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1、
第92講 極坐標(biāo)常見題型解法
【知識(shí)要點(diǎn)】
一、在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)為極點(diǎn)，引一條射線為叫做極軸，再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位和角度單位及它的正方向（通常取逆時(shí)針?lè)较颍?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.對(duì)于平面內(nèi)的點(diǎn)，設(shè)， ，稱、為點(diǎn)的極徑、極角，有序數(shù)對(duì)就叫做的極坐標(biāo).
二、一般地，當(dāng)極角的取值范圍是時(shí)，平面上的點(diǎn)(除去極點(diǎn))就與極坐標(biāo)建
立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，否則點(diǎn)與極坐標(biāo)就不是一一對(duì)應(yīng).極點(diǎn)的極坐標(biāo)是，其中極角是任意角.
三、負(fù)極徑的規(guī)定：在極坐標(biāo)系中，極徑允許取負(fù)值，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)位于極角的終邊的反向延長(zhǎng)線上，且，可以表示為，或
四、直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同
2、的長(zhǎng)度單位.平面內(nèi)任意一點(diǎn)的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)分別為和，則由三角函數(shù)的定義可以得到： （求點(diǎn)的直角坐標(biāo)的公式），（求點(diǎn)的極坐標(biāo)的公式）.
五、球坐標(biāo)系：設(shè)是空間任意一點(diǎn)，在平面的射影為，連接，記， 與軸正向所夾的角為，在平面的射影為，軸按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到時(shí)所轉(zhuǎn)過(guò)的最小正角為，點(diǎn)的位置可以用有序數(shù)組表示，我們把建立上述對(duì)應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫球坐標(biāo)系(或空間極坐標(biāo)系)，有序數(shù)組叫做點(diǎn)的球坐標(biāo)，其中，，.空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)之間的變換關(guān)系為：；
六、柱坐標(biāo)系：設(shè)是空間任意一點(diǎn)，在平面的射影為，用 表示點(diǎn)在平面上的極坐標(biāo)，點(diǎn)的位置可用有序數(shù)組，表示把建立上述對(duì)應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫做柱坐標(biāo)系，有序數(shù)組叫點(diǎn)
3、的柱坐標(biāo)，其中，，，空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)之間的變換關(guān)系為：.
【題型講評(píng)】
題型一
求點(diǎn)的直角坐標(biāo)
解題步驟
一般直接代入公式即可，代公式時(shí)注意“”與“”對(duì)應(yīng)，“”與“”對(duì)應(yīng).其中經(jīng)常用到三角恒等變換的誘導(dǎo)公式“縱變橫不變，符號(hào)看象限”.
【例1】點(diǎn)的極坐標(biāo)為，則它的直角坐標(biāo)為 .
【點(diǎn)評(píng)】把極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)時(shí)，要求我們對(duì)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式很熟練很準(zhǔn)備，否則就有可能計(jì)算出錯(cuò).如本題中的，就要計(jì)算準(zhǔn)確.
【反饋檢測(cè)1】若點(diǎn)的極坐標(biāo)為，則點(diǎn)的直角坐標(biāo)是（ ）
A． B． C． D
4、．
題型二
求點(diǎn)的極坐標(biāo)
解題步驟
一般直接代公式解出即可.注意兩點(diǎn)：（1）極角一般取；（2）求極角時(shí)，一定要先通過(guò)點(diǎn)定出極角所在的象限位置，再通過(guò)求出極角的大小.即先定位，后定量.如果點(diǎn)不在象限里面，則直接寫出它的極坐標(biāo).
【例2】點(diǎn)的直角坐標(biāo)是，則點(diǎn)的極坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【點(diǎn)評(píng)】這種題最容易出錯(cuò)的是極角的大小，必須向定位，后定量.本題中極角和位置相同，所以極角在第二象限，又，所以極角
【反饋檢測(cè)2】點(diǎn)，則它的極坐標(biāo)是（ ）
A． B． C． D．
5、
題型三
求曲線直角方程的極坐標(biāo)方程
解題步驟
一般先代入公式，再化簡(jiǎn)整理即可.其中常用到輔助角公式.
【例3】 把方程化為極坐標(biāo)方程.
【解析】 .
【點(diǎn)評(píng)】把直角坐標(biāo)方程化成極坐標(biāo)方程時(shí)，一般要利用輔助角公式化簡(jiǎn),以達(dá)到最簡(jiǎn)的目的.
【反饋檢測(cè)3】已知圓的方程為，求該圓的極坐標(biāo)方程.
題型四
求曲線的直角坐標(biāo)方程
解題步驟
一般先代公式，再化簡(jiǎn)整理即可.
