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1、
必考解答題——基礎(chǔ)滿分練(二)
統(tǒng)計與概率
(建議用時：45分鐘)
1．一個袋中有4個大小質(zhì)地都相同的小球，其中紅球1個，白球2個，黑球1個，現(xiàn)從袋中有放回地取球，每次隨機(jī)取一個．
(1)求連續(xù)取兩次都是白球的概率；
(2)若取一個紅球記2分，取一個白球記1分，取一個黑球記0分，求連續(xù)取兩次分?jǐn)?shù)之和大于1分的概率．
解 (1)設(shè)2個白球分別為白1、白2，則有放回地連續(xù)取兩次所包含的基本事件有(紅，紅)，(紅，白1)，(紅，白2)，(紅，黑)，(白1，紅)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白1，黑)，(白2，紅)，(白2，白1)，(白2，白2)，(白2，黑)，(黑，紅)，
2、(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)，所以基本事件的總數(shù)為16.
設(shè)事件A為“連續(xù)取兩次都是白球”，則事件A所包含的基本事件有(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，共4種，所以，P(A)＝＝.
(2)法一 由(1)知，連續(xù)取兩次的事件總數(shù)為16，
設(shè)事件B為“連續(xù)取兩次分?jǐn)?shù)之和為0分”．則P(B)＝，
設(shè)事件C為“連續(xù)取兩次分?jǐn)?shù)之和為1分”．
則P(C)＝＝，設(shè)事件D為“連續(xù)取兩次分?jǐn)?shù)之和大于1分”，
則P(D)＝1－P(B)－P(C)＝.
法二 設(shè)事件B為“連續(xù)取兩次分?jǐn)?shù)之和為2分”，則P(B)＝；
設(shè)事件C為“連續(xù)取兩次分?jǐn)?shù)之和為3分”，則P(C
3、)＝；設(shè)事件D為“連續(xù)取兩次分?jǐn)?shù)之和為4分”，則P(D)＝；
設(shè)事件E為“連續(xù)取兩次分?jǐn)?shù)之和大于1分”，
則P(E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝.
2．有編號為A1，A2，…，A10的10個零件，測量其直徑(單位：cm)，得到下面數(shù)據(jù)：
編號
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
直徑
1.51
1.49
1.49
1.51
1.49
1.51
1.47
1.46
1.53
1.47
其中直徑在區(qū)間[1.48,1.52]內(nèi)的零件為一等品．
(1)從上述10個零件中，隨機(jī)抽取1個，求這個零件為一等品的概率．
(2
4、)從一等品零件中，隨機(jī)抽取2個．
①用零件的編號列出所有可能的抽取結(jié)果；
②求這2個零件直徑相等的概率．
解 (1)由所給數(shù)據(jù)可知，一等品零件共有6個．設(shè)“從10個零件中，隨機(jī)抽取1個為一等品”為事件A，則P(A)＝＝.
(2)①一等品零件的編號為A1，A2，A3，A4，A5，A6.從這6個一等品零件中隨機(jī)抽取2個，所有可能的結(jié)果有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共有15種．
5、②“從一等品零件中，隨機(jī)抽取的2個零件直徑相等”(記為事件B)的所有可能結(jié)果有：{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共有6種，所以P (B)＝＝.
3．某工廠甲、乙兩個車間包裝同一種產(chǎn)品，在自動包裝傳送帶上每隔1小時各抽一包產(chǎn)品，稱其質(zhì)量(單位：克)是否合格，分別記錄抽查數(shù)據(jù)，獲得質(zhì)量數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖．
(1)根據(jù)樣品數(shù)據(jù)，計算甲、乙兩個車間產(chǎn)品質(zhì)量的均值與方差，并說明哪個車間的產(chǎn)品的質(zhì)量相對較穩(wěn)定；
(2)若從乙車間6件樣品中隨機(jī)抽取兩件，求所抽取的兩件樣品的質(zhì)量之差不超過2克的概率．
解 (1)甲＝(107＋111＋111
6、＋113＋114＋122)＝113，
乙＝(108＋109＋110＋112＋115＋124)＝113，
s＝[(107－113)2＋(111－113)2＋(111－113)2＋(113－113)2＋(114－113)2＋(122－113)2]＝21，
s＝[ (108－113)2＋(109－113)2＋(110－113)2＋(112－113)2＋(115－113)2＋(124－113)2]＝.
∵甲＝乙，s＜s，
∴甲車間的產(chǎn)品的質(zhì)量相對較穩(wěn)定．
(2)從乙車間6件樣品中隨機(jī)抽取兩件，共有15種不同的取法：(108,109)，(108,110)，(108,112)，(108,115
7、)， (108,124)，(109,110)，(109,112)，(109,115)，(109,124)，(110,112)，(110,115)，(110,124)，(112,115)，(112,124)，(115,124)．
設(shè)A表示隨機(jī)事件“所抽取的兩件樣品的質(zhì)量之差不超過2克”，則A的基本事件有4種：(108,109)，(108,110)，(109,110)，(110,112)．故所求概率為P(A)＝.
4．某校從高一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取40名學(xué)生，將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù))分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如
8、圖的頻率分布直方圖．
(1)求圖中實數(shù)a的值；
(2)若該校高一年級共有學(xué)生640人，試估計該校高一年級期中考試數(shù)學(xué)成績不低于60分的人數(shù)；
(3)若從數(shù)學(xué)成績在[40,50)與[90,100]兩個分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生，求這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不大于10的概率．
解 (1)由于圖中所有小矩形的面積之和等于1，
所以10×(0.005＋0. 01＋0.02＋a＋0.025＋0.01)＝1.
解得a＝0.03.
(2)根據(jù)頻率分布直方圖，成績不低于60分的頻率為
1－10×(0.005＋0.01)＝0.85.
由于該校高一年級共有學(xué)生640人，利用樣本估
9、計總體的思想，可估計該校高一年級數(shù)學(xué)成績不低于60分的人數(shù)約為640×0.85＝544.
(3)成績在[40,50)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.05＝2，分別記為A，B.成績在[90,100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.1＝4，分別記為C，D，E，F(xiàn).若從數(shù)學(xué)成績在[40,50)與[90,100]兩個分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生，則所有的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共15種．
如果兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績都在[40,50)分?jǐn)?shù)段內(nèi)或都在[90,100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)，那么這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值一定不大于10.如果一個成績在[40,50)分?jǐn)?shù)段內(nèi)，另一個成績在[90,100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)，那么這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值一定大于10.
記“這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不大于10”為事件M，則事件M包含的基本事件有(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共7種，
所以所求概率為P(M)＝.
【創(chuàng)新設(shè)計】高考數(shù)學(xué) 北師大版一輪訓(xùn)練：必考解答題基礎(chǔ)滿分練2 統(tǒng)計與概率
