【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué) 理一輪復(fù)習(xí)配套文檔：第10章 第2節(jié) 排列與組合

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1、 第二節(jié)　排列與組合 【考綱下載】 1．理解排列組合的概念． 2．能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式． 3．能利用排列組合知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題． 1．排列與組合的概念 名稱 定義 排列 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素 按照一定的順序排成一列 組合 合成一組 2．排列數(shù)與組合數(shù)的概念 名稱 定義 排列數(shù) 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同 排列的個(gè)數(shù) 組合數(shù) 組合的個(gè)數(shù) 3.排列數(shù)與組合數(shù)公式 (1)排列數(shù)公式 ①A＝n(n－1)…(n－m＋1)＝； ②A＝n！. (2)組合數(shù)公式 C＝＝＝.

2、 4．組合數(shù)的性質(zhì) (1)C＝C_； (2)C＋C＝C. 1．排列與排列數(shù)有什么區(qū)別？ 提示：排列與排列數(shù)是兩個(gè)不同的概念，排列是一個(gè)具體的排法，不是數(shù)，而排列數(shù)是所有排列的個(gè)數(shù)，是一個(gè)正整數(shù)． 2．如何區(qū)分一個(gè)問題是排列問題還是組合問題？ 提示：看選出的元素與順序是否有關(guān)，若與順序有關(guān)，則是排列問題，若與順序無關(guān)，則是組合問題． 1．將2名教師，4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案的種數(shù)是(　　) A．12 B．10 C．9 D．8 解析：選A　先安排1名教師和2名

3、學(xué)生到甲地，再將剩下的1名教師和2名學(xué)生安排到乙地，共有CC＝12種安排方案． 2．用數(shù)字1,2,3,4,5組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為　　(　　) A．8 B．24 C．48 D．120 解析：選C　先排個(gè)位共有C種方法，再排其余3位．則有A種排法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，所求的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為CA＝48. 3．將字母a，a，b，b，c，c排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法的種數(shù)是(　　) A．12 B．18 C．24 D．36 解析：選A　先排第一列，共有A種方法，再排第二列第

4、一行共有C種方法，第二列第二行，第三列第二行各有1種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有AC×1×1＝12種排列方法． 4．將9個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的盒子，要求每個(gè)盒子中至少有1個(gè)小球，且每個(gè)盒子中的小球個(gè)數(shù)都不同，則共有________種不同放法． 解析：對(duì)這3個(gè)盒子中所放的小球的個(gè)數(shù)情況進(jìn)行分類計(jì)數(shù)：第1類，這3個(gè)盒子中所放的小球的個(gè)數(shù)分別是1,2,6，此類有A＝6種放法；第2類，這3個(gè)盒子中所放的小球的個(gè)數(shù)分別是1,3,5，此類有A＝6種放法；第3類，這3個(gè)盒子中所放的小球的個(gè)數(shù)分別是2,3,4，此類有A＝6種放法．因此共有6＋6＋6＝18種滿足題意的放法． 答案：18 5. 如

5、圖M，N，P，Q為海上四個(gè)小島，現(xiàn)要建造三座橋，將這四個(gè)小島連接起來，則共有________種不同的建橋方法. 解析：M，N，P，Q兩兩之間共有6條線段(橋抽象為線段)，任取3條有C＝20種方法，其中不合題意的有4種方法．則共有20－4＝16種不同的建橋方法． 答案：16 考點(diǎn)一 排 列 問 題 　 [例1]　3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊(duì)，求不同的排隊(duì)方案的方法種數(shù)： (1)選其中5人排成一排； (2)排成前后兩排，前排3人，后排4人； (3)全體站成一排，男、女各站在一起； (4)全體站成一排，男生不能站在一起； (5)全體站成一排，甲不站排頭也不站排尾

6、． [自主解答]　(1)問題即為從7個(gè)元素中選出5個(gè)全排列，有A＝2 520種排法． (2)前排3人，后排4人，相當(dāng)于排成一排，共有A＝5 040種排法． (3)相鄰問題(捆綁法)：男生必須站在一起，是男生的全排列，有A種排法；女生必須站在一起，是女生的全排列，有A種排法；全體男生、女生各視為一個(gè)元素，有A種排法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理， 共有A·A·A＝288種排法． (4)不相鄰問題(插空法)：先安排女生共有A種排法，男生在4個(gè)女生隔成的5個(gè)空中安排共有A種排法，故共有A·A＝1 440種排法． (5)先安排甲，從除去排頭和排尾的5個(gè)位中安排甲，有A＝5種排法；再安排其他人，有A＝

