2019年高考數(shù)學復習大二輪精準提分練習第二篇 第31練

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1、 第31練　坐標系與參數(shù)方程[選做大題保分練] [明晰考情]1.命題角度： 高考主要考查平面直角坐標系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標方程；參數(shù)方程與普通方程的互化，常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡單應用.以極坐標方程、參數(shù)方程與普通方程的互化為主要考查形式，同時考查直線與曲線位置關系等解析幾何知識.2.題目難度：中檔難度. 考點一　曲線的極坐標方程 方法技巧　(1)進行極坐標方程與直角坐標方程互化的關鍵是抓住互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)，要注意ρ，θ的取值范圍及其影響，靈活運用代入法和平方法等技巧. (2)由極坐標方程求曲

2、線交點、距離等幾何問題時，如果不能直接用極坐標解決，可先轉(zhuǎn)化為直角坐標方程，然后求解. 1.已知圓的極坐標方程為ρ＝4cos θ，圓心為C，點P的極坐標為，求CP的長. 解　由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，即x2＋y2＝4x， 即(x－2)2＋y2＝4，∴圓心C(2，0)， 又由點P的極坐標為， 可得點P的直角坐標為(2，2)， ∴|CP|＝＝2. 2.在極坐標系中，曲線C1：ρ(cos θ＋sin θ)＝1與曲線C2：ρ＝a(a>0)的一個交點在極軸上，求a的值. 解　ρ(cos θ＋sin θ)＝1， 即ρcos θ＋ρsin θ＝1對應的普通方程為x＋y－1

3、＝0， ρ＝a(a>0)對應的普通方程為x2＋y2＝a2. 在x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝. 將代入x2＋y2＝a2，得a＝. 3.在直角坐標系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系. (1)求C1，C2的極坐標方程； (2)若直線C3的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)，設C2與C3的交點為M，N，求△C2MN的面積. 解　(1)因為x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以C1的極坐標方程為ρcos θ＝－2， C2的極坐標方程為ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)將θ＝代入

4、ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0， 得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝. 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝. 由于C2的半徑為1，所以△C2MN為等腰直角三角形， 所以△C2MN的面積為. 4.已知在平面直角坐標系xOy中，圓M的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，以Ox軸為極軸， O為極點建立極坐標系，在該極坐標系下，圓N是以點為圓心，且過點的圓. (1)求圓M的普通方程及圓N的直角坐標方程； (2)求圓M上任一點P與圓N上任一點之間距離的最小值. 解　(1)將方程消去參數(shù)θ，可得2＋2＝4， 所以圓M的方程為2＋2＝4. 點和點的直角坐標分別為，， 所以圓N的圓心

5、為， 半徑為r＝＝1， 故圓N的直角坐標方程為2＋2＝1. (2)由(1)得圓M，N的圓心距為MN＝＝4， 所以圓M上任一點P與圓N上任一點之間距離的最小值為dmin＝MN－3＝4－3＝1. 考點二　參數(shù)方程及其應用 要點重組　過定點P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線參數(shù)方程的標準形式為(t為參數(shù))，t的幾何意義是的數(shù)量，即|t|表示P0到P的距離，t有正負之分.使用該式時直線上任意兩點P1，P2對應的參數(shù)分別為t1，t2，則|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中點對應的參數(shù)為(t1＋t2). 方法技巧　(1)參數(shù)方程化為普通方程：由參數(shù)方程化為普通方程就是要消去參數(shù)，消參

6、數(shù)時常常采用代入消元法、加減消元法、乘除消元法、三角代換法，且消參數(shù)時要注意參數(shù)的取值范圍對x，y的限制. (2)在與直線、圓、橢圓有關的題目中，參數(shù)方程的使用會使問題的解決事半功倍，尤其是求取值范圍和最值問題，可將參數(shù)方程代入相關曲線的普通方程中，根據(jù)參數(shù)的取值條件求解. 5.(2018·全國Ⅱ)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (1)求C和l的直角坐標方程； (2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1，2)，求l的斜率. 解　(1)曲線C的直角坐標方程為＋＝1. 當cos α≠0時，l的直角坐標方程為y＝tan α·x＋

7、2－tan α， 當cos α＝0時，l的直角坐標方程為x＝1. (2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程，整理得關于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.① 因為曲線C截直線l所得線段的中點(1，2)在C內(nèi)， 所以①有兩個解，設為t1，t2，則t1＋t2＝0. 又由①得t1＋t2＝－，故2cos α＋sin α＝0，于是直線l的斜率k＝tan α＝－2. 6.在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系. (1)寫出直線l的普通方程以及曲線C的極

