shí)數(shù)解，解得的取值范圍是. 綜合①②，得

8、的最大值為. 6.（2014陜西文10）如圖所示，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切）.已知環(huán)湖灣曲路段為某三次函數(shù)圖像的一部分，則該函數(shù)的解析式為（ ） . A. B. C. D. 7.（2014新課標(biāo)Ⅰ文12）已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 8. （2014廣東文11）曲線在點(diǎn)處的切線方程為________. 9.（2014江蘇11）在平面直角坐標(biāo)系中，若曲線 （為常數(shù)）過點(diǎn)，且該曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行

9、，則的值是 ． 10.（2014江西文11）若曲線上點(diǎn)處的切線平行于直線，則點(diǎn)的坐標(biāo)是 . 11. （2014安徽文15）若直線與曲線滿足下列兩個(gè)條件： （1）直線在點(diǎn)處與曲線相切； （2）曲線在點(diǎn)附近位于直線的兩側(cè)，則稱直線在點(diǎn)處“切過”曲線. 下列命題正確的是 （寫出所有正確命題的編號）. ① 直線在點(diǎn)處“切過”曲線：； ② 直線在點(diǎn)處“切過”曲線：； ③ 直線在點(diǎn)處“切過”曲線：； ④ 直線在點(diǎn)處“切過”曲線：； ⑤ 直線在點(diǎn)處“切過”曲線：. 11. 解析 ①直線在處與曲線相切，且曲線

10、位于直線的兩側(cè)，①對；②直線不是曲線在處的切線，②錯(cuò)；③中，，因此曲線在處的切線為，設(shè)，則，即是增函數(shù)，又，從而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即曲線在附近位于直線的兩側(cè)，③正確；④中，，因此曲線在處的切線為，設(shè)，則，即在上是減函數(shù)，且，同③得④正確；⑤中，，因此曲線在處的切線為，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，，因此曲線在附近位于直線的一側(cè)，故⑤錯(cuò)誤.因此答案為①③④. 評注 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，解題時(shí)結(jié)合圖像可簡化運(yùn)算和推理的過程. 12.（2014重慶文19）（本小題滿分12分） 已知函數(shù)，其中，且曲線在點(diǎn)處的切線垂直于直線. （1）求的值； （2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

11、和極值. 13.（2014四川文19）(本小題滿分12分) 設(shè)等差數(shù)列的公差為，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上. （1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列； （2）若，函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 14.（2014四川文21）(本小題滿分14分) 已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù). （1）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值； （2）若，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，求證：. 15. （2014新課標(biāo)Ⅱ文21）（本小題滿分12分） 已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為. （1）求； （2）求證：當(dāng)時(shí)，曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn). 16.（2015新課標(biāo)Ⅰ卷文14）已知函

12、數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線過 點(diǎn)，則 . 16. 解析 ，，所以切線方程為. 又過點(diǎn)，即，解得. 17.（2015新課標(biāo)2卷文16）已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線 相切，則 . 17. 解析 根據(jù)題意，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，故切線方程為，與聯(lián)立得，顯然，所以由判別式得. 評注 由導(dǎo)數(shù)的意義求函數(shù)問題是基本的研究方法，函數(shù)問題首先要考慮定義域的范圍，含有參數(shù)一般要對參數(shù)進(jìn)行分類討論. 18.（2015陜西文15）函數(shù)在其極值點(diǎn)處的切線方程為____________. 18. 解析 ，令，此時(shí).函數(shù)在其極值點(diǎn)處的切線方程為. 19.（2015四川文15）已知

13、函數(shù)，（其中）.對于不相等的實(shí)數(shù)，設(shè)，，現(xiàn)有如下命題： ①對于任意不相等的實(shí)數(shù)，都有； ②對于任意的及任意不相等的實(shí)數(shù)，都有； ③對于任意的，存在不相等的實(shí)數(shù)，使得； ④對于任意的，存在不相等的實(shí)數(shù)，使得. 其中真命題有___________________(寫出所有真命題的序號). 19. 解析 對于，因?yàn)楹愠闪?，故正確； 對于，取，即，當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤； 對于，令，即. 記，則. 存在，使得，可知函數(shù)先減后增，有最小值. 因此，對任意的，不一定成立.故錯(cuò)誤； 對于，由，即. 令，則恒成立，即是單調(diào)遞增的函數(shù). 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 因此對任意的，存在與函數(shù)有交點(diǎn).