7、720種排法．所以共有A·A＝3 600種排法． 【互動(dòng)探究】 本例中若全體站成一排，男生必須站在一起，有多少種排法？ 解：(捆綁法)即把所有男生視為一個(gè)元素，與4名女生組成5個(gè)元素全排列，故有A·A＝720種排法．　　　　　 【方法規(guī)律】 1．解決排列問題的主要方法 直接法 把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算 捆綁法 相鄰問題捆綁處理，即可以把相鄰元素看成一個(gè)整體參與其他元素排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列 插空法 不相鄰問題插空處理，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空中 除法法 定序問題除法處理的方法，可先不考慮順序限制，排列后再除以

8、定序元素的全排列 2．解決排列類應(yīng)用題的策略 (1)特殊元素(或位置)優(yōu)先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置． (2)分排問題直排法處理． (3)“小集團(tuán)”排列問題中先集中后局部的處理方法． 1．(20xx·遼寧高考)一排9個(gè)座位坐了3個(gè)三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為(　　) A．3×3! B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9! 解析：選C　把一家三口看成一個(gè)排列，然后再排列這3家，所以滿足題意的坐法種數(shù)為A(A)3＝(3！)4. 2．(20xx·南充模擬)將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級(jí)的3個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少1名，最多2名，則不

9、同的分配方案有(　　) A．30種 B．90種 C．180種 D．270種 解析：選B　選分組，再排列．分組方法共有，因此共有·A＝90. 考點(diǎn)二 組 合 問 題 　 　[例2]　(1)若從1,2,3，…，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法的種數(shù)是(　　) A．60 B．63 C．65 D．66 (2)(20xx·重慶高考)從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個(gè)抗震救災(zāi)醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是________(用數(shù)字作答)．

10、 [自主解答]　(1)因?yàn)閺?,2,3，…，9中共有4個(gè)不同的偶數(shù)和5個(gè)不同的奇數(shù)，要使和為偶數(shù)，則4個(gè)數(shù)全為奇數(shù)，或全為偶數(shù)，或2個(gè)奇數(shù)和2個(gè)偶數(shù)，故有C＋C＋CC＝66種不同的取法． (2)按每科選派人數(shù)分為3,1,1和2,2,1兩類． 當(dāng)選派人數(shù)為3,1,1時(shí)，有3類，共有CCC＋CCC＋CCC＝200種選派方法． 當(dāng)選派人數(shù)為2,2,1時(shí)，有3類，共有CCC＋CCC＋CCC＝390種選派方法． 故共有590種選派方法． [答案]　(1)D　(2)590 【方法規(guī)律】 1．解決組合應(yīng)用題的一般思路 首先整體分類，要注意分類時(shí)，不重復(fù)不遺漏，用到分類加法計(jì)數(shù)原理；然后局部分

11、步，用到分步乘法計(jì)數(shù)原理． 2．組合問題的常見題型及解題思路 常見題型有選派問題，抽樣問題，圖形問題，集合問題，分組問題．解答組合應(yīng)用題時(shí)，要在仔細(xì)審題的基礎(chǔ)上，分清問題是否為組合問題，對(duì)較復(fù)雜的組合問題，要搞清是“分類”還是“分步”解決，將復(fù)雜問題通過兩個(gè)原理化歸為簡(jiǎn)單問題． 3．含有附加條件的組合問題的常用方法 通常用直接法或間接法，應(yīng)注意“至少”“最多”“恰好”等詞的含義的理解，對(duì)于涉及“至少”“至多”等詞的組合問題，既可考慮反面情形即間接求解，也可以分類研究進(jìn)行直接求解． 1．某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中選3門．若要求兩類課程中各至少選一門，則不同

