【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué) 理一輪復(fù)習(xí)配套文檔：第10章 第3節(jié) 2項(xiàng)式定理

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1、 第三節(jié)　二項(xiàng)式定理 【考綱下載】 1．能利用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理． 2．會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問題． 1．二項(xiàng)式定理 二項(xiàng)式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋ Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*) 二項(xiàng)式系數(shù) 二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)C(r＝0,1，…，n) 二項(xiàng)式通項(xiàng) Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1項(xiàng) 2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 1．二項(xiàng)式(x＋y)n的展開式的第k＋1項(xiàng)與(y＋x)n的展開式的第k＋1項(xiàng)一樣嗎？ 提示：盡管(x＋y)n與(y＋x)n的值相等，但它們的展開式形式是不同的，因此應(yīng)用二項(xiàng)式

2、定理時(shí)，x，y的位置不能隨便交換． 2．二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)一樣嗎？ 提示：不一樣．二項(xiàng)式系數(shù)是指C，C，…，C，它只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而與a，b的值無(wú)關(guān)；而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而且也與a，b的值有關(guān)． 1．(x－y)n的二項(xiàng)展開式中，第r項(xiàng)的系數(shù)是(　　) 　A．C B．C C．C D．(－1)r－1C 解析：選D　本題中由于y的系數(shù)為負(fù)，故其第r項(xiàng)的系數(shù)為(－1)r－1C. 2．(20xx·四川高考)(1＋x)7的展開式中x2的系數(shù)是(　　) A．42 B．35 C．28 D．21

3、解析：選D　依題意可知，二項(xiàng)式(1＋x)7的展開式中x2的系數(shù)等于C×15＝21. 3．C＋C＋C＋C＋C＋C的值為(　　) A．62 B．63 C．64 D．65 解析：選B　因?yàn)镃＋C＋C＋C＋C＋C＝(C＋C＋C＋C＋C＋C＋C)－C＝26－1＝63. 4.n展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n等于________． 解析：∵展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大， ∴n＝10. 答案：10 5．(20xx·南充模擬)(x＋1)9的展開式中x3的系數(shù)是________(用數(shù)字作答)． 解析：依題意知，(x＋1)9的展開式中x3的系數(shù)為C＝C＝＝

4、84. 答案：84 高頻考點(diǎn) 考點(diǎn)一 求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù) 　　 　 1．二項(xiàng)式定理是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，也是高考命題的熱點(diǎn)，多以選擇、填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題． 2．高考對(duì)二項(xiàng)式定理的考查主要有以下幾個(gè)命題角度： (1)求二項(xiàng)展開式中的第n項(xiàng)； (2)求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)； (3)已知二項(xiàng)展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù)． [例1]　(1)(20xx·江西高考)5展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(　　) A．80 B．－80 C．40 D．－40 (2)(20xx·遼寧高考)使n(n∈N*)的

5、展開式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 [自主解答]　(1)此二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C(x2)5－r(－1)r2rx－3r＝C·(－1)r·2r·x10－5r.因?yàn)?0－5r＝0，所以r＝2，所以常數(shù)項(xiàng)為T3＝C·22＝40. (2)Tr＋1＝C(3x)n－r·x－r＝C·3n－r·xn－r－r＝C·3n－r·xn－(r＝0,1,2，…，n)，若Tr＋1是常數(shù)項(xiàng)，則有n－r＝0，即2n＝5r(r＝0,1，…，n)，當(dāng)r＝0,1時(shí)，n＝0，，不滿足條件；當(dāng)r＝2時(shí)，n＝5. [答案]　(1)C　(2)B

6、【互動(dòng)探究】 若本例(2)中的條件“n∈N*”改為“n≥3”，其他條件不變，則展開式中的有理項(xiàng)最少有________項(xiàng)． 解析：由本例(2)中的自主解答可知：Tr＋1＝C3n－rxn－(r＝0,1,2，…，n)． 即當(dāng)為整數(shù)時(shí)，Tr＋1為有理項(xiàng)．顯然當(dāng)n＝3時(shí)，r的取值最少，有r＝0，r＝2， 即有理項(xiàng)為T1、T3兩項(xiàng)． 答案：2　　　　　 求二項(xiàng)式展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略 (1)求展開式中的第n項(xiàng)．可依據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式直接求出第n項(xiàng)． (2)求展開式中的特定項(xiàng)．可依據(jù)條件寫出第r＋1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可． (3)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的