8、坐標方程； (2)若直線l與曲線C的兩個交點分別為M，N，直線l與x軸的交點為P，求|PM|·|PN|的值. 解　(1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 消去參數(shù)t，得x＋y－1＝0. 曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))， 利用平方關系，得x2＋(y－2)2＝4，則x2＋y2－4y＝0. 令ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ， 代入得C的極坐標方程為ρ＝4sin θ. (2)在直線x＋y－1＝0中，令y＝0，得點P(1，0). 把直線l的參數(shù)方程代入圓C的方程得t2－3t＋1＝0， ∴t1＋t2＝3，t1t2＝1. 由直線參數(shù)方程的幾何意義，得|PM|·|PN|＝|t1t2|

9、＝1. 7.已知橢圓C：＋＝1，直線l：(t為參數(shù)). (1)寫出橢圓C的參數(shù)方程及直線l的普通方程； (2)設A(1，0)，若橢圓C上的點P滿足到點A的距離與其到直線l的距離相等，求點P的坐標. 解　(1)橢圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))， 直線l的普通方程為x－y＋9＝0. (2)設P(2cos θ，sin θ)， 則|AP|＝＝2－cos θ， 點P到直線l的距離 d＝＝. 由|AP|＝d，得3sin θ－4cos θ＝5， 又sin2θ＋cos2 θ＝1， 得sin θ＝，cos θ＝－. 故P. 考點三　極坐標方程與參數(shù)方程的綜合應用 方法技巧　(1)解決

10、極坐標與參數(shù)方程的綜合問題的關鍵是掌握極坐標方程與直角坐標方程的互化，參數(shù)方程與普通方程的互化.涉及圓、圓錐曲線上的點的最值問題，往往通過參數(shù)方程引入三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的最值求解. (2)數(shù)形結(jié)合的應用，即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，或者利用ρ和θ的幾何意義，直接求解，能達到化繁為簡的解題目的. 8.(2017·全國Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (1)若a＝－1，求C與l的交點坐標； (2)若C上的點到l的距離的最大值為，求a. 解　(1)曲線C的普通方程為＋y2＝1. 當a＝－1時，直線l的普通方程為x＋4

11、y－3＝0. 由 解得或 從而C與l的交點坐標是(3，0)，. (2)直線l的普通方程是x＋4y－4－a＝0， 故C上的點(3cos θ，sin θ)到l距離d＝. 當a≥－4時，d的最大值為 . 由題設得＝，所以a＝8； 當a<－4時，d的最大值為. 由題設得＝， 所以a＝－16. 綜上，a＝8或a＝－16. 9.(2017·全國Ⅲ)在直角坐標系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù)).設l1與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C. (1)寫出C的普通方程； (2)以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設l3

12、：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M為l3與C的交點，求M的極徑. 解　(1)消去參數(shù)t，得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)； 消去參數(shù)m，得l2的普通方程l2：y＝(x＋2). 設P(x，y)，由題設得 消去k，得x2－y2＝4(y≠0)， 所以C的普通方程為x2－y2＝4(y≠0). (2)C的極坐標方程為ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)， 聯(lián)立得 cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ). 故tan θ＝－，從而cos2θ＝，sin2θ＝. 代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，得ρ2＝5， 所以l3與C的交點M的極徑

13、為. 10.在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為ρ＝6sin θ. (1)求圓C的直角坐標方程； (2)設圓C與直線l交于點A，B.若點P的坐標為(1，2)，求＋的最小值. 解　 (1)由ρ＝6sin θ，得ρ2＝6ρsin θ， 化為直角坐標方程為x2＋y2＝6y， 即x2＋(y－3)2＝9. (2)將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方程， 得t2＋2(cos α－sin α)t－7＝0， 由Δ＝(2cos α－2sin α)2＋4×7>0， 故可設t1，

14、t2是上述方程的兩根， 所以 又直線l過點， 故結(jié)合t的幾何意義得 ＋＝ ＝ ＝ ＝≥ ＝2， 所以＋的最小值為2. 典例　(10分)在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已知直線l與橢圓C的極坐標方程分別為cos θ＋2sin θ＝0和ρ2＝. (1)求直線l與橢圓C的直角坐標方程； (2)若Q是橢圓C上的動點，求點Q到直線l距離的最大值. 審題路線圖 ―→ 規(guī)范解答·評分標準 解　(1)由cos θ＋2sin θ＝0，得ρcos θ＋2ρsin θ＝0，即x＋2y＝0， 所以直線l的直角坐標方程為x＋2y＝0.