12、的選法的種數(shù)為(　　) A．30 B．35 C．42 D．48 解析：選A　法一：分兩種情況：(1)2門A,1門B，有CC＝12種選法；(2)1門A,2門B，有CC＝3×6＝18種選法．所以共有12＋18＝30種選法． 法二：排除法：A類3門，B類4門，共7門，選3門，A，B各至少選1門，有C－C－C＝35－1－4＝30種選法． 2．兩人進(jìn)行乒乓球比賽，先贏3局者獲勝，決出勝負(fù)為止，則所有可能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不同視為不同情形)種數(shù)為(　　) A．10 B．15 C．20 D．30 解析：選C　分三種情況：恰

13、好打3局，有2種情形；恰好打4局(一人前3局中贏2局，輸1局，第4局贏)，共有2C＝6種情形；恰好打5局(一人前4局中贏2局，輸2局，第5局贏)，共有2C＝12種情形．所有可能出現(xiàn)的情形種數(shù)為2＋6＋12＝20. 高頻考點(diǎn) 考點(diǎn)三 排列與組合的綜合應(yīng)用　　 1．排列與組合是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題． 2．高考對(duì)排列與組合綜合應(yīng)用題的考查主要有以下幾個(gè)命題角度： (1)相鄰問題； (2)相間問題； (3)特殊元素(位置)問題； (4)多元問題等． [例3]　(1)(20xx·

14、煙臺(tái)模擬)有4張分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的紅色卡片和4張分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的藍(lán)色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行，如果取出的4張卡片所標(biāo)的數(shù)字之和等于10，則不同的排法共有______種(用數(shù)字作答)． (2)(20xx·西安模擬)某地奧運(yùn)火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動(dòng)分別由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方法共有________種(用數(shù)字作答)． [自主解答]　(1)取出的4張卡片所標(biāo)數(shù)字之和等于10，共有三種情況：1144,2233,1234. 所取卡片是1144的共有A種排法．所取卡

15、片是2233的共有A種排法． 所取卡片是1234，則其中卡片顏色可為無紅色，1張紅色，2張紅色，3張紅色，全是紅色，共有A＋CA＋CA＋CA＋A＝16A種排法， 所以共有18A＝18×4×3×2×1＝432種排法． (2)甲傳第一棒，乙傳最后一棒，共有A種方法． 乙傳第一棒，甲傳最后一棒，共有A種方法． 丙傳第一棒，共有C·A種方法． 由分類加法計(jì)數(shù)原理得，共有A＋A＋C·A＝96種方法． [答案]　(1)432　(2)96 排列與組合綜合問題的常見類型及解題策略 (1)相鄰問題捆綁法．在特定條件下，將幾個(gè)相關(guān)元素視為一個(gè)元素來考慮，待整個(gè)問題排好之后，再考慮它們“內(nèi)部”

16、的排列． (2)相間問題插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它們之間或兩端的空當(dāng)中，它與捆綁法有同等作用． (3)特殊元素(位置)優(yōu)先安排法．優(yōu)先考慮問題中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置． (4)多元問題分類法．將符合條件的排列分為幾類，而每一類的排列數(shù)較易求出，然后根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理求出排列總數(shù)． 1．8名學(xué)生和2位老師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數(shù)為(　　) A．AA B．AC C．AA D．AC 解析：選A　相間問題用插空法，8名學(xué)生先排，有A種排法，產(chǎn)生9個(gè)空，2位老師插空，有A種排法，所以最終有AA種排法． 2．

17、3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)為(　　) A．360 B．288 C．216 D．96 解析：選B　先保證3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則有C·A·A·A種排法，再從中排除甲站兩端的排法，所以所求排法種數(shù)為C·A·A·A－2C·A·A·A＝6×(6×12－24)＝288. 3．將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有________種(用數(shù)字作答)． 解析：選出兩人看成一個(gè)整體，再全排列．共有C·A＝36種分配方案． 答案：36 ——————

18、—————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]——————————— 1個(gè)識(shí)別——排列問題與組合問題的識(shí)別方法 識(shí)別方法 排列 若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題，即排列問題與選取元素順序有關(guān) 組合 若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果沒有影響，則是組合問題，即組合問題與選取元素順序無關(guān) 3個(gè)注意點(diǎn)——求解排列與組合問題的三個(gè)注意點(diǎn) (1)解排列與組合綜合題一般是先選后排，或充分利用元素的性質(zhì)進(jìn)行分類、分步，再利用兩個(gè)原理作最后處理． (2)解受條件限制的組合題，通常用直接法(合理分類)和間接法(排除法)來解決．分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復(fù)或遺漏． (3)對(duì)于選擇題要謹(jǐn)

