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1、
2019屆高三數(shù)學專題練習 平面向量
1.代數(shù)法
例1:已知向量,滿足,,且,則在方向上的投影為( )
A.3 B. C. D.
2.幾何法
例2:設,是兩個非零向量,且,則_______.
3.建立直角坐標系
例3:在邊長為1的正三角形中,設,,則__________.
一、單選題
1.已知向量,滿足,,且向量,的夾角為,若與垂直,則實數(shù)的值為( )
A. B. C. D.
2.已知向量,滿足,,,則( )
A.1 B. C. D.2
3.如圖,平行四邊形中,,,,點在邊上,且,
則( )
A. B.1 C.
2、D.
4.如圖,在中,是邊的中線,是邊的中點,若,,則( )
A. B. C. D.
5.在梯形中,,,,,動點和分別在線段和上,且,,則的最大值為( )
A. B. C. D.
6.已知中,,,,為線段上任意一點,則的范圍是( )
A. B. C. D.
7.已知非零向量,,滿足且,則與的夾角為( )
A. B. C. D.
8.在中斜邊,以為中點的線段,則的最大值為( )
A. B.0 C.2 D.
9.設向量,,,滿足,,,則的最大值等于( )
A.1 B. C. D.2
10.已知與為單位向量,且,向量滿足,則的取值范圍
3、為( )
A. B.
C. D.
11.平行四邊形中,,在上投影的數(shù)量分別為,,則在上的投影的取值范圍
是( )
A. B. C. D.
12.如圖,在等腰直角三角形中,,,是線段上的點,且,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
二、填空題
13.已知向量,,,若,則________.
14.若向量,滿足,,且,則與的夾角為__________.
15.已知正方形的邊長為2,是上的一個動點,則求的最大值為________.
16.在中,,,,為線段上一點,則的取值范圍為____.
4、
答案
1.代數(shù)法
例1:已知向量,滿足,,且,則在方向上的投影為( )
A.3 B. C. D.
【答案】C
【解析】考慮在上的投影為,所以只需求出,即可.
由可得:,
所以.進而.故選C.
2.幾何法
例2:設,是兩個非零向量,且,則_______.
【答案】
【解析】可知,,為平行四邊形的一組鄰邊和一條對角線,
由可知滿足條件的只能是底角為,邊長的菱形,
從而可求出另一條對角線的長度為.
3.建立直角坐標系
例3:在邊長為1的正三角形中,設,,則__________.
【答案】
【解析】上周是用合適的
5、基底表示所求向量,從而解決問題,本周仍以此題為例,從另一個角度解題,
觀察到本題圖形為等邊三角形,所以考慮利用建系解決數(shù)量積問題,
如圖建系:,,,
下面求坐標:令,∴,,
由可得:,∴,
∴,,∴.
一、單選題
1.已知向量,滿足,,且向量,的夾角為,若與垂直,則實數(shù)的值為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因為,所以,故選D.
2.已知向量,滿足,,,則( )
A.1 B. C. D.2
【答案】A
【解析】由題意可得:,則.故選A.
3.如圖,平行四邊形中,,,,點在邊上,且,
則( )
A.
6、 B.1 C. D.
【答案】B
【解析】因為,所以,,
則
.故選B.
4.如圖,在中,是邊的中線,是邊的中點,若,,則( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由題意,在中,是邊的中線,所以,
又因為是邊的中點,所以,
所以,故選B.
5.在梯形中,,,,,動點和分別在線段和上,且,,則的最大值為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因為,,,,
所以是直角梯形,且,,
以所在直線為軸,以所在直線為軸,建立如圖所示的平面直角坐標系:
因為,,動點和分別在線段和上,
則,,,,
所以,
令且,
由基
7、本不等式可知,當時可取得最大值,
則.故選D.
6.已知中,,,,為線段上任意一點,則的范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根據(jù)題意,中,,,,
則根據(jù)余弦定理可得,即.∴為直角三角形
以為原點,為軸,為軸建立坐標系,則,,
則線段的方程為,.
設,則.
∵,∴.故選C.
7.已知非零向量,,滿足且,則與的夾角為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】非零向量,,滿足且,則,
∴,∴,
∴,
∴,,∴與的夾角為,故選A.
8.在中斜邊,以為中點的線段,則的最大值為( )
A. B.0 C.2 D.
8、
【答案】B
【解析】∵在中斜邊,∴,
∵為線段中點,且,
∴原式,
當時,有最大值,.故選B.
9.設向量,,,滿足,,,則的最大值等于( )
A.1 B. C. D.2
【答案】D
【解析】設,,,因為,,
所以,,所以,,,四點共圓,
因為,,所以,
由正弦定理知,即過,,,四點的圓的直徑為2,
所以的最大值等于直徑2,故選D.
10.已知與為單位向量,且,向量滿足,則的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由,是單位向量,,可設,,,
由向量滿足,∴,
∴,即,其圓心,半徑,
∴,∴.故選B.
11
9、.平行四邊形中,,在上投影的數(shù)量分別為,,則在上的投影的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】建立如圖所示的直角坐標系:設,
則,,則,解得.
所以,.在上的攝影,
當時,,得到:,當時,,,故選A.
12.如圖,在等腰直角三角形中,,,是線段上的點,且,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如圖所示,以所在直線為軸,以的中垂線為軸建立平面直角坐標系,
則,,,設,則,.
據(jù)此有,,
則.
據(jù)此可知,當時,取得最小值;
當或時,取得最大值;
的取值范圍是.故選A.
二、填空題
10、
13.已知向量,,,若,則________.
【答案】.
【解析】因為,,所以,
又,且,則,即.
14.若向量,滿足,,且,則與的夾角為__________.
【答案】
【解析】由得,,即,
據(jù)此可得,∴,
又與的夾角的取值范圍為,故與的夾角為.
15.已知正方形的邊長為2,是上的一個動點,則求的最大值為________.
【答案】4
【解析】設,則,
又,
∴,
∵,∴當時,取得最大值4,故答案為4.
16.在中,,,,為線段上一點,則的取值范圍為____.
【答案】
【解析】以為坐標原點,,所在直線為,軸建立直角坐標系,
可得,,,則直線的方程為,
設,則,,,,
則|
,
由,可得的最小值為3 ,x=0時,則的最大值為27,
即的取值范圍為.故答案為.