7、系數(shù)．可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)公式寫出第r＋1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出r值，最后求出其參數(shù)． 1．若二項(xiàng)式n的展開式中第5項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)n的值可能為(　　) 　A．6 B．10 C．12 D．15 解析：選C　Tr＋1＝C()n－rr＝(－2)rCx， 當(dāng)r＝4時(shí)，＝0，又n∈N*，所以n＝12. 2．(20xx·昆明模擬)(1－)4的展開式中x的系數(shù)是________． 解析：(1－)4的展開式中x的項(xiàng)為·C10(－)4＋xC14(－)0＝2x＋x＝3x.所以x的系數(shù)為3. 答案：3 考點(diǎn)二 二項(xiàng)式系數(shù)或各項(xiàng)系數(shù)和 　 　 [例2]　(1)

8、(20xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b，若13a＝7b，則m＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 (2)若C＝C(n∈N*)且(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝________. [自主解答]　(1)由題意得：a＝C，b＝C， 所以13C＝7C，∴＝， ∴＝13，解得m＝6，經(jīng)檢驗(yàn)為原方程的解，選B. (2)由C＝C，得3n＋1＝n＋6(無(wú)整數(shù)解)或3n＋1＝23－(n＋6)，解得n＝4，問題即轉(zhuǎn)化

9、為求(3－x)4的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和的問題，只需在(3－x)4中令x＝－1即得a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝[3－(－1)]4＝256. [答案]　(1)B　(2)256 【方法規(guī)律】 賦值法的應(yīng)用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可． (2)對(duì)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)， 奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝， 偶數(shù)項(xiàng)系

10、數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝. 1．設(shè)(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是(　　) A．15x3 B．20x3 C．21x3 D．35x3 解析：選B　在(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋anxn中，令x＝1得2n＝a0＋a1＋a2＋…＋an. 令x＝0，得1＝a0，∴a1＋a2＋…＋an＝2n－1＝63，∴n＝6. 而(1＋x)6的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T4＝Cx3＝20x3. 2．(20xx·麗水模擬)若(1－2x)2 014＝a0＋a1x＋…＋a2 013x2 013＋a2 014x2 01

11、4(x∈R)，則＋＋…＋＋的值為(　　) A．2 B．0 C．－1 D．－2 解析：選C　令x＝0，則a0＝1，令x＝， 則a0＋＋＋…＋＋＝0，∴＋＋…＋＋＝－1. 考點(diǎn)三 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用 　 [例3]　(1)已知2n＋2·3n＋5n－a能被25整除，求正整數(shù)a的最小值； (2)求1.028的近似值．(精確到小數(shù)點(diǎn)后三位) [自主解答]　(1)∵2n＋2·3n＋5n－a＝4·2n·3n＋5n－a ＝4·6n＋5n－a＝4(5＋1)n＋5n－a ＝4(C5n＋C5n－1＋…＋C52＋C5＋C)＋5n－a ＝4(C5n＋C5n－1

12、＋…＋C52)＋25n＋4－a， 顯然正整數(shù)a的最小值為4. (2)1.028＝(1＋0.02)8≈C＋C·0.02＋C·0.022＋C·0.023≈1.172. 【方法規(guī)律】 1．整除問題的解題思路 利用二項(xiàng)式定理找出某兩個(gè)數(shù)(或式)之間的倍數(shù)關(guān)系，是解決有關(guān)整除性問題和余數(shù)問題的基本思路，關(guān)鍵是要合理地構(gòu)造二項(xiàng)式，并將它展開進(jìn)行分析判斷． 2．求近似值的基本方法 利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行近似計(jì)算：當(dāng)n不很大，|x|比較小時(shí)，(1＋x)n≈1＋nx. 求證： (1)32n＋2－8n－9能被64整除(n∈N*)； (2)3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)． 證明

13、：(1)∵32n＋2－8n－9＝32·32n－8n－9 ＝9·9n－8n－9＝9(8＋1)n－8n－9 ＝9(C8n＋C8n－1＋…＋C·8＋C·1)－8n－9 ＝9(8n＋C8n－1＋…＋C82)＋9·8n＋9－8n－9 ＝9×82(8n－2＋C8n－3＋…＋C)＋64n ＝64[9(8n－2＋C8n－3＋…＋C)＋n]， 顯然括號(hào)內(nèi)是正整數(shù)，故原式能被64整除． (2)因?yàn)閚∈N*，且n>2，所以3n＝(2＋1)n展開后至少有4項(xiàng)． (2＋1)n＝2n＋C·2n－1＋…＋C·2＋1≥2n＋n·2n－1＋2n＋1>2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1， 故3n>(n＋2

