2018年高考數(shù)學(xué) 命題角度3.1 離散型隨機(jī)變量的分布列與期望、方差大題狂練 理

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1、 命題角度3.1 離散型隨機(jī)變量的分布列與期望、方差 1．某印刷廠的打印機(jī)每5年需淘汰一批舊打印機(jī)并購買新機(jī)，買新機(jī)時，同時購買墨盒，每臺新機(jī)隨機(jī)購買第一盒墨150元，優(yōu)惠0元；再每多買一盒墨都要在原優(yōu)惠基礎(chǔ)上多優(yōu)惠一元，即第一盒墨沒有優(yōu)惠，第二盒墨優(yōu)惠一元，第三盒墨優(yōu)惠2元，……，依此類推，每臺新機(jī)最多可隨新機(jī)購買25盒墨．平時購買墨盒按零售每盒200元． 公司根據(jù)以往的記錄，十臺打印機(jī)正常工作五年消耗墨盒數(shù)如下表： 消耗墨盒數(shù) 22 23 24 25 打印機(jī)臺數(shù) 1 4 4 1 以這十臺打印機(jī)消耗墨盒數(shù)的頻率代替一臺打印機(jī)消耗墨盒數(shù)發(fā)生的概率，記ξ表示兩臺打印機(jī)

2、5年消耗的墨盒數(shù)． (1)求ξ的分布列； (2)若在購買兩臺新機(jī)時，每臺機(jī)隨機(jī)購買23盒墨，求這兩臺打印機(jī)正常使用五年在消耗墨盒上所需費(fèi)用的期望． 【答案】(1) ξ的分布列為 ξ 44 45 46 47 48 49 50 P (2) 這兩臺打印機(jī)正常使用五年所需購買墨盒的費(fèi)用的期望為6614元. 故ξ的分布列為 ξ 44 45 46 47 48 49 50 P (2)記表示在題設(shè)條件下，購買2臺新機(jī)使用五年在消耗墨盒上所需的費(fèi)用（單位：元） 若在購買兩臺新機(jī)時，每臺機(jī)隨

3、機(jī)購買23盒墨，則需付款 則 答：這兩臺打印機(jī)正常使用五年所需購買墨盒的費(fèi)用的期望為6614元． 2.隨著人們對環(huán)境關(guān)注度的提高，綠色低碳出行越來越受到市民重視. 為此貴陽市建立了公共自行車服務(wù)系統(tǒng)，市民憑本人二代身份證到自行車服務(wù)中心辦理誠信借車卡借車，初次辦卡時卡內(nèi)預(yù)先贈送20積分，當(dāng)積分為0時，借車卡將自動鎖定，限制借車，用戶應(yīng)持卡到公共自行車服務(wù)中心以1元購1個積分的形式再次激活該卡，為了鼓勵市民租用公共自行車出行，同時督促市民盡快還車，方便更多的市民使用，公 共自行車按每車每次的租用時間進(jìn)行扣分收費(fèi)，具體扣分標(biāo)準(zhǔn)如下： ①租用時間不超過1小時，免費(fèi)； ②租用時

4、間為1小時以上且不超過2小時，扣1分； ③租用時間為2小時以上且不超過3小時，扣2分； ④租用時間超過3小時，按每小時扣2分收費(fèi)（不足1小時的部分按1小時計算）. 甲、乙兩人獨(dú)立出行，各租用公共自行車一次，兩人租車時間都不會超過3小時，設(shè)甲、乙租用時間不超過1小時的概率分別是0.4和0.5；租用時間為1小時以上且不超過2小時的概率分別是0.4和0.3. （1）求甲、乙兩人所扣積分相同的概率； （2）設(shè)甲、乙兩人所扣積分之和為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【答案】（1）甲、乙兩人所扣積分相同的概率為0.36，（2）的數(shù)學(xué)期望． 【解析】試題分析：（1）先確定甲、乙兩人所扣積分相

