【創(chuàng)新設計】高考數(shù)學 北師大版一輪訓練：第2篇 第12講 導數(shù)的綜合應用

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1、 第12講　導數(shù)的綜合應用 基礎鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、選擇題 1．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)． A．(－1,2)　 B．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C．(－3,6)　 D．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析　∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)， 由已知可得f′(x)＝0有兩個不相等的實根， ∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)＞0， 即a2－3a－18＞0. ∴a＞6或a＜－3. 答案　B 2．已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋ln x是單調(diào)遞增函數(shù)，則m的取值范圍是(　　)

2、． A．(－2，＋∞)　 B．[－2，＋∞) C．(－∞，2)　 D．(－∞，2] 解析　依題意知x＞0時，f′(x)＝， 令g(x)＝2x2＋mx＋1，x∈(0，＋∞)， 當－≤0時，g(0)＝1＞0恒成立，∴m≥0成立， 當－＞0時，則Δ＝m2－8≤0，∴－2≤m＜0， 綜上，m的取值范圍是[－2，＋∞)． 答案　B 3．某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元，已知總營業(yè)收入R與年產(chǎn)量x的年關(guān)系是R＝R(x)＝則總利潤最大時，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品是(　　)． A．100　 B．150　 C．200　 D．300 解析　由題意得，總

3、成本函數(shù)為C＝C(x)＝20 000＋100x， 總利潤P(x)＝ 又P′(x)＝ 令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300時，總利潤P(x)最大． 答案　D 4．若關(guān)于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m對任意x∈[－2,2]恒成立，則m的取值范圍是(　　)． A．(－∞，7]　 B．(－∞，－20] C．(－∞，0]　 D．[－12,7] 解析　令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，則f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，得x＝－1或3(舍去)．∵f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20.∴f(x)的最小值為f(2)＝－20，故m≤－20，可知應選B.

4、 答案　B 5．(20xx·濰坊模擬)已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x<0時，不等式f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝30.3f(30.3)，b＝(logπ3)f(logπ3)，c＝f，則a，b，c間的大小關(guān)系是(　　)． A．a(chǎn)>b>c　 B．c>b>a C．c>a>b　 D．a(chǎn)>c>b 解析　設g(x)＝xf(x)，則g′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0(x<0)，∴當x<0時，g(x)＝xf(x)為減函數(shù)． 又g(x)為偶函數(shù)，∴當x>0時，g(x)為增函數(shù)． ∵1<30.3<2,0g(30.3)>g

5、(logπ3)，即c>a>b. 答案　C 二、填空題 6．要做一個底面為長方形的帶蓋的箱子，其體積為72 cm3，其底面兩鄰邊長之比為1∶2，則它的長為________，寬為________，高為________時，可使表面積最?。? 解析　設底面寬為x cm，則長為2x cm，高為 cm， S＝4x2＋＋＝4x2＋. S′＝8x－＝0，解得x＝3 (cm)． ∴長為6 cm，寬為3 cm，高為4 cm. 答案　6 cm　3 cm　4 cm 7．(20xx·江西九校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)的定義域為[－1,5]，部分對應值如下表： x －1 0 2 4 5 y 1

6、 2 0 2 1 f(x)的導函數(shù)y＝f′(x)的圖像如圖所示． (1)f(x)的極小值為________； (2)若函數(shù)y＝f(x)－a有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析　(1)由y＝f′(x)的圖像可知： x (－1,0) 0 (0,2) 2 (2,4) 4 (4,5) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ 0 － f(x)  極大值  極小值  極大值  ∴f(2)為f(x)的極小值且f(2)＝0. (2)y＝f(x)的大致圖像如圖所示： 若函數(shù)y＝f(x)－a有4個零點，則a的取值范圍

7、是[1,2)． 答案　(1)0　(2)[1,2) 8．(20xx·延安模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax3－3x＋1對x∈(0,1]總有f(x)≥0成立，則實數(shù)a的取值范圍是________ . 解析　當x∈(0,1]時不等式ax3－3x＋1≥0可化為a≥，設g(x)＝，x∈(0,1]， g′(x)＝＝－. g′(x)與g(x)隨x的變化情況如下表： x g′(x) ＋ 0 － g(x)  極大值4  因此g(x)的最大值為4，則實數(shù)a的取值范圍是[4，＋∞)． 答案　[4，＋∞) 三、解答題 9．設函數(shù)f(x)＝x2＋ex－xex. (1)求f

8、(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若當x∈[－2,2]時，不等式f(x)＞m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍． 解　(1)函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，＋∞)， ∵f′(x)＝x＋ex－(ex＋xex)＝x(1－ex)， 若x＜0，則1－ex＞0，所以f′(x)＜0；若x＞0，則1－ex＜0，所以f′(x)＜0； 當x＝0時，f′(x)＝0，∴當x∈(－∞，＋∞)時，f′(x)≤0. ∴f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)， 即f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(－∞，＋∞)． (2)由(1)知，f(x)在[－2,2]上單調(diào)遞減． ∴f(x)min＝f(2)＝2－e2， ∴m＜2－e2時，不等式f(x

