2018年高考數(shù)學(xué) 專題13 概率與統(tǒng)計(jì)教學(xué)案 理

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1、 專題13 概率與統(tǒng)計(jì) 【2018年高考考綱解讀】 高考對(duì)本內(nèi)容的考查主要有： (1)抽樣方法的選擇、與樣本容量相關(guān)的計(jì)算，尤其是分層抽樣中的相關(guān)計(jì)算，A級(jí)要求． (2)圖表中的直方圖、莖葉圖都可以作為考查點(diǎn)，尤其是直方圖更是考查的熱點(diǎn)，A級(jí)要求． (3)特征數(shù)中的方差、標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算都是考查的熱點(diǎn)，B級(jí)要求． (4)隨機(jī)事件的概率計(jì)算，通常以古典概型、幾何概型的形式出現(xiàn)，B級(jí)要求. 【重點(diǎn)、考點(diǎn)剖析】 1．概率問(wèn)題 (1)求某些較復(fù)雜的概率問(wèn)題時(shí)，通常有兩種方法：一是將其分解為若干個(gè)彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A的對(duì)立事件的概率，然后利用

2、P(A)＝1－P()可得解； (2)用列舉法把古典概型試驗(yàn)的基本事件一一列出來(lái)，然后再求出事件A中的基本事件，利用公式P(A)＝求出事件A的概率，這是一個(gè)形象、直觀的好辦法，但列舉時(shí)必須按照某一順序做到不重復(fù)，不遺漏； (3)求幾何概型的概率，最關(guān)鍵的一步是求事件A所包含的基本事件所占據(jù)區(qū)域的測(cè)度，這里需要解析幾何的知識(shí)，而最困難的地方是找出基本事件的約束條件． 2．統(tǒng)計(jì)問(wèn)題 (1)統(tǒng)計(jì)主要是對(duì)數(shù)據(jù)的處理，為了保證統(tǒng)計(jì)的客觀和公正，抽樣是統(tǒng)計(jì)的必要和重要環(huán)節(jié)，抽樣的方法有三：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣； (2)用樣本頻率分布來(lái)估計(jì)總體分布一節(jié)的重點(diǎn)是：頻率分布表和頻率分布直方圖

3、的繪制及用樣本頻率分布估計(jì)總體分布，考點(diǎn)是：頻率分布表和頻率分布直方圖的理解及應(yīng)用； (3)用莖葉圖優(yōu)點(diǎn)是原有信息不會(huì)抹掉，能夠展開(kāi)數(shù)據(jù)發(fā)布情況，但當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多或數(shù)據(jù)位數(shù)較多時(shí)，莖葉圖就顯得不太方便了； (4)兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系中，主要能作出散點(diǎn)圖，了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性或歸方程系數(shù)或公式建立線性回歸方程. 【題型示例】 題型一　古典概型問(wèn)題 例1、【2017山東，理8】從分別標(biāo)有，，，的張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張．則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是 （A） （B） （C） （D）

4、 【答案】C 【變式探究】(2015·江蘇，5)袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為_(kāi)_______． 解析　這兩只球顏色相同的概率為，故兩只球顏色不同的概率為1－＝. 答案　 【變式探究】(2015·北京，16)A，B兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時(shí)間(單位：天)記錄如下： A組：10，11，12，13，14，15，16 B組：12，13，15，16，17，14，a 假設(shè)所有病人的康復(fù)時(shí)間互相獨(dú)立，從A，B兩組隨機(jī)各選1人，A組選出的人記為甲，B組選出的人記為乙． (1) 求甲的

5、康復(fù)時(shí)間不少于14天的概率； (2) 如果a＝25，求甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長(zhǎng)的概率； (3) 當(dāng)a為何值時(shí)，A，B兩組病人康復(fù)時(shí)間的方差相等？(結(jié)論不要求證明) 解　設(shè)事件Ai為“甲是A組的第i個(gè)人”，事件Bi為“乙是B組的第i個(gè)人”，i＝1，2，…，7.由題意可知P(Ai)＝P(Bi)＝，i＝1，2，…，7. (1)由題意知，事件“甲的康復(fù)時(shí)間不少于14天”等價(jià)于“甲是A組的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康復(fù)時(shí)間不少于14天的概率是 P(A5∪A6∪A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝. (2)設(shè)事件C為“甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長(zhǎng)”．由題意知， C

6、＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6. 因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝. (3)a＝11或a＝18. 【感悟提升】 1．古典概型的求解思路 (1)正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，這常用到計(jì)數(shù)原理與排列組合的相關(guān)知識(shí)． (2)在求基本事件的個(gè)數(shù)時(shí)，要準(zhǔn)確理解基本事件的構(gòu)成，這樣才能保證所求事件所包含的基本事件數(shù)的求法與