5、同事件取法:扣0分、扣1分及扣2分，再根據(jù)相互獨(dú)立事件概率乘法公式及互斥事件概率加法公式得所求概率，（2）先確定隨機(jī)變量取法，再分別求對應(yīng)概率，列表可得分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求期望. （Ⅱ）的可能取值為： ， ， ， ， ， 所以的分布列為： 0 1 2 3 4 P 0.2 0.32 0.3 0.14 0.04 的數(shù)學(xué)期望． 答：甲、乙兩人所扣積分相同的概率為0.36， 的數(shù)學(xué)期望． 3.已知6只小白鼠有1只被病毒感染，需要通過對其化驗病毒來確定是否感染.下面是兩

6、種化驗方案：方案甲：逐個化驗，直到能確定感染為止.方案乙：將6只分為兩組，每組三個，并將它們混合在一起化驗，若存在病毒，則表明感染在這三只當(dāng)中，然后逐個化驗，直到確定感染為止；若結(jié)果不含病毒，則在另外一組中逐個進(jìn)行化驗. （1）求依據(jù)方案乙所需化驗恰好為2次的概率. （2）首次化驗化驗費(fèi)為10元，第二次化驗化驗費(fèi)為8元，第三次及其以后每次化驗費(fèi)都是6元，列出方案甲所需化驗費(fèi)用的分布列，并估計用方案甲平均需要體驗費(fèi)多少元？ 【答案】（1）；（2）分布列見解析， . 試題解析： （2）設(shè)方案甲化驗的次數(shù)為，則可能的取值為1,2,3,4,5,對應(yīng)的化驗費(fèi)用為元,則 ， ， ，

7、， 則其化驗費(fèi)用的分布列為 所以（元）. 所以甲方案平均需要化驗費(fèi)元 4.某保險公司針對一個擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險產(chǎn)品，每年每位職工只要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險公司把企業(yè)的所有崗位共分為、、三類工種，從事三類工種的人數(shù)分布比例如圖，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計出三類工種的賠付頻率如下表（并以此估計賠付頻率）. 對于、、三類工種職工每人每年保費(fèi)分別為元，元，元，出險后的賠償金額分別為100萬元，100萬元，50萬元，保險公司在開展此項業(yè)務(wù)過程中的固定支出為每年10萬元. （Ⅰ）若保險公司要求利

8、潤的期望不低于保費(fèi)的20%，試確定保費(fèi)、所要滿足的條件； （Ⅱ）現(xiàn)有如下兩個方案供企業(yè)選擇； 方案1：企業(yè)不與保險公司合作，企業(yè)自行拿出與保險提供的等額的賠償金額賠付給出險職工； 方案2：企業(yè)于保險公司合作，企業(yè)負(fù)責(zé)職工保費(fèi)的60%，職工個人負(fù)責(zé)保費(fèi)的40%，出險后賠償金由保險公司賠付. 若企業(yè)選擇翻翻2的支出（不包括職工支出）低于選擇方案1的支出期望，求保費(fèi)、所要滿足的條件，并判斷企業(yè)是否可與保險公司合作.（若企業(yè)選擇方案2的支出低于選擇方案1的支出期望，且與（Ⅰ）中保險公司所提條件不矛盾，則企業(yè)可與保險公司合作.） 【答案】（Ⅰ）元；（Ⅱ）企業(yè)有可能與保險公司合作. 試題解

9、析：（Ⅰ）設(shè)工種，，職工的每份保單保險公司的效益為隨機(jī)變量，，，則，，的分布列為 保險公司期望收益， ， . 根據(jù)要求 . 解得， 所以每張保單的保費(fèi)需要滿足元. 結(jié)果與（Ⅰ）不沖突，所以企業(yè)有可能與保險公司合作. 5.如圖，小華和小明兩個小伙伴在一起做游戲，他們通過劃拳（剪刀、石頭、布）比賽決勝誰首先登上第3個臺階，他們規(guī)定從平地開始，每次劃拳贏的一方登上一級臺階，輸?shù)囊环皆夭粍?，平局時兩個人都上一級臺階，如果一方連續(xù)兩次贏，那么他將額外獲得一次上一級臺階的獎勵，除非已經(jīng)登上第3個臺階，當(dāng)有