9、)＞m恒成立． 故實數(shù)m的取值范圍是(－∞，2－e2)． 10．(20xx·青島一模)設函數(shù)f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋，函數(shù)f(x)的圖像與x軸的交點也在函數(shù)g(x)的圖像上，且在此點有公切線． (1)求a，b的值； (2)試比較f(x)與g(x)的大?。? 解　(1)f(x)＝ln x的圖像與x軸的交點坐標是(1,0)， 依題意，得g(1)＝a＋b＝0，① 又f′(x)＝，g′(x)＝a－， 又f(x)與g(x)在點(1,0)處有公切線， ∴g′(1)＝f′(1)＝1，即a－b＝1，② 由①②得a＝，b＝－. (2)令F(x)＝f(x)－g(x)，則 F(x)

10、＝ln x－＝ln x－x＋(x＞0)， ∴F′(x)＝－－＝－2≤0. ∴F(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，且F(1)＝0， 當0＜x＜1時，F(xiàn)(x)＞F(1)＝0，即f(x)＞g(x)； 當x＝1時，F(xiàn)(x)＝F(1)＝0，即f(x)＝g(x)； 當x＞1時，F(xiàn)(x)＜F(1)＝0，即f(x)＜g(x)． 綜上可知，當0＜x≤1時，即f(x)≥g(x)； 當x＞1時，即f(x)＜g(x)． 能力提升題組 (建議用時：25分鐘) 一、選擇題 1．(20xx·洛陽統(tǒng)考)若函數(shù)f(x)＝2x3－9x2＋12x－a恰好有兩個不同的零點，則a可能的值為(　　)． A．4　 B

11、．6　 C．7　 D．8 解析　由題意得f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)，由f′(x)＞0得x＜1或x＞2，由f′(x)＜0得1＜x＜2，所以函數(shù)f(x)在(－∞，1)，(2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減，從而可知f(x)的極大值和極小值分別為f(1)，f(2)，若欲使函數(shù)f(x)恰好有兩個不同的零點，則需使f(1)＝0或f(2)＝0，解得a＝5或a＝4，而選項中只給出了4，所以選A. 答案　A 2．(20xx·高安中學模擬)已知對任意實數(shù)x，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0時，f′(x)＞0，g′(x)＞0，則x＜0時(　

12、　)． A．f′(x)＞0，g′(x)＞0　 B．f′(x)＞0，g′(x)＜0 C．f′(x)＜0，g′(x)＞0　 D．f′(x)＜0，g′(x)＜0 解析　由題意知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)．當x＞0時，f(x)，g(x)都單調(diào)遞增，則當x＜0時，f(x)單調(diào)遞增，g(x)單調(diào)遞減，即f′(x)＞0，g′(x)＜0. 答案　B 二、填空題 3．(20xx·南昌模擬)設0＜a≤1，函數(shù)f(x)＝x＋，g(x)＝x－ln x，若對任意的x1，x2∈[1，e]，都有f(x1)≥g(x2)成立，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析　f′(x)＝1－＝，當0＜a≤1，

13、且x∈[1，e]時，f′(x)＞0，∴f(x)在[1，e]上是增函數(shù)，f(x1)min＝f(1)＝1＋a2，又g′(x)＝1－(x＞0)，易求g′(x)＞0，∴g(x)在[1，e]上是增函數(shù)，g(x2)max＝g(e)＝e－1.由條件知只需f(x1)min≥g(x2)max.即1＋a2≥e－1.∴a2≥e－2.即≤a≤1. 答案　[，1] 三、解答題 4．已知函數(shù)f(x)＝ax3－(a＋2)x2＋6x－3. (1)當a＞2時，求函數(shù)f(x)的極小值； (2)試討論函數(shù)y＝f(x)的圖像與x軸公共點的個數(shù)． 解　(1)因為f′(x)＝3ax2－3(a＋2)x＋6 ＝3a(x－1)，

14、 所以易求出函數(shù)f(x)的極小值為f(1)＝－. (2)①若a＝0，則f(x)＝－3(x－1)2， 所以f(x)的圖像與x軸只有1個交點； ②若a＜0，函數(shù)f(x)在和(1，＋∞)上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減， 所以f(x)的極大值為f(1)＝－＞0， 極小值為f＝＜0， 所以f(x)的圖像與x軸有3個交點； ③若0＜a＜2，函數(shù)f(x)在(－∞，1)和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減， 所以f(x)的極大值為f(1)＝－＜0， 極小值為f＝＜0， 所以f(x)的圖像與x軸只有1個交點； ④若a＝2，則f′(x)＝6(x－1)2≥0， 所以f(x)的圖像與x軸只有1個交點； ⑤若a＞2，函數(shù)f(x)在和(1，＋∞)上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以f(x)的極大值為 f＝＜0，極小值為f(1)＝－＜0， 所以f(x)的圖像與x軸只有1個交點． 綜上，知若a≥0，f(x)的圖像與x軸只有1個交點； 若a＜0，f(x)的圖像與x軸有3個交點．