高考數(shù)學(xué) 熱點(diǎn)難點(diǎn)突破技巧 第05講 函數(shù)的零點(diǎn)問題處理方法

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1、 第05講：函數(shù)的零點(diǎn)問題處理方法 【知識(shí)要點(diǎn)】 一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) （1）定義：對(duì)于函數(shù)（，把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)（的零點(diǎn).函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，而是一個(gè)數(shù)，類似的數(shù)學(xué)概念有截距和極值點(diǎn)等. （2）函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即：方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖像與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn). （3）零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在使得，這個(gè)也就是方程的根. 函數(shù)在區(qū)間上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件. 零點(diǎn)

2、存在性定理只能判斷是否存在零點(diǎn)，但是零點(diǎn)的個(gè)數(shù)則不能通過零點(diǎn)存在性定理確定，一般通過數(shù)形結(jié)合解決. 二、二分法 （1）二分法及步驟 對(duì)于在區(qū)間上連續(xù)不斷，且滿足的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到函數(shù)零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法. （2）給定精確度，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的步驟如下： 第一步：確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精確度. 第二步：求區(qū)間的中點(diǎn). 第三步：計(jì)算：①若=0，則就是函數(shù)的零點(diǎn)；②若，則令 （此時(shí)零點(diǎn)）③若，則令（此時(shí)零點(diǎn)） 第四步：判斷是否達(dá)到精確度即若，則得到零點(diǎn)值或，否則重復(fù)第二至第四步. 三、一元二次方程的

3、根的分布 討論一元二次方程的根的分布一般從以下個(gè)方面考慮列不等式組： （1）的符號(hào)； （2）對(duì)稱軸的位置； （3）判別式的符號(hào)； （4）根分布的區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值的符號(hào). 四、精確度為0.1指的是零點(diǎn)所在區(qū)間的長度小于0.1，其中的任意一個(gè)值都可以??；精確到0.1指的是零點(diǎn)保留小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)字，要看小數(shù)點(diǎn)后兩位，四舍五入. 五、方法總結(jié) 1、函數(shù)零點(diǎn)問題的處理常用的方法有：(1) 方程法；（2）圖像法；（3）方程+圖像法. 2、高考考查單調(diào)函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，一般要找到兩個(gè)變量，并且要證明.這是一個(gè)難點(diǎn)，一般利用放縮法證明. 【方法講評(píng)】 方法一 方程法 使用情景 方程可以

4、直接解出來. 解題步驟 先解方程，再求解. 【例1 】已知函數(shù)區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【點(diǎn)評(píng)】（1）本題如果用其它方法比較復(fù)雜，用這種方法就比較簡潔.關(guān)鍵是能發(fā)現(xiàn)方程能直接解出來.（2）對(duì)于含有參數(shù)的一元二次函數(shù)要比較敏感，看到它就要想到因式分解，如果不好因式分解，再考慮其它方法. 【反饋檢測(cè)1】函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ） A．4 B．5 C．6 D． 7 方法二 圖像法 使用情景 函數(shù)是一些簡單的初等函數(shù)（反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)

5、、三角函數(shù)等）或單調(diào)性容易求出，比較容易畫出函數(shù)的圖像. 解題步驟 先求函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性畫出函數(shù)的圖像分析. 【例2】（2016年北京高考文科）設(shè)函數(shù) （1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （2）設(shè)，若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，求c的取值范圍； （3）求證：是有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件. （2）當(dāng)時(shí)，，所以． 令，得，解得或． 與在區(qū)間上的情況如下： 所以，當(dāng)且時(shí)，存在，， ，使得． 由的單調(diào)性知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)． （3）當(dāng)時(shí)，，， 此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增

6、，所以不可能有三個(gè)不同零點(diǎn)． 當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，記作． 當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增． 所以不可能有三個(gè)不同零點(diǎn)． 【點(diǎn)評(píng)】（1）本題的第2問是用數(shù)形結(jié)合解答的，畫圖分析得只有滿足極大值大于零且極小值小于零，則函數(shù)圖像與軸會(huì)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn).(2)本題的第3問， ，是一個(gè)二次函數(shù)，但是由于該二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)不確定，所以要就判別式分類討論，分類討論時(shí)結(jié)合數(shù)形結(jié)合比較直觀地看到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到零點(diǎn)的個(gè)數(shù). 【例3】（2017全國高考新課標(biāo)I理科數(shù)學(xué)）已知函數(shù). （1）討論的單調(diào)性； （2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范

7、圍. (2) ①若由（1）知至多有一個(gè)零點(diǎn). ②若，由（1）知當(dāng)時(shí)，取得最小值，. （i）當(dāng)時(shí)，=0，故只有一個(gè)零點(diǎn). （ii）當(dāng)時(shí)，由于>0，即，故沒有零點(diǎn). （iii）當(dāng)時(shí)，，即. 故在只有一個(gè)零點(diǎn). 【點(diǎn)評(píng)】（1）本題第2問根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍，用的就是圖像法. 由于第1問已經(jīng)求出了函數(shù)的單調(diào)性，所以第2問可以直接利用第1問的單調(diào)性作圖分析. (2) 當(dāng)時(shí)，要先判斷的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，此時(shí)考查了函數(shù)的零點(diǎn)定理，，還必須在該區(qū)間找一個(gè)函數(shù)值為正的值，它就是要說明，這里利用了放縮法，丟掉了.(3) 當(dāng)時(shí)，要判斷上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，也是在考查函數(shù)的零點(diǎn)定理，還要在該區(qū)間

