中考數(shù)學(xué)熱點專題 動點問題

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1、初三第一輪復(fù)習(xí) 動點問題 動點題是近年來中考的的一個熱點問題，解這類題目要“以靜制動”，即把動態(tài)問題，變?yōu)殪o態(tài)問題來解。一般方法是抓住變化中的“不變量”，以不變應(yīng)萬變，首先根據(jù)題意理清題目中兩個變量X、Y的變化情況并找出相關(guān)常量，第二，按照圖形中的幾何性質(zhì)及相互關(guān)系，找出一個基本關(guān)系式，把相關(guān)的量用一個自變量的表達(dá)式表達(dá)出來，然后再根據(jù)題目的要求，依據(jù)幾何、代數(shù)知識解出。第三，確定自變量的取值范圍，畫出相應(yīng)的圖象。 一、例題: 如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=4 cm，∠A=60°，BD⊥AD. 一動點P從A出發(fā)，以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路線勻速運動，過點P作直線

2、PM，使PM⊥AD . (1) 當(dāng)點P運動2秒時，設(shè)直線PM與AD相交于點E，求△APE的面積； (2) 當(dāng)點P運動2秒時，另一動點Q也從A出發(fā)沿A→B→C的路線運動，且在AB上以每秒1 cm的速度勻速運動，在BC上以每秒2 cm的速度勻速運動. 過Q作直線QN，使QN∥PM. 設(shè)點Q運動的時間為t秒(0≤t≤10)，直線PM與QN截平行四邊形ABCD所得圖形的面積為S cm2 . ① 求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；② (附加題) 求S的最大值。 解題思路： 第（1）問比較簡單，就是一個靜態(tài)問題當(dāng)點P運動2秒時，AP=2 cm， 由∠A=60°，知AE=1，PE=. ∴ SΔAPE

3、= 第（2）問就是一個動態(tài)問題了，題目要求面積與運動時間的函數(shù)關(guān)系式，這就需要我們根據(jù)題目，綜合分析，分類討論. P點從A→B→C一共用了12秒，走了12 cm， Q 點從A→B用了8秒，B→C用了2秒， 所以t的取值范圍是 0≤t≤10 不變量：P、Q 點走過的總路程都是12cm，P點的速度不變，所以AP始終為：t+2 若速度有變化，總路程 =變化前的路程+變化后的路程=變化前的速度×變化點所用時間+變化后的速度×（t－變化點所用時間）. 如當(dāng)8≤t≤10時，點Q所走的路程AQ=1×8+2（t－8）=2t-8 ① 當(dāng)0≤t≤6時，點P與點Q都在AB上運動， 設(shè)PM與AD

4、交于點G，QN與AD交于點F， 則AQ=t，AF=，QF=，AP=t+2，AG=1+，PG=. ∴ 此時兩平行線截平行四邊形ABCD是一個直角梯形， 其面積為（PG + QF）×AG÷2 S=. 當(dāng)6≤t≤8時，點P在BC上運動，點Q仍在AB上運動. 設(shè)PM與DC交于點G，QN與AD交于點F， 則AQ=t，AF=，DF=4-（總量減部分量）， QF=，AP=t+2，BP=t-6（總量減部分量）， CP=AC- AP=12-（t+2）=10-t（總量減部分量）， PG=，而BD=， 故此時兩平行線截平行四邊形ABCD的面積為 平行四邊形的面積減去兩個三角形面積S=.

5、 當(dāng)8≤t≤10時，點P和點Q都在BC上運動. 設(shè)PM與DC交于點G，QN與DC交于點F， 則AQ=2t-8，CQ= AC- AQ= 12-（2t-8）=20-2t，（難點） QF=(20-2t)，CP=10-t，PG=. ∴ 此時兩平行線截平行四邊形ABCD的面積為S=. ②(附加題)當(dāng)0≤t≤6時，S的最大值為； 當(dāng)6≤t≤8時，S的最大值為； 當(dāng)8≤t≤10時，S的最大值為； 所以當(dāng)t=8時，S有最大值為 . 二、練習(xí)： 1.如圖，正方形ABCD的邊長為5cm，Rt△EFG中，∠G＝90°，F(xiàn)G＝4cm，EG＝3cm，且點B、