14、)·2n－1(n∈N*，n>2)． ————————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]—————————— 1個(gè)公式——二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式 　通項(xiàng)公式主要用于求二項(xiàng)式的特定項(xiàng)問題，在運(yùn)用時(shí)，應(yīng)明確以下幾點(diǎn)： (1)Can－rbr是第r＋1項(xiàng)，而不是第r項(xiàng)； (2)通項(xiàng)公式中a，b的位置不能顛倒； (3)通項(xiàng)公式中含有a，b，n，r，Tr＋1五個(gè)元素，只要知道其中的四個(gè)，就可以求出第五個(gè)，即“知四求一”． 3個(gè)注意點(diǎn)——二項(xiàng)式系數(shù)的三個(gè)注意點(diǎn) 　(1)求二項(xiàng)式所有系數(shù)的和，可采用“賦值法”； (2)關(guān)于組合式的證明，常采用“構(gòu)造法”——構(gòu)造函數(shù)或構(gòu)造同一問題的兩種算法；

15、(3)展開式中第r＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第r＋1項(xiàng)的系數(shù)一般是不相同的，在具體求各項(xiàng)的系數(shù)時(shí)，一般先處理符號(hào)，對(duì)根式和指數(shù)的運(yùn)算要細(xì)心，以防出錯(cuò)． 前沿?zé)狳c(diǎn)(十六) 與二項(xiàng)式定理有關(guān)的交匯問題 1．二項(xiàng)式定理作為一個(gè)獨(dú)特的內(nèi)容，在高考中總有所體現(xiàn)，常?？疾槎?xiàng)式定理的通項(xiàng)、項(xiàng)的系數(shù)、各項(xiàng)系數(shù)的和等． 2．二項(xiàng)式定理作為一個(gè)工具，也常常與其他知識(shí)交匯命題，如與數(shù)列交匯、與不等式交匯、與函數(shù)交匯等．因此在一些題目中不僅僅考查二項(xiàng)式定理，還要考查其他知識(shí)，其解題的關(guān)鍵點(diǎn)是它們的交匯點(diǎn)，注意它們的聯(lián)系即可． [典例]　(20xx·陜西高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝則當(dāng)x>0時(shí)，f[f(x)]

16、表達(dá)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為(　　) 　 A．－20 B．20 C．－15 D．15 [解題指導(dǎo)]　先尋找x>0時(shí)f(x)的取值，再尋找f[f(x)]的表達(dá)式，再利用二項(xiàng)式定理求解． [解析]　x>0時(shí)，f(x)＝－<0，故f[f(x)]＝6，其展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝C·(－)6－r·r＝(－1)6－r·C·()6－2r，由6－2r＝0，得r＝3，故常數(shù)項(xiàng)為(－1)3·C＝－20. [答案]　A [名師點(diǎn)評(píng)]　解決本題的關(guān)鍵有以下幾點(diǎn)： (1)正確識(shí)別分段函數(shù)f(x)； (2)正確判斷f(x)的符號(hào)； (3)正確寫出f[f(x)]的解析式； (4)正

17、確應(yīng)用二項(xiàng)式定理求出常數(shù)項(xiàng)． 設(shè)a2－a－2＝0，且a>0，則二項(xiàng)式6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是________． 解析：由a2－a－2＝0，且a>0，可得a＝2，所以二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是Tr＋1＝ C(2)6－rr＝C·26－r·(－1)rx3－r，令3－r＝0，得r＝3，故二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)是 －C×23＝－160. 答案：－160 [全盤鞏固] 1．在5的二項(xiàng)展開式中，x的系數(shù)為(　　) A．10 B．－10 C．40 D．－40 解析：選D　Tr＋1＝C(2x2)5－rr＝(－1)r·25－r·C

18、·x10－3r， 令10－3r＝1，得r＝3.所以x的系數(shù)為(－1)3·25－3·C＝－40. 2．在(1＋)2－(1＋)4的展開式中，x的系數(shù)等于(　　) A．3 B．－3 C．4 D．－4 解析：選B　因?yàn)?1＋)2的展開式中x的系數(shù)為1，(1＋)4的展開式中x的系數(shù)為C＝4，所以在(1＋)2－(1＋)4的展開式中，x的系數(shù)等于－3. 3．(20xx·全國(guó)高考)(1＋x)8(1＋y)4的展開式中x2y2的系數(shù)是(　　) A．56 B．84 C．112 D．168 解析：選D　(1