14、故正確. 綜上可知，正確. 20.（2015山東文20（1））設(shè)函數(shù)，. 已知曲線在 點(diǎn)處的切線與直線平行. 求的值； 20. 解析 由題意知，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為2， 所以.又，所以. 21.（2016山東文10）若函數(shù)的圖像上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖像在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱具有性質(zhì).下列函數(shù)中具有性質(zhì)的是（ ）. A. B. C. D. 21. A 解析 因?yàn)楹瘮?shù)，的圖像上任何一點(diǎn)的切線的斜率都是正數(shù)；函數(shù)的圖像上任何一點(diǎn)的切線的斜率都是非負(fù)數(shù)，所以在這三個(gè)函數(shù)的圖像上都不可能存在這樣的兩點(diǎn)，使得在這兩點(diǎn)處的切線互

15、相垂直，即不具有性質(zhì).利用排除法. 故選A. 22.（2016全國丙文16）已知為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是___________________. 22. 解析 當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程. 23.（2016全國甲文20）已知函數(shù). （1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程； （2）若當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍. 23.解析 （1）當(dāng)時(shí)，，因此， ，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為 ，即，得. （2）解法一：從必要條件做起. 因?yàn)?，對于，? 又，則，得. 當(dāng)時(shí)，，， 又，因此在上單調(diào)遞增， 所以，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，證畢. 綜

16、上所述，的取值范圍是. 解法二（目標(biāo)前提法）：若對于，，顯然不等式恒成立的前提條件是，在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，即對恒成立，得. 設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以. 再證當(dāng)時(shí)，不等式不恒成立. 因?yàn)?，，所以函?shù)在上單調(diào)遞增.又，令，則，使得，函數(shù)在上單調(diào)遞減.又，所以對于，與題意中對于，不恒成立，故舍去. 綜上所述，的取值范圍是. 解法三：直接從最值的角度轉(zhuǎn)化. 本題對于，，則只須對于，. 因?yàn)椋?，? 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.又. 若，即，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，滿足題意. 若，即，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減， 則，不滿足題意. 綜上所述，的取值范圍是. 24.（2

17、017全國1文14）曲線在點(diǎn)處的切線方程為 . 24.解析 設(shè)，則，所以，所以曲線在處的切線方程為，即. 25..（2017北京文20）已知函數(shù). （1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值. 25.解析 . （1），，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為. （2）. 因?yàn)?，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，且，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，. 26.（2017山東文20）已知函數(shù). （1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （2）設(shè)函數(shù)，討論的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時(shí)求出極值. 26.解析 由題意，. （1）當(dāng)時(shí)，，，所以，

18、 因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程是，即. （2）因?yàn)?，所? 令，則 ，所以在上單調(diào)遞增. 因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. ①當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增. 所以，當(dāng)時(shí)，取到極大值，極大值是， 當(dāng)時(shí)，取到極小值，極小值是. ②當(dāng)時(shí)，. 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增. 所以，在上單調(diào)遞增，無極大值也無極小值. ③當(dāng)時(shí)，. 當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增. 所以，當(dāng)時(shí)，取到極大值，極大值是； 當(dāng)時(shí)，取到極小值，極小值是. 綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有極小值，極大值是，極小值是； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有極小值，極大值是，極小值是. 27.（2017天津文10）已知，設(shè)函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線為，則在軸上的截距為 . 27.解析 ，切點(diǎn)為，，則切線的斜率為，切線方程為，即.令，得，則在軸上的截距為.