6、F、C、G在直線上，△EFG由F、C重合的位置開始，以1cm/秒的速度沿直線按箭頭所表示的方向作勻速直線運動． （1）當(dāng)△EFG運動時，求點E分別運動到CD上和AB上的時間； （2）設(shè)x（秒）后，△EFG與正方形ABCD重合部分的面積為y（cm），求y與x的函數(shù)關(guān)系式； （3）在下面的直角坐標(biāo)系中，畫出0≤x≤2時（2）中函數(shù)的大致圖象；如果以O(shè)為圓心的圓與該圖象交于點P（x，），與x軸交于點A、B（A在B的左側(cè)），求∠PAB的度數(shù)． 2.已知，如圖，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O(shè)為原點建立平面直角坐標(biāo)系，A、B、

7、C的坐標(biāo)分別為A（10，0）、B（4，8）、C（0，8），D為OA的中點，動點P自A點出發(fā)沿A→B→C→O的路線移動，速度為每秒1個單位，移動時間記為t秒， （1）動點P在從A到B的移動過程中，設(shè)△APD的面積為S，試寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，指出自變量的取值范圍，并求出S的最大值 （2）動點P從出發(fā)，幾秒鐘后線段PD將梯形COAB的面積分成1：3兩部分？求出此時P點的坐標(biāo) 3.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標(biāo)分別為（3，0），（3，4）。動點M、N分別從O、B同時出發(fā)，以每秒1個單位的速度運動。其中，點M沿OA向終點A運動，點N沿BC

8、向終點C運動。過點N作NP⊥AC，交AC于P，連結(jié)MP。已知動點運動了x秒。 （1）P點的坐標(biāo)為（ ， ）；（用含x的代數(shù)式表示） （2）試求 ⊿MPA面積的最大值，并求此時x的值。 （3）請你探索：當(dāng)x為何值時，⊿MPA是一個等腰三角形？你發(fā)現(xiàn)了幾種情況？寫出你的研究成果。 4.如圖，在中，，，厘米，質(zhì)點P從A點出發(fā)沿線路作勻速運動，質(zhì)點Q從AC的中點D同時出發(fā)沿線路作勻速運動逐步靠近質(zhì)點P，設(shè)兩質(zhì)點P、Q的速度分別為1厘米/秒、厘米/秒（），它們在秒后于BC邊上的某一點E相遇。（1）求出AC與BC的

9、長度；（2）試問兩質(zhì)點相遇時所在的E點會是BC的中點嗎？為什么？（3）若以D、E、C為頂點的三角形與△ABC相似，試分別求出與的值； 5.在三角形ABC中, .現(xiàn)有動點P從點A出發(fā),沿射線AB向點B方向運動;動點Q從點C出發(fā),沿射線CB也向點B方向運動.如果點P的速度是/秒,點Q的速度是/秒,它們同時出發(fā),求:(1)幾秒鐘后,ΔPBQ的面積是ΔABC的面積的一半? (2)在第(1)問的前提下,P,Q兩點之間的距離是多少? 6.如圖,已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90o，∠C=60o，AD=

10、3cm，BC=9cm．⊙O1的圓心O1從點A開始沿A—D—C折線以1cm/s的速度向點C運動，⊙O2的圓心O2從點B開始沿BA邊以cm/s的速度向點A運動，如果⊙O1半徑為2cm，⊙O2的半徑為4cm，若O1、O2分別從點A、點B同時出發(fā)，運動的時間為ts （1）請求出⊙O2與腰CD相切時t的值； （2）在0s

11、 （1）填空：0C=________，k=________； （2）求經(jīng)過O，C，B三點的拋物線的另一個交點為D，動點P，Q分別從O，D同時出發(fā)，都以每秒1個單位的速度運動，其中點P沿OB由O→B運動，點Q沿DC由D→C運動，過點Q作QM⊥CD交BC于點M，連結(jié)PM，設(shè)動點運動時間為t秒，請你探索：當(dāng)t為何值時，△PMB是直角三角形。 - 6 -