8、找一個(gè)函數(shù)值為正的值，它就是，再放縮證明>0. （4）由此題可以看出零點(diǎn)定理在高考中的重要性. 【反饋檢測(cè)2】已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，常數(shù). (1) 若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求的值；(2) 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (3) 當(dāng)取正實(shí)數(shù)時(shí)，若存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，求的取值范圍. 方法三 方程圖像法 使用情景 函數(shù)比較復(fù)雜，不方便解方程，也不容易求函數(shù)的單調(diào)性. 解題步驟 先令,重新構(gòu)造方程,再畫函數(shù)的圖像分析解答. 【例4】【2017江蘇，14】設(shè)是定義在且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間上, 其 中集合，則方程的解的個(gè)數(shù)是 . 因此，則，此時(shí)左邊為

9、整數(shù)，右邊為非整數(shù)，矛盾，因此， 因此不可能與每個(gè)周期內(nèi)對(duì)應(yīng)的部分相等， 只需考慮與每個(gè)周期的部分的交點(diǎn)， 畫出函數(shù)圖象，圖中交點(diǎn)除外其他交點(diǎn)橫坐標(biāo)均為無理數(shù)，屬于每個(gè)周期的部分， 且處，則在附近僅有一個(gè)交點(diǎn)， 因此方程的解的個(gè)數(shù)為8． 【點(diǎn)評(píng)】直接求方程的解的個(gè)數(shù)比較困難，所以轉(zhuǎn)化為方程的解的個(gè)數(shù). 所以要先化出函數(shù)和函數(shù)的圖像，再分析它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即得到方程的解的個(gè)數(shù). 【例5】函數(shù)． （1）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)與的圖象有且只有3個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值的取值范圍；（2）討論的單調(diào)性． 【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由題得， 兩式相減得，故． 令，， 故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， ；

10、 當(dāng)時(shí)，；，．故． 【點(diǎn)評(píng)】（1）由于函數(shù)與函數(shù)的圖像不好畫，即使能畫出來，也不方便研究兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，所以把交點(diǎn)轉(zhuǎn)化成方程組的解來解答，再轉(zhuǎn)化成方程的解來解答，再分離參數(shù)化成 的形式，利用數(shù)形結(jié)合分析解答. （2）對(duì)于一個(gè)函數(shù)如果不方便解方程，也不方便畫圖，則可以嘗試?yán)弥匦聵?gòu)造方程，再分別畫出函數(shù)和函數(shù)的圖像分析解答. 【例6】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 個(gè). 當(dāng)時(shí)， 所以函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn). 綜上所述，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2. 【點(diǎn)評(píng)】（1）函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)，求出每一段的函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)再相加即可. （2）上面一段宜選用解方程的方法求零

11、點(diǎn)，因?yàn)樗梢哉沓梢粋€(gè)關(guān)于的一元二次方程. 下面的一段宜選用圖像法求零點(diǎn).因?yàn)樗膯握{(diào)性比較容易求得. (3)要想靈活選擇，主要取決于熟練生巧. 【反饋檢測(cè)3】設(shè)函數(shù)． （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)． 高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)難點(diǎn)突破技巧第05講： 函數(shù)的零點(diǎn)問題處理方法參考答案 【反饋檢測(cè)1答案】 【反饋檢測(cè)2答案】（1）；（2）的單調(diào)增區(qū)間是，； 的單調(diào)減區(qū)間是，，；（3）的取值范圍是. 【反饋檢測(cè)2詳細(xì)解析】(1) 因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，所以，即. 而當(dāng)時(shí)，， 可驗(yàn)證：是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)

12、.因此. (2) 當(dāng)時(shí)， 令得，解得，而. 所以當(dāng)變化時(shí)，、的變化是 極小值 極大值 因此的單調(diào)增區(qū)間是，； 的單調(diào)減區(qū)間是，，； (3) 當(dāng)取正實(shí)數(shù)時(shí)，，令得， 當(dāng)時(shí)，解得.在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，但是函數(shù)值恒大于零，極大值，極小值，并且根據(jù)指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的變化速度可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.因此當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程一定總有三個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)論成立； 當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間是，無論取何值，方程最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)論不成立.因此所求的取值范圍是. 【反饋檢測(cè)3答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是, 單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）． 【反饋檢測(cè)3詳細(xì)解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋? （2）令,問題等價(jià)于求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，,當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)， 注意到，所以有唯一零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，或時(shí)，時(shí)，， 所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 注意到，所以有唯一零點(diǎn)． 綜上，函數(shù)有唯一零點(diǎn)，即兩函數(shù)圖象總有一個(gè)交點(diǎn)． 12