10、任何一方登上第3個臺階時，游戲結(jié)束，記此時兩個小伙伴劃拳的次數(shù)為． （1）求游戲結(jié)束時小華在第2個臺階的概率； （2）求的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【答案】（1）（2） 試題解析：解：（1）易知對于每次劃拳比賽基本事件共有個，其中小華贏（或輸）包含三個基本事件上，他們平局也為三個基本事件，不妨設(shè)事件“第次劃拳小華贏”為；事件“第 次劃拳小華平”為；事件“第 次劃拳小華輸”為，所以． 因為游戲結(jié)束時小華在第2個臺階，所以這包含兩種可能的情況： 第一種：小華在第1個臺階，并且小明在第2個臺階，最后一次劃拳小華平； 其概率為， 第二種：小華在第2個臺階，并且小明也在第2個臺階，最后

11、一次劃拳小華輸， 其概率為 所以游戲結(jié)束時小華在第2個臺階的概率為． （2）依題可知的可能取值為2、3、4、5， ， ， ， 所以的分布列為： 2 3 4 5 所以的數(shù)學(xué)期望為： ． 6.為吸引顧客，某公司在商場舉辦電子游戲活動.對于兩種游戲，每種游戲玩一次均會出現(xiàn)兩種結(jié)果，而且每次游戲的結(jié)果相互獨(dú)立，具體規(guī)則如下：玩一次游戲，若綠燈閃亮，獲得分，若綠燈不閃亮，則扣除分（即獲得分），綠燈閃亮的概率為；玩一次游戲，若出現(xiàn)音樂，獲得分，若沒有出現(xiàn)音樂，則扣除分（即獲得分），出現(xiàn)音樂的概率為.玩多次游戲后累計積分達(dá)到分可以兌換獎品.

12、（1）記為玩游戲和各一次所得的總分，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望； （2）記某人玩次游戲，求該人能兌換獎品的概率. 【答案】（1）詳見解析；（2）. 試題解析：（1）隨機(jī)變量的所有可能取值為，分別對應(yīng)以下四種情況： ①玩游戲，綠燈閃亮，且玩游戲，出現(xiàn)音樂； ②玩游戲，綠燈不閃亮，且玩游戲，出現(xiàn)音樂； ③玩游戲，綠燈閃亮，且玩游戲，沒有出現(xiàn)音樂； ④玩游戲，綠燈不閃亮，且玩游戲，沒有出現(xiàn)音樂， 所以， ， ， ， 即的分布列為 . 7.教育學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)加強(qiáng)語文樂隊理解訓(xùn)練與提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率有關(guān)，某校興趣小組為了驗證這

13、個結(jié)論，從該校選擇甲乙兩個同軌班級進(jìn)行試驗，其中甲班加強(qiáng)閱讀理解訓(xùn)練，乙班常規(guī)教學(xué)無額外訓(xùn)練，一段時間后進(jìn)行數(shù)學(xué)應(yīng)用題測試，統(tǒng)計數(shù)據(jù)情況如下面的列聯(lián)表（單位：人） （1）能夠據(jù)此判斷有97.5%把握熱內(nèi)加強(qiáng)語文閱讀訓(xùn)練與提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率有關(guān)？ （2）經(jīng)過多次測試后，小明正確解答一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題所用的時間在5—7分鐘，小剛正確解得一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題所用的時間在6—8分鐘，現(xiàn)小明、小剛同時獨(dú)立解答同一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題，求小剛比小明現(xiàn)正確解答完的概率； （3）現(xiàn)從乙班成績優(yōu)秀的8名同學(xué)中任意抽取兩人，并對他們點(diǎn)答題情況進(jìn)行全程研究，記A、B兩人中被抽到的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X

14、）. 【答案】（1）見解析； (2) ；（3）見解析. 試題解析：（1）由表中數(shù)據(jù)得的觀測值 所以根據(jù)統(tǒng)計有的把握認(rèn)為加強(qiáng)語文閱讀理解訓(xùn)練與提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率有關(guān). (2)設(shè)小明和小剛解答這道數(shù)學(xué)應(yīng)用題的時間分別為分鐘， 則基本事件滿足的區(qū)域為 (如圖所示) 設(shè)事件為“小剛比小明先解答完此題” 則滿足的區(qū)域為 由幾何概型 即小剛比小明先解答完此題的概率為. （3）可能取值為， ， ， 的分布列為： 1 . 8.某市衛(wèi)生防疫部門為了控制某種病毒的傳染，提供了批號分別為的五批疫苗，供全市所轄的三個區(qū)市民注射，每