15、 由ρ2＝，得ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝4，即x2＋4y2＝4，所以＋y2＝1. 所以橢圓C的直角坐標方程為＋y2＝1.…………………………………………………4分 (2)因為橢圓C：＋y2＝1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，……………………6分 可設Q(2cos α，sin α)， 因此點Q到直線l：x＋2y＝0的距離 d＝＝，………………………………………………………8分 所以當α＝kπ＋，k∈Z時，d取得最大值. 故點Q到直線l的距離的最大值為.10分 構(gòu)建答題模板 [第一步]　互化：將極坐標方程與直角坐標方程互化； [第二步]　引參：引進參數(shù)，建立橢圓的參數(shù)方程；

16、 [第三步]　列式：利用距離公式求出距離表達式； [第四步]　求最值：利用三角函數(shù)求出距離的最值. 1.(2018·全國Ⅲ)在平面直角坐標系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，過點(0，－)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點. (1)求α的取值范圍； (2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程. 解　(1)⊙O的直角坐標方程為x2＋y2＝1. 當α＝時，l與⊙O交于兩點. 當α≠時，記tan α＝k，則l的方程為y＝kx－.l與⊙O交于兩點，即點O到l的距離小于半徑1，當且僅當＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈或α∈. 綜上，α的取值范圍是. (2)l的參數(shù)方程為.

17、設A，B，P對應的參數(shù)分別為tA，tB，tP， 則tP＝，且tA，tB滿足t2－2tsin α＋1＝0. 于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α. 又點P的坐標(x，y)滿足 所以點P的軌跡的參數(shù)方程是. 2.已知曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以直角坐標系原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系. (1)求曲線C的極坐標方程，并說明方程表示什么軌跡； (2)若直線l的極坐標方程為sin θ－cos θ＝，求直線l被曲線C截得的弦長. 解　(1)因為曲線C的參數(shù)方程為 (α為參數(shù))， 所以曲線C的普通方程為(x－3)2＋(y－1)2＝10，① 曲線C表示以C(3，1

18、)為圓心，為半徑的圓. 將代入①并化簡，得ρ＝6cos θ＋2sin θ， 即曲線C的極坐標方程為ρ＝6cos θ＋2sin θ. (2)因為直線l的直角坐標方程為y－x＝1， 所以圓心C到直線y＝x＋1的距離d＝， 所以直線被曲線C截得的弦長為2＝. 3.以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為ρ＝4cos θ，曲線M的直角坐標方程為x－2y＋2＝0(x>0). (1)以曲線M上的點與點O連線的斜率k為參數(shù)，寫出曲線M的參數(shù)方程； (2)設曲線C與曲線M的兩個交點為A，B，求直線OA與直線OB的斜率之和. 解　(1)由 得 由x>0，

19、得k>， 故曲線M的參數(shù)方程為. (2)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ， ∴x2＋y2＝4x. 將代入x2＋y2＝4x， 整理得k2－4k＋3＝0， ∴k1＋k2＝4. 故直線OA與直線OB的斜率之和為4. 4.在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0≤θ<π)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ＝－4cos α，圓C的圓心到直線l的距離為. (1)求θ的值； (2)已知P(1，0)，若直線l與圓C交于A，B兩點，求＋的值. 解　(1)由直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0≤θ<π)，消去參數(shù)t， 得xsin

20、 θ－ycos θ－sin θ＝0. 圓C的極坐標方程為ρ＝－4cos α， 即ρ2＝－4ρcos α， 可得圓C的普通方程為x2＋y2＋4x＝0， 即為(x＋2)2＋y2＝4， 可知圓心為(－2，0)，半徑為2，圓C的圓心到直線l的距離為d＝＝3sin θ. 由題意可得d＝， 即3sin θ＝，則sin θ＝， ∵0≤θ<π， ∴θ＝或θ＝. (2)已知P(1，0)，則點P在直線l上，直線l與圓C交于A，B兩點，將 代入圓C的普通方程x2＋y2＋4x＝0， 得(1＋tcos θ)2＋(tsin θ)2＋4(1＋tcos θ)＝0， ∴t2＋6tcos θ＋5＝0. 設A，B對應的參數(shù)為t1，t2， 則t1＋t2＝－6cos θ，t1t2＝5， ∵t1t2>0，∴t1，t2同號， ∴＋＝＋＝＝＝.