19、＋x)8展開式中x2的系數(shù)是C，(1＋y)4的展開式中y2的系數(shù)是C，根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則可得(1＋x)8(1＋y)4展開式中x2y2的系數(shù)為CC＝28×6＝168. 4.5的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為(　　) A．－40 B．－20 C．20 D．40 解析：選D　由題意，令x＝1得展開式各項(xiàng)系數(shù)的和為(1＋a)·(2－1)5＝2，∴a＝1. ∵二項(xiàng)式5的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝C(－1)r·25－r·x5－2r， ∴5展開式中的常數(shù)項(xiàng)為x·C(－1)322·x－1＋·C·(－1)2·23·x＝－40＋80＝40. 5．在(1

20、－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn中，若2a2＋an－3＝0，則自然數(shù)n的值是(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：選B　易知a2＝C，an－3＝(－1)n－3·C＝(－1)n－3C，又2a2＋an－3＝0，所以2C＋(－1)n－3C＝0，將各選項(xiàng)逐一代入檢驗(yàn)可知n＝8滿足上式． 6．設(shè)a∈Z，且0≤a＜13，若512 012＋a能被13整除，則a＝(　　) A．0 B．1 C．11 D．12 解析：選D　512 012＋a＝(13×4－1)2 012＋a，被13整除余1＋a，結(jié)合選項(xiàng)可得a＝12時(shí)，512 012＋a能被13整除． 7

21、．(20xx·杭州模擬)二項(xiàng)式5的展開式中第四項(xiàng)的系數(shù)為________． 解析：由已知可得第四項(xiàng)的系數(shù)為C(－2)3＝－80，注意第四項(xiàng)即r＝3. 答案：－80 8．(20xx·四川高考)二項(xiàng)式(x＋y)5的展開式中，含x2y3的項(xiàng)的系數(shù)是________(用數(shù)字作答)． 解析：由二項(xiàng)式定理得(x＋y)5的展開式中x2y3項(xiàng)為Cx5－3y3＝10x2y3，即x2y3的系數(shù)為10. 答案：10 9．(20xx·浙江高考)設(shè)二項(xiàng)式5的展開式中常數(shù)項(xiàng)為A，則A＝________. 解析：因?yàn)?的通項(xiàng)Tr＋1＝C()5－r·r＝(－1)rCxx－＝(－1)rCx.令15－5r＝0，

22、得r＝3，所以常數(shù)項(xiàng)為(－1)3Cx0＝－10.即A＝－10. 答案：－10 10．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. 解：令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.① 令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.② (1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2. (2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094. (3)(①＋

23、②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093. (4)∵(1－2x)7展開式中a0、a2、a4、a6大于零，而a1、a3、a5、a7小于零， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| ＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7) ＝1 093－(－1 094)＝2 187. 11．若某一等差數(shù)列的首項(xiàng)為C－A，公差為m的展開式中的常數(shù)項(xiàng)，其中m是7777－15除以19的余數(shù)，則此數(shù)列前多少項(xiàng)的和最大？并求出這個(gè)最大值． 解：設(shè)該等差數(shù)列為{an}，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn. 由已知得又n∈N*，∴n＝2， ∴C－A＝C－A＝C－A＝－5×4＝100，∴a1＝

24、100. ∵7777－15＝(76＋1)77－15 ＝7677＋C·7676＋…＋C·76＋1－15 ＝76(7676＋C·7675＋…＋C)－14 ＝76M－14(M∈N*)， ∴7777－15除以19的余數(shù)是5，即m＝5. ∴m的展開式的通項(xiàng)是Tr＋1＝C·5－rr＝(－1)rC5－2rxr－5(r＝0,1,2,3,4,5)， 令r－5＝0，得r＝3，代入上式，得T4＝－4，即d＝－4，從而等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是an＝100＋(n－1)×(－4)＝104－4n. 設(shè)其前k項(xiàng)之和最大，則解得k＝25或k＝26，故此數(shù)列的前25項(xiàng)之和與前26項(xiàng)之和相等且最大， S25＝S26＝

25、×25＝×25＝1 300. 12．從函數(shù)角度看，組合數(shù)C可看成是以r為自變量的函數(shù)f(r)，其定義域是{r|r∈N，r≤n}． (1)證明：f(r)＝f(r－1)； (2)利用(1)的結(jié)論，證明：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，(a＋b)n的展開式中最中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大． 解：(1)證明：∵f(r)＝C＝，f(r－1)＝C＝， ∴f(r－1)＝·＝. 則f(r)＝f(r－1)成立． (2)設(shè)n＝2k，∵f(r)＝f(r－1)，f(r－1)>0，∴＝. 令f(r)≥f(r－1)，則≥1，則r≤k＋(等號(hào)不成立)． ∴當(dāng)r＝1,2，…，k時(shí)，f(r)>f(r－1)成立． 反之，當(dāng)r＝k＋

26、1，k＋2，…，2k時(shí)，f(r)