19、慎處理，注意等價(jià)答案的不同形式，處理這類選擇題可采用排除法分析選項(xiàng)，錯(cuò)誤的答案都有重復(fù)或遺漏的問題． 易誤警示(十二) 排列與組合中的易錯(cuò)問題 [典例]　將6名教師分到3所中學(xué)任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有________種不同的分法． [解題指導(dǎo)]　將6名教師分到3所中學(xué)，相當(dāng)于將6名教師分成3組，相當(dāng)于3個(gè)不同元素． [解析]　將6名教師分組，分三步完成： 第1步，在6名教師中任取1名作為一組，有C種取法； 第2步，在余下的5名教師中任取2名作為一組，有C種取法； 第3步，余下的3名教師作為一組，有C種取法． 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有CCC＝60種取法．

20、 再將這3組教師分配到3所中學(xué)，有A＝6種分法， 故共有60×6＝360種不同的分法． [答案]　360 [名師點(diǎn)評(píng)]　1.如果審題不仔細(xì)，極易認(rèn)為有CCC＝60種分法．因?yàn)楸绢}中并沒有明確指出哪一所學(xué)校1名、2名、3名． 2．解決排列與組合應(yīng)用題應(yīng)重點(diǎn)注意以下幾點(diǎn)： (1)首先要分清楚是排列問題還是組合問題，不能將兩者混淆． (2)在解決問題時(shí)，一定要注意方法的明確性，不能造成重復(fù)計(jì)數(shù)． (3)分類討論時(shí)，要注意分類標(biāo)準(zhǔn)的確定，應(yīng)做到不重不漏． 在小語種提前招生考試中，某學(xué)校獲得5個(gè)推薦名額，其中俄語2名，日語2名，西班牙語1名，并且日語和俄語都要求必須有男生參加．學(xué)校

21、通過選拔定下3男2女共5個(gè)推薦對(duì)象，則不同的推薦方法的種數(shù)為(　　) A．20 B．22 C．24 D．36 解析：選C　3個(gè)男生每個(gè)語種各推薦1個(gè)，共有AA種推薦方法；將3個(gè)男生分為兩組，其中一組2個(gè)人，則共有CAA種推薦方法．所以共有AA＋CAA＝24種不同的推薦方法． [全盤鞏固] 1．(20xx·四川高考)從1,3,5,7,9這五個(gè)數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別記為a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的個(gè)數(shù)是(　　) 　A．9 B．10 C．18 D．20 解析：選C　lg a－lg b＝lg ，從1,3,5,7,9

22、中任取兩個(gè)數(shù)分別記為a，b. 共有A＝20種結(jié)果，其中l(wèi)g＝lg，lg＝lg，故共可得到不同值的個(gè)數(shù)為20－2＝18. 2．某中學(xué)從4名男生和3名女生中推薦4人參加某高校自主招生考試，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同選法的種數(shù)為(　　) A．140 B．120 C．35 D．34 解析：選D　從7人中選4人，共有C＝35種方法． 又4名全是男生，共有C＝1種方法． 故選4人既有男生又有女生的選法種數(shù)為35－1＝34. 3．在某種信息傳輸過程中，用4個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列(數(shù)字允許重復(fù))表示一個(gè)信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0和1，則與信息011

23、0至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為(　　) A．10 B．11 C．12 D．15 解析：選B　用間接法.4個(gè)數(shù)字的所有排列有24個(gè)，3個(gè)位置對(duì)應(yīng)相同的有C＝4個(gè)，4個(gè)位置對(duì)應(yīng)相同的有1個(gè)，故至多有2個(gè)位置對(duì)應(yīng)數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為24－4－1＝11. 4．現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加某志愿者服務(wù)活動(dòng)，每人從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作之一，每項(xiàng)工作至少有一人參加．甲、乙不會(huì)開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是(　　) A．54 B．90 C．126 D．152 解析：選C　

