【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學 理一輪復習配套文檔：第1章 第2節(jié)　命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件

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1、 第二節(jié)　命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件 【考綱下載】 1．理解命題的概念． 2．了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系． 3．理解必要條件、充分條件與充要條件的含義． 1．命題的概念 用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題． 2．四種命題及其關(guān)系 (1)四種命題間的相互關(guān)系 (2)四種命題的真假關(guān)系 ①兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性； ②兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關(guān)系． 3．充分條件與必要條件 (1

2、)若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件． (2)若p?q，則p與q互為充要條件． (3)若p?/ q，且q?/ p，則p是q的既不充分也不必要條件． 1．一個命題的否命題與這個命題的否定是同一個命題嗎？ 提示：不是，一個命題的否命題是既否定該命題的條件，又否定該命題的結(jié)論，而這個命題的否定僅是否定它的結(jié)論． 2．“p是q的充分不必要條件”與“p的一個充分不必要條件是q”兩者的說法相同嗎？ 提示：兩者說法不相同．“p的一個充分不必要條件是q”等價于“q是p的充分不必要條件”，顯然這與“p是q的充分不必要條件”是截然不同的． 1．(20xx·福建高考)已知集合A＝{

3、1，a}，B＝{1,2,3}，則“a＝3”是“A?B”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　當a＝3時，A＝{1,3}，A?B；反之，當A?B時，a＝2或3，所以“a＝3”是“A?B”的充分而不必要條件． 2．命題“若x2＞y2，則x＞y”的逆否命題是(　　) A．“若x＜y，則x2＜y2” B．“若x＞y，則x2＞y2” C．“若x≤y，則x2≤y2” D．“若x≥y，則x2≥y2” 解析：選C　根據(jù)原命題和逆否命題的條件和結(jié)論的關(guān)系得命題“若x2＞y2

4、，則x＞y”的逆否命題是“若x≤y，則x2≤y2”． 3．(教材習題改編)命題“如果b2－4ac＞0，則方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有兩個不相等的實根”的否命題、逆命題和逆否命題中，真命題的個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選D　原命題為真，則它的逆否命題為真，逆命題為“若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有兩個不相等的實根，則b2－4ac＞0”，為真命題，則它的否命題也為真． 4．命題“若f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)是奇函數(shù)”的否命題是　　(　　) A．若f(x)是偶函數(shù)，則f(－x)是偶函數(shù) B．若f(x)不是奇函數(shù)

5、，則f(－x)不是奇函數(shù) C．若f(－x)是奇函數(shù)，則f(x)是奇函數(shù) D．若f(－x)不是奇函數(shù)，則f(x)不是奇函數(shù) 解析：選B　原命題的否命題是既否定題設又否定結(jié)論，故“若f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)是奇函數(shù)”的否命題是B選項． 5．下面四個條件中，使a＞b成立的充分而不必要的條件是　　(　　) A．a(chǎn)＞b＋1 B．a(chǎn)＞b－1 C．a(chǎn)2＞b2 D．a(chǎn)3＞b3 解析：選A　由a＞b＋1，且b＋1＞b，得a＞b；反之不成立. 方法博覽(一) 三法破解充要條件問題 1．定義法 定義法就是將充要條件的判斷轉(zhuǎn)化為兩個命題——“若p，則q”與“若q，則p”的判斷

6、，根據(jù)兩個命題是否正確，來確定p與q之間的充要關(guān)系． [典例1]　設0＜x＜，則“xsin2x＜1”是“xsin x＜1”的(　　) A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 [解題指導]　由0＜x＜可知0＜sin x＜1，分別判斷命題“若xsin2x＜1，則xsin x＜1”與“若xsin x＜1，則xsin2x<1”的真假即可． [解析]　因為0

7、等式xsin2x<1兩邊同除以sin x，可得xsin x<，而由01，故xsin x<1不一定成立，即xsin2x<1?/ xsin x<1. 綜上，可知“xsin2x<1”是“xsin x<1”的必要不充分條件． [答案]　C [點評]　判斷p、q之間的關(guān)系，只需判斷兩個命題A：“若p，則q”和B：“若q，則p”的真假． (1)若p?q，則p是q的充分條件； (2)若q?p，則p是q的必要條件； (3)若p?q且q?p，則p是q的充要條件； (4)若p?q且q?/ p，則p是q的充分不必要條件； (5)若p?/ q且q?p，則p是q的必要不充分條件；

8、 (6)若p?/ q且q?/ p，則p是q的既不充分也不必要條件． 2．集合法 集合法就是利用滿足兩個條件的參數(shù)取值所構(gòu)成的集合之間的關(guān)系來判斷充要關(guān)系的方法．主要解決兩個相似的條件難以進行區(qū)分或判斷的問題． [典例2]　若A：log2a<1，B：x的二次方程x2＋(a＋1)x＋a－2＝0的一個根大于零，另一根小于零，則A是B的(　　) A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 [解題指導]　分別求出使A、B成立的參數(shù)a的取值所構(gòu)成的集合M和N，然后通過集合M與N之間的關(guān)系來判斷． [解析]　由log2a<1，

9、解得0

10、q的既不充分也不必要條件 3.等價轉(zhuǎn)化法 等價轉(zhuǎn)化法就是在判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞“否”的有關(guān)條件之間的充要關(guān)系時，根據(jù)原命題與其逆否命題的等價性轉(zhuǎn)化為形式較為簡單的兩個條件之間的關(guān)系進行判斷． [典例3]　已知條件p：≤－1，條件q：x2－x1－a，即a>時，不等式的解為1－a

11、?； 當a<1－a，即a<時，不等式的解為a時，由{x|1－a