【創(chuàng)新設計】高考數(shù)學 北師大版一輪訓練：第2篇 第3講 函數(shù)的奇偶性

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1、 第3講　函數(shù)的奇偶性 基礎鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、選擇題 1．(20xx·渭南模擬)下列函數(shù)中既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(0，＋∞)上單調遞增的函數(shù)是(　　)． A．y＝x3　 B．y＝|x|＋1 C．y＝－x2＋1　 D．y＝2x 解析　因為A是奇函數(shù)，所以不成立．C在(0，＋∞)上單調遞減，不成立，D為非奇非偶函數(shù)，不成立，所以選B. 答案　B 2．(20xx·咸陽二模)若函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)，則a的值為(　　)． A．0　 B．1　 C．2　 D．4 解析　由f(－1)＝－f(1)，得＝， ∴(－1＋a)2＝(1＋a)2解得a＝0

2、. 答案　A 3．(20xx·上饒模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0且a≠1)，若g(2)＝a，則f(2)＝(　　)． A．2　 B．　 C．　 D．a(chǎn)2 解析　依題意知f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)＝a－x－ax＋2，聯(lián)立f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，解得g(x)＝2，f(x)＝ax－a－x，故a＝2，f(2)＝22－2－2＝4－＝. 答案　C 4．(20xx·重慶卷)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bsin x＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，則f(lg(lg 2))＝(　　)．

3、 A．－5　 B．－1　 C．3　 D．4 解析　∵f(x)＝ax3＋bsin x＋4，① ∴f(－x)＝a(－x)3＋bsin(－x)＋4， 即f(－x)＝－ax3－bsin x＋4，② ①＋②得f(x)＋f(－x)＝8，③ 又∵lg(log210)＝lg＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)， ∴f(lg(log210))＝f(－lg(lg 2))＝5， 又由③式知f(－lg(lg 2))＋f(lg(lg 2))＝8， ∴5＋f(lg(lg 2))＝8，∴f(lg(lg 2))＝3. 答案　C 5．函數(shù)f(x)是周期為4的偶函數(shù)，當x∈[0,2]時，f(x)＝x

4、－1，則不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集為(　　)． A．(1,3)　 B．(－1,1) C．(－1,0)∪(1,3)　 D．(－1,0)∪(0,1) 解析　f(x)的圖像如圖． 當x∈(－1,0)時，由xf(x)>0，得x∈(－1,0)； 當x∈(0,1)時，由xf(x)>0，得x∈?； 當x∈(1,3)時，由xf(x)>0，得x∈(1,3)． ∴x∈(－1,0)∪(1,3)，故選C. 答案　C 二、填空題 6．(20xx·臨川二中)f(x)為奇函數(shù)，當x＜0時，f(x)＝log2(1－x)，則f(3)＝________. 解析　f(3)＝－f(－3)＝－

5、log24＝－2. 答案?。? 7．(20xx·青島二模)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x＋2)＝f(x)對任意x∈R成立，當x∈(－1,0)時f(x)＝2x，則f＝________. 解析　因為f(x＋2)＝f(x)，故f＝f＝－f＝1. 答案　1 8．設定義在[－2,2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調遞減，若f(1－m)＜f(m)，則實數(shù)m的取值范圍是________． 解析　∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． ∴不等式f(1－m)＜f(m)?f(|1－m|)＜f(|m|)． 又當x∈[0,2]時，f(x)是減函數(shù)． ∴

6、解得－1≤m＜. 答案　 三、解答題 9．f(x)為R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式． 解　當x＜0時， －x＞0，則 f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1. 由于f(x)是奇函數(shù)，故f(x)＝－f(－x)， 所以當x＜0時，f(x)＝2x2＋3x－1. 因為f(x)為R上的奇函數(shù)，故f(0)＝0. 綜上可得f(x)的解析式為f(x)＝ 10．設f(x)是定義域為R的周期函數(shù)，最小正周期為2，且f(1＋x)＝f(1－x)，當－1≤x≤0時，f(x)＝－x. (1)判定f(x)的奇偶性； (2)試求出函數(shù)