【例4】極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程 (為參數(shù))所表示的圖形分別為( )
A．圓、直線 B．直線、圓 C．圓、圓 D．直線、直線
【點(diǎn)評(píng)】把極坐標(biāo)方程化
6、成直角坐標(biāo)方程時(shí)，注意技巧，可以方程的兩邊同時(shí)乘以，得到，這樣便于代公式.
【反饋檢測(cè)4】極坐標(biāo)方程表示的曲線為（ ）
A．極點(diǎn) B．極軸 C．一條直線 D．兩條相交直線
題型五
求曲線的極坐標(biāo)方程
解題步驟
方法一：一般先把已知條件中的所有條件化成直角坐標(biāo)，求出曲線的直角坐標(biāo)方程，再把求出的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程.方法二：建系設(shè)點(diǎn)列式化簡(jiǎn).一般選第一種方法解答.
【例5】 在極坐標(biāo)系中，圓過(guò)極點(diǎn)，且圓心的極坐標(biāo)是()，則圓的極坐標(biāo)方程是（ ）
A．． B．． C．． D．．
【點(diǎn)評(píng)】本題選擇的是第一種方法，
7、先把所有的條件化成直角坐標(biāo)，求出直角坐標(biāo)方程，再把直角坐標(biāo)方程化成極坐標(biāo).
【反饋檢測(cè)5】已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線為.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求的極坐標(biāo)方程.
【例6】在極坐標(biāo)系中，已知圓的圓心，半徑，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng).
（I）求圓的極坐標(biāo)方程；
（II）若在直線上運(yùn)動(dòng)，且，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.
【解析】（I）
Q
M
C
O
X
·P
設(shè)圓上任意一點(diǎn)，則在三角形中，由余弦定理得
即：
整理即可得圓的極坐標(biāo)方程為：
（II）設(shè),，依題意可知：
代入得
化簡(jiǎn)得：動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：
【點(diǎn)評(píng)】本題就是選擇的方法二求
8、的曲線的極坐標(biāo)方程.其中多涉及到解三角形的知識(shí)（正弦定理和余弦定理）.
【反饋檢測(cè)6】在極坐標(biāo)系中，已知圓的圓心半徑,求圓的極坐標(biāo)方程.
題型六
極坐標(biāo)和其它知識(shí)的綜合
解題步驟
一般先化成直角坐標(biāo)，再利用涉及的相關(guān)知識(shí)分析解答.
【例7】在直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點(diǎn)軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
（1）求圓的極坐標(biāo)方程；
（2）直線的極坐標(biāo)方程是，射線與圓的交點(diǎn)為，與直線的交點(diǎn)為，求線段的長(zhǎng).
【點(diǎn)評(píng)】（1）極坐標(biāo)可以和很多知識(shí)整合，整合最多的是解析幾何.（2）本題的第二問(wèn)比較巧妙，計(jì)算線段的長(zhǎng)度時(shí)，沒有計(jì)算兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)檫@樣的
9、計(jì)算量比較大. 直接用兩個(gè)端點(diǎn)的極徑之差來(lái)求線段的長(zhǎng)度，因?yàn)閮蓚€(gè)端點(diǎn)的極角相等.
【反饋檢測(cè)7】在直角坐標(biāo)系中，直線（為參數(shù)， ）與圓
相交于點(diǎn)，以為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求直線與圓的極坐標(biāo)方程；（2）求的最大值．
【反饋檢測(cè)8】已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為為參數(shù)），以為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為則直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為 ．
高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測(cè)第92講：
極坐標(biāo)常見題型解法參考答案
【反饋檢測(cè)1答案】
【反饋檢測(cè)1詳細(xì)解答】，，則點(diǎn)的直角坐標(biāo)是.故選.
【反饋檢測(cè)2答案】C
【反饋檢測(cè)2詳細(xì)解答】,,所以，故選C.
【反饋檢測(cè)3答案】
【反饋檢測(cè)3詳細(xì)解答】由題得
【反饋檢測(cè)4答案】
【反饋檢測(cè)4詳細(xì)解析】∵，，∴，即
或，表示的是兩條相交直線.所以選擇.
【反饋檢測(cè)5答案】
【反饋檢測(cè)6答案】
【反饋檢測(cè)6詳細(xì)解析】方法一：設(shè)點(diǎn)，在中，，，，
，由余弦定理可知
，即
方法二：圓的圓心為
直角坐標(biāo)方程為
即，將代入上式，
得
【反饋檢測(cè)7答案】（1）；（2）.
【反饋檢測(cè)8答案】
【反饋檢測(cè)8詳細(xì)解析】圓的普通方程為，直線的普通方程為 ，圓心到直線的距離，則直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為.
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2018年高考數(shù)學(xué) 常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第92講 極坐標(biāo)常見題型解法