15、個區(qū)均能從中任選其中一個批號的疫苗接種. （1）求三個區(qū)注射的疫苗批號中恰好有兩個區(qū)相同的概率； （2）記三個區(qū)選擇的疫苗批號的中位數(shù)為，求 的分布列及期望. 【答案】（1）；（2）詳見解析. 試題解析： (1) ( 三個區(qū)注射的疫苗批號恰好兩個區(qū)相同)= . (2) 設(shè)三個區(qū)選擇的疫苗批號的中位數(shù)為所有可能取值為. ， ， . 所以 的分布列： 即的期望： . 9.交強(qiáng)險是車主必須為機(jī)動車購買的險種，若普通座以下私家車投保交強(qiáng)險第一年的費(fèi)用（基準(zhǔn)保費(fèi)）統(tǒng)一為元，在下一年續(xù)保時，實(shí)行的是費(fèi)率浮動機(jī)制，保費(fèi)與上一

16、年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費(fèi)率也就越高，具體浮動情況如下表： 某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通座以下私家車的投保情況，隨機(jī)抽取了輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況，統(tǒng)計得到了下面的表格： 類型 數(shù)量 10 5 5 20 15 5 以這輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問題： （Ⅰ）按照我國《機(jī)動車交通事故責(zé)任強(qiáng)制保險條例》汽車交強(qiáng)險價格的規(guī)定， ，記為某同學(xué)家里的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時的費(fèi)用，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（數(shù)學(xué)期望值保留到個位數(shù)字） （Ⅱ）某二手

17、車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強(qiáng)險保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車輛記為事故車，假設(shè)購進(jìn)一輛事故車虧損元，一輛非事故車盈利元： ①若該銷售商購進(jìn)三輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求這三輛車中至少有一輛事故車的概率； ②若該銷售商一次購進(jìn)輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求他獲得利潤的期望值. 【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）①,②見解析. 試題解析： （Ⅰ）由題意可知的可能取值為由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知： 所以的分布列為： 所以 （Ⅱ）①由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事

18、故車的概率為三輛車中至少有一輛事故車的概率為 ②為該銷售購進(jìn)并銷售一輛二手車的利潤， 的可能取值為 所以的分布列為： -3000 10000 所以 所以該銷售商一次購進(jìn)輛該品牌車齡已滿三年的二手車獲得利潤的期望值為萬元. 10.為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)核素養(yǎng)與抽象（能力指標(biāo)）、推理（能力指標(biāo)）、建模（能力指標(biāo)）的相關(guān)性，并將它們各自量化為1、2、3三個等級，再用綜合指標(biāo)的值評定學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；若，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為一級；若，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為二級；若，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為三級，為了了解某校學(xué)生的數(shù)學(xué)核素養(yǎng)，調(diào)查人員隨機(jī)訪問了某校10名學(xué)生，得到如下結(jié)果： 學(xué)生

19、編號 （1）在這10名學(xué)生中任取兩人，求這兩人的建模能力指標(biāo)相同的概率； （2）從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級是一級的學(xué)生中任取一人，其綜合指標(biāo)為，從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級不是一級的學(xué)生中任取一人，其綜合指標(biāo)為，記隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望. 【答案】（1）（2） (2) 由題可知，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)一級：，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是一級的：；的可能取值為1,2,3,4,5. 具體如下： 學(xué)生 編號 綜合 指標(biāo) 7 7 9 5 7 8 6 8 4 6 核心素養(yǎng)等級 一級 一級 一級 二級 一級 一級 二級 一級 三級 二級 （2）由題可知，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)一級：，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是一級的：；的可能取值為1,2,3,4,5. ∴隨機(jī)變量的分布列為 1 2 3 4 5 ∴ . 14