7、基本事件總數(shù)的求法的一致性． (3)根據(jù)公式P(A)＝＝求出． 【變式探究】某班級(jí)的某一小組有6位學(xué)生，其中4位男生，2位女生，現(xiàn)從中選取2位學(xué)生參加班級(jí)志愿者小組，求下列事件的概率： (1)選取的2位學(xué)生都是男生； (2)選取的2位學(xué)生一位是男生，另一位是女生． 破題切入點(diǎn)　先求出任取2位學(xué)生的基本事件的總數(shù)，然后分別求出所求的兩個(gè)事件含有的基本事件數(shù)，再利用古典概型概率公式求解． 題型二　幾何概型問(wèn)題 例2、【2017課標(biāo)1，理】如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色

8、部分的概率是 A． B． C． D． 【答案】B 【變式探究】 (2016·課標(biāo)Ⅰ，4，易)某公司的班車(chē)在7：30，8：00，8：30發(fā)車(chē)，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車(chē)站乘坐班車(chē)，且到達(dá)發(fā)車(chē)站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車(chē)時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是(　　) A. B. C. D. 【答案】B　 【解析】由題意知，小明在7：50至8：30 之間到達(dá)發(fā)車(chē)站，故他只能乘坐8：00或8：30發(fā)的車(chē)，所以他等車(chē)時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率P＝＝. 【變式探究】 (2015·陜西，11)設(shè)復(fù)數(shù)z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為

9、(　　) A.＋ B.－ C.－ D.＋ 解析　由|z|≤1可得(x－1)2＋y2≤1，表示以(1，0)為圓心，半徑為1的圓及其內(nèi)部，滿足y≥x的部分為如圖陰影所示， 由幾何概型概率公式可得所求概率為： P＝＝ ＝－. 答案　B 【變式探究】(2014·湖北)由不等式組確定的平面區(qū)域記為Ω1，不等式組確定的平面區(qū)域記為Ω2.在Ω1中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在Ω2內(nèi)的概率為(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由題意作圖，如圖所示，Ω1的面積為×2×2＝2，圖中陰影部分的面積為2－××＝，則所求的概率P＝＝，故選 D. 【

10、感悟提升】幾何概型的求解思路 概率中的幾何概型是一個(gè)重要內(nèi)容，高考時(shí)經(jīng)常考，題目不難，往往利用數(shù)形結(jié)合的方法求解，?？疾閹缀螆D形的面積、體積等，有時(shí)要用到轉(zhuǎn)化的思想和對(duì)立事件求解概率的思維方法．求概率時(shí)，關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時(shí)需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域．其解析為： (1)判斷所求幾何概型的類(lèi)型；(2)分別確定相關(guān)的區(qū)域長(zhǎng)度(面積與體積)；(3)代入公式計(jì)算． 【變式探究】節(jié)日前夕，小李在家門(mén)前的樹(shù)上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，

11、它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過(guò)2秒的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　設(shè)在通電后的4秒鐘內(nèi)，甲串彩燈、乙串彩燈第一次亮的時(shí)刻為x、y，x、y相互獨(dú)立，由題意可知，如圖所示． ∴兩串彩燈第一次亮的時(shí)間相差不超過(guò)2秒的概率為P(|x－y|≤2)＝ ＝＝＝. 題型三、抽樣方法 例3、【2017天津，理16】從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為. （Ⅰ）設(shè)表示一輛車(chē)從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望； （Ⅱ）若有2輛車(chē)獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車(chē)共遇到1個(gè)紅燈的概率. 【答案】

12、（Ⅰ）見(jiàn)解析;（Ⅱ）. 【解析】 （Ⅰ）解：隨機(jī)變量的所有可能取值為0,1,2,3. ， ， ， . 所以，隨機(jī)變量的分布列為 0 1 2 3 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望. （Ⅱ）解：設(shè)表示第一輛車(chē)遇到紅燈的個(gè)數(shù)， 表示第二輛車(chē)遇到紅燈的個(gè)數(shù)，則所求事件的概率為 . 所以，這2輛車(chē)共遇到1個(gè)紅燈的概率為. 【變式探究】(2016·山東，3，易)某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間(單位：小時(shí))，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是[17.5，30]，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5，20)，[20， 22．5)，[22.5，25)，[

13、25，27.5)，[27.5，30]．根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是(　　) A．56 B．60 C．120 D．140 【答案】D　 【解析】由頻率分布直方圖可知，每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的頻率為(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，所以每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是200×0.7＝140. 【變式探究】(2015·陜西，2)某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為(　　) A．167 B．137 C．123 D．93 解析　由題干扇形

14、統(tǒng)計(jì)圖可得該校女教師人數(shù)為：110×70%＋150×(1－60%)＝137.故選B. 答案　B 【變式探究】(1)(2014·湖南)對(duì)一個(gè)容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當(dāng)選取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為p1，p2，p3，則(　　) A．p1＝p2