24、由于五個(gè)人從事四項(xiàng)工作，而每項(xiàng)工作至少一人，那么每項(xiàng)工作至多兩人，因?yàn)榧住⒁也粫?huì)開車，所以只能先安排司機(jī)，分兩類：(1)先從丙、丁、戊三人中任選一人開車；再從其余四人中任選兩人作為一個(gè)元素同其他兩人從事其他三項(xiàng)工作，共有CCA種方案．(2)先從丙、丁、戊三人中任選兩人開車；其余三人從事其他三項(xiàng)工作，共有CA種方案．所以，不同安排方案的種數(shù)是CCA＋CA＝126. 5．(20xx·山東高考)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為(　　) A．232 B．252 C．472

25、 D．484 解析：選C　分兩種情況： ①不取紅色卡片，有C－3C或CCC＋CCCC種取法． ②取紅色卡片1張，有CC或C(3C＋CCC)種取法． 所以不同的取法的種數(shù)為C－3C＋CC＝472. 6．(20xx·北京模擬)用5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中恰好有一個(gè)奇數(shù)夾在兩個(gè)偶數(shù)之間的五位數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　) A．120 B．72 C．48 D．36 6 5,7,9 8 解析：選D　如圖所示：從5,7,9三個(gè)奇數(shù)中任選一個(gè)放在6與8之間，可用C種選法，而6與8可以變換位置有A種方法，把6與8之間的一個(gè)奇數(shù)共3個(gè)數(shù)看作一個(gè)整體

26、與剩下的兩個(gè)數(shù)全排列共有A種方法，共有CAA＝36. 7．(20xx·北京高考)將序號(hào)分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號(hào)，那么不同分法的種數(shù)是________． 解析：5張參觀券分成4份，1份2張，另外3份各1張，且2張參觀券連號(hào)，則有4種分法，把這4份參觀券分給4人，則不同的分法種數(shù)是4A＝96. 答案：96 8．(20xx·杭州模擬)從0,1,2,3中任取三個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)是________(用數(shù)字回答)． 解析：0為特殊元素，當(dāng)三位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為0時(shí)，偶數(shù)共有A個(gè)；當(dāng)個(gè)位數(shù)字不為0時(shí)，若為偶

27、數(shù)，個(gè)位數(shù)字只能為2，此時(shí)三位偶數(shù)有2＋A個(gè)，故滿足條件的偶數(shù)共有A＋2＋A＝10個(gè)． 答案：10 9．(20xx·浙江高考)將A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)字母排成一排，且A，B均在C的同側(cè)，則不同的排法共有________種(用數(shù)字作答)． 解析：從左往右看，若C排在第1位，共有A＝120種排法；若C排在第2位，共有A·A＝72種排法；若C排在第3位，則A、B可排C的左側(cè)或右側(cè)，共有A·A＋A·A＝48種排法；若C排在第4,5,6位時(shí)，其排法數(shù)與排在第3,2,1位相同，故共有2×(120＋72＋48)＝480種排法． 答案：480 10．已知10件不同的產(chǎn)品中有4件是次品，現(xiàn)對(duì)它們進(jìn)

28、行一一測(cè)試，直至找出所有次品為止． (1)若恰在第5次測(cè)試，才測(cè)試到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，則這樣的不同測(cè)試方法數(shù)是多少？ (2)若恰在第5次測(cè)試后，就找出了所有次品，則這樣的不同測(cè)試方法數(shù)是多少？ 解：(1)先排前4次測(cè)試，只能取正品，有A種不同測(cè)試方法，再從4件次品中選2件排在第5和第10的位置上測(cè)試，有C·A＝A種測(cè)試方法，再排余下4件的測(cè)試位置，有A種測(cè)試方法．所以共有A·A·A＝103 680種不同的測(cè)試方法． (2)第5次測(cè)試恰為最后一件次品，另3件在前4次中出現(xiàn)，從而前4次有一件正品出現(xiàn)，所以共有A·C·A＝576種不同的測(cè)試方法． 11．將7個(gè)相同的小球