7、f(x)在區(qū)間[－1,2]上的表達式． 解　(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)， ∴f(－x)＝f(2＋x)． 又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)， ∴f(x)是偶函數(shù)． (2)當x∈[0,1]時，－x∈[－1,0]， 則f(x)＝f(－x)＝x； 進而當1≤x≤2時，－1≤x－2≤0， f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2. 故f(x)＝ 能力提升題組 (建議用時：25分鐘) 一、選擇題 1．(20xx·吉安模擬)已知偶函數(shù)f(x)對任意x∈R都有f(x－2)＝－f(x)，且當x∈[－1,0]時f(x)＝2x，則f(2 013)＝(　　)．

8、 A．1　 B．－1　 C．　 D．－ 解析　由f(x－2)＝－f(x)得f(x－4)＝f(x)，所以函數(shù)的周期是4，故f(2 013)＝f(4×503＋1)＝f(1)＝f(－1)＝2－1＝. 答案　C 2．(20xx·榆林模擬)已知函數(shù)f(x＋1)是偶函數(shù)，當1＜x1＜x2時，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＞0恒成立，設a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，則a，b，c的大小關系為(　　)． A．b＜a＜c　 B．c＜b＜a C．b＜c＜a　 D．a(chǎn)＜b＜c 解析　∵f(x＋1)是偶函數(shù)，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)， ∴y＝f(x)關于x＝1對稱．又1＜x1＜x2

9、， [f(x2)－f(x1)](x2－x1)＞0， 知y＝f(x)在[1，＋∞)是增函數(shù)，又f＝f，且2＜＜3，∴f(2)＜f＜f(3)，即b＜a＜c.故選A. 答案　A 二、填空題 3．設函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知當x∈[0,1]時，f(x)＝1－x，則： ①2是函數(shù)f(x)的周期； ②函數(shù)f(x)在(1,2)上遞減，在(2,3)上遞增； ③函數(shù)f(x)的最大值是1，最小值是0； ④當x∈(3,4)時，f(x)＝x－3. 其中所有正確命題的序號是________． 解析　由已知條件：f(x＋2)＝f(x)，則y

10、＝f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，①正確；當－1≤x≤0時0≤－x≤1， f(x)＝f(－x)＝1＋x， 函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖所示： 當3＜x＜4時，－1＜x－4＜0， f(x)＝f(x－4)＝x－3，因此②④正確，③不正確． 答案　①②④ 三、解答題 4．已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在閉區(qū)間[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0. (1)試判斷函數(shù)y＝f(x)的奇偶性； (2)試求方程f(x)＝0在閉區(qū)間[－2 014,2 014]上根的個數(shù)，并證明你的結論． 解　(1)若y＝f(x)為偶函數(shù)，則f(－x

11、)＝f[2－(x＋2)]＝f[2＋(x＋2)]＝f(4＋x)＝f(x)， ∴f(7)＝f(3)＝0，這與f(x)在閉區(qū)間[0,7]上只有f(1)＝f(3)＝0矛盾；因此f(x)不是偶函數(shù)． 若y＝f(x)為奇函數(shù)，則f(0)＝－f(0)， ∴f(0)＝0，這與f(x)在閉區(qū)間[0,7]上只有f(1)＝f(3)＝0矛盾；因此f(x)不是奇函數(shù)． 綜上可知：函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)． (2)由?? f(4－x)＝f(14－x)?f(x)＝f(x＋10)， 從而知函數(shù)y＝f(x)的周期T＝10. 由f(3)＝f(1)＝0，得f(11)＝f(13)＝f(－7)＝f(－9)＝0. 故f(x)在[0,10]和[－10,0]上均有兩個解，從而可知函數(shù)y＝f(x)在[0,2 014]上有404個解，在[－2 014,0]上有402個解，所以函數(shù)y＝f(x)在[－2 014,2 014]上共有806個解．