15、視人數(shù)分別為(　　) A．200,20 B．100,20 C．200,10 D．100,10 【命題意圖】(1)本題主要考查統(tǒng)計(jì)中的抽樣及其概念，意在考查考生對(duì)抽樣方法概念的理解． (2)本題主要考查樣本容量和分層抽樣的概念及計(jì)算．要完成本題的計(jì)算需要從扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖中讀出相關(guān)數(shù)據(jù)并進(jìn)行計(jì)算，意在考查考生的數(shù)據(jù)處理能力． 【答案】(1)D　(2)A 【感悟提升】在解題時(shí)注意各種抽樣方法的特點(diǎn)及適用范圍，利用各種抽樣都是等概率抽樣． (1)在系統(tǒng)抽樣的過(guò)程中，要注意分段間隔，需要抽取幾個(gè)個(gè)體，樣本就需要分成幾個(gè)組，則分段間隔即為(N為樣本容量)，首先確定在第一組中抽

16、取的個(gè)體的號(hào)碼數(shù)，再?gòu)暮竺娴拿拷M中按規(guī)則抽取每個(gè)個(gè)體． (2)在分層抽樣中，要求各層在樣本中和總體中所占比例相同． 【變式探究】從編號(hào)為001,002，…，500的500個(gè)產(chǎn)品中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)樣本，已知樣本中編號(hào)最小的兩個(gè)編號(hào)分別為007,032，則樣本中最大的編號(hào)應(yīng)該為(　　) A．480　　　B．481　　　　C．482　　　　D．483 【答案】C 【解析】因?yàn)橄到y(tǒng)抽樣是等距抽樣，且抽樣的樣本中最小兩個(gè)編號(hào)的差為25，所以7＋(k－1)·25≤500，解得k≤，即k取1,2,3，…，20，所以樣本中最大的編號(hào)為7＋(20－1)·25＝482. 題型四　頻率分布直方圖

17、與莖葉圖 例4．【2017課標(biāo)II，理18】海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100 個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）某頻率分布直方圖如下： （1） 設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件：“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg, 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，估計(jì)A的概率； （2） 填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)： 箱產(chǎn)量＜50kg 箱產(chǎn)量≥50kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 （3） 根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值（精確

18、到0.01） 附： 【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）. 【解析】（1）記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于” ， 表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于” 由題意知 舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于的頻率為 故的估計(jì)值為0.62 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于的頻率為 故的估計(jì)值為0.66 因此，事件A的概率估計(jì)值為 （2）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表 箱產(chǎn)量 箱產(chǎn)量 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66 由于 故有的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)． （3）因?yàn)樾吗B(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低

19、于的直方圖面積為 ， 箱產(chǎn)量低于的直方圖面積為 故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值為 ． 【變式探究】 (2015·安徽，6)若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的標(biāo)準(zhǔn)差為(　　) A．8 B．15 C．16 D．32 【變式探究】(2015·湖南，12)在一次馬拉松比賽中，35名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示： 若將運(yùn)動(dòng)員按成績(jī)由好到差編為1～35號(hào)，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績(jī)?cè)趨^(qū)間[139，151]上的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)是________． 解析　由題意知，將1～35號(hào)分成7組，

20、每組5名運(yùn)動(dòng)員，落在區(qū)間[139，151]的運(yùn)動(dòng)員共有4組，故由系統(tǒng)抽樣法知，共抽取4名． 答案　4 題型五　變量間的相關(guān)關(guān)系及統(tǒng)計(jì)案例 例5．(2015·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ，31)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國(guó)二氧化硫排放量(單位：萬(wàn)噸)柱形圖．以下結(jié)論不正確的是(　　) A．逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著 B．2007年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效 C．2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì) D．2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān) 【變式探究】(2015·福建，4)為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶

21、家庭，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表： 收入x(萬(wàn)元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y(萬(wàn)元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根據(jù)上表可得回歸直線方程＝x＋，其中＝0.76，＝y(tǒng)－x．據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶年收入為15萬(wàn)元家庭的年支出為(　　) A．11.4萬(wàn)元 B．11.8萬(wàn)元 C．12.0萬(wàn)元 D．12.2萬(wàn)元 解析　回歸直線一定過(guò)樣本點(diǎn)中心(10，8)，∵＝0.76，∴＝0.4，由＝0.76x＋0.4得當(dāng)x＝15萬(wàn)元時(shí)，＝11.8萬(wàn)元．故選B. 答案　B 【舉一反三】(2015·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ，19)某公司為確定下一年度

22、投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對(duì)年銷(xiāo)售量y(單位：t)和年利潤(rùn)z(單位：千元)的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷(xiāo)售量yi(i＝1，2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值． x y w 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中wi＝，w＝i. (1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋d哪一個(gè)適宜作為年銷(xiāo)售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類(lèi)型？(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由) (2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程； (3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)

23、z與x，y的關(guān)系為z＝0.2y－x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問(wèn)題： ①年宣傳費(fèi)x＝49時(shí)，年銷(xiāo)售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？ ②年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？ 附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為： ＝. 解　(1)由散點(diǎn)圖可以判斷，y＝c＋d適宜作為年銷(xiāo)售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類(lèi)型． (2)令w＝，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程，由于 ＝68， ＝－＝563－68×6.8＝100.6， 所以y關(guān)于w的線性回歸方程為＝100.6＋68w，因此y關(guān)于x的回歸方程為＝100.6＋68. 14