29、放入4個(gè)不同的盒子中． (1)不出現(xiàn)空盒時(shí)的放入方式共有多少種？ (2)可出現(xiàn)空盒時(shí)的放入方式共有多少種？ 解：(1)將7個(gè)相同的小球排成一排，在中間形成的6個(gè)空當(dāng)中插入無區(qū)別的3個(gè)“隔板”將球分成4份，每一種插入隔板的方式對(duì)應(yīng)一種球的放入方式，則共有C＝20種不同的放入方式． (2)每種放入方式對(duì)應(yīng)于將7個(gè)相同的小球與3個(gè)相同的“隔板”進(jìn)行一次排列，即從10個(gè)位置中選3個(gè)位置安排隔板，故共有C＝120種放入方式． 12．用0,1,2,3,4這五個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)滿足下列條件的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？ (1)比21 034大的偶數(shù)； (2)左起第二、四位是奇數(shù)的偶數(shù)． 解：(

30、1)法一：可分五類，當(dāng)末位數(shù)字是0，而首位數(shù)字是2時(shí)，有6個(gè)五位數(shù)； 當(dāng)末位數(shù)字是0，而首位數(shù)字是3或4時(shí)，有AA＝12個(gè)五位數(shù)； 當(dāng)末位數(shù)字是2，而首位數(shù)字是3或4時(shí)，有AA＝12個(gè)五位數(shù)； 當(dāng)末位數(shù)字是4，而首位數(shù)字是2時(shí)，有3個(gè)五位數(shù)； 當(dāng)末位數(shù)字是4，而首位數(shù)字是3時(shí)，有A＝6個(gè)五位數(shù)； 故有39個(gè)滿足條件的五位數(shù)． 法二：不大于21 034的偶數(shù)可分為三類：萬位數(shù)字是1的偶數(shù)，有A·A＝18個(gè)五位數(shù)；萬位數(shù)字是2，而千位數(shù)字是0的偶數(shù)，有A個(gè)五位數(shù)；還有一個(gè)為21 034本身． 而由0,1,2,3,4組成的五位偶數(shù)個(gè)數(shù)有A＋A·A·A＝60個(gè)，故滿足條件的五位偶數(shù)的個(gè)數(shù)

31、為60－18－2－1＝39. (2)法一：可分為兩類： 末位數(shù)是0，個(gè)數(shù)有A·A＝4； 末位數(shù)是2或4，個(gè)數(shù)有A·A＝4； 故共有A·A＋A·A＝8個(gè)滿足條件的五位數(shù)． 法二：第二、四位從奇數(shù)1,3中取，有A個(gè)；首位從2,4中取，有A個(gè)；余下的排在剩下的兩位，有A個(gè)，故共有AAA＝8個(gè)滿足條件的五位數(shù)． [沖擊名校] 1. 如圖，用四種不同顏色給圖中的A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法的種數(shù)為(　　) A．288 B．264 C．240 D．168 解析：選B　按所用顏色分兩類： 第1類

32、，三色涂完．必然兩兩同色，即AC，BE，DF或AF，BD，CE，有2A＝48種涂法． 第2類，四色涂完．A，D，E肯定不同色，有A種涂法，再從B，F(xiàn)，C中選一位置涂第四色有三種． 若所選是B，則F，C共三種涂法，所以有A·C·3＝216種涂法． 故共有48＋216＝264種不同的涂色方法． 2．有限集合P中元素的個(gè)數(shù)記作card(P)．已知card(M)＝10，A?M，B?M，A∩B＝?，且card(A)＝2，card(B)＝3.若集合X滿足A?X?M，則集合X的個(gè)數(shù)是________；若集合Y滿足Y?M，且A?Y，B?Y，則集合Y的個(gè)數(shù)是________(用數(shù)字作答)． 解析：顯然card(M)＝10表示集合M中有10個(gè)元素，card(A)＝2表示集合A中有2個(gè)元素，而A?X?M，所以集合X中可以只含A中的2個(gè)元素，也可以除了A中的2個(gè)元素外，在剩下的8個(gè)元素中任取1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、…、8個(gè)，共有C＋C＋C＋…＋C＝28＝256種情況，即符合要求的集合X有256個(gè)．滿足Y?M的集合Y的個(gè)數(shù)是210，其中不滿足條件A?Y的集合Y的個(gè)數(shù)是28，不滿足條件B?Y的集合Y的個(gè)數(shù)是27，同時(shí)不滿足條件A?Y與B?Y的集合Y的個(gè)數(shù)是25，因此滿足題意的集合Y的個(gè)數(shù)是210－28－27＋25＝672. 答案：256　672