【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué) 北師大版一輪訓(xùn)練：第2篇 第11講 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

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1、 第11講　導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 . 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、選擇題 1．函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　)． A．(－∞，2)　 B．(0,3) C．(1,4)　 D．(2，＋∞) 解析　f′(x)＝ex(x－2)， 令f′(x)＞0得x＞2. ∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(2，＋∞)． 答案　D 2． (20xx·浙江卷)已知函數(shù)y＝f(x)的圖像是下列四個(gè)圖像之一，且其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖像如右圖所示，則該函數(shù)的圖像是(　　)． 解析　由y＝f′(x)的圖像知，y＝f(x)的圖像為增函數(shù)，且在區(qū)間(－1,0)

2、上增長速度越來越快，而在區(qū)間(0,1)上增長速度越來越慢． 答案　B 3．(20xx·寶雞模擬)函數(shù)y＝xex的最小值是(　　)． A．－1　 B．－e　 C．－　 D．不存在 解析　y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex，令y′＝0，則x＝－1，因?yàn)閤＜－1時(shí)，y′＜0，x＞－1時(shí)，y′＞0，所以x＝－1時(shí)，ymin＝－. 答案　C 4．設(shè)a∈R，若函數(shù)y＝ex＋ax，x∈R有大于零的極值點(diǎn)，則(　　)． A．a(chǎn)＜－1　 B．a(chǎn)＞－1 C．a(chǎn)＞－　 D．a(chǎn)＜－ 解析　∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a. ∵函數(shù)y＝ex＋ax有大于零的極值點(diǎn)， 則方程y′＝ex＋a＝0有大

3、于零的解， ∵x＞0時(shí)，－ex＜－1，∴a＝－ex＜－1. 答案　A 5．(20xx·福建卷)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，x0(x0≠0)是f(x)的極大值點(diǎn)，以下結(jié)論一定正確的是(　　)． A．任意x∈R，f(x)≤f(x0) B．－x0是f(－x)的極小值點(diǎn) C．－x0是－f(x)的極小值點(diǎn) D．－x0是－f(－x)的極小值點(diǎn) 解析　A錯(cuò)，因?yàn)闃O大值未必是最大值；B錯(cuò)，因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝f(－x)的圖像關(guān)于y軸對稱，－x0應(yīng)是f(－x)的極大值點(diǎn)；C錯(cuò)，函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝－f(x)的圖像關(guān)于x軸對稱，x0應(yīng)為－f(x)的極小值點(diǎn)；D正確，函數(shù)y＝f(x)

4、與y＝－f(－x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，－x0應(yīng)為y＝－f(－x)的極小值點(diǎn)． 答案　D 二、填空題 6．(20xx·威海期末考試)函數(shù)y＝ln x－x2的極值點(diǎn)為________． 解析　函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y′＝－2x＝，令y′＝＝0，解得x＝，當(dāng)x＞時(shí)，y′＜0，當(dāng)0＜x＜時(shí)，y′＞0，所以當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)取得極大值，故函數(shù)的極值點(diǎn)為. 答案　 7．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不單調(diào)，則t的取值范圍是________． 解析　由題意知f′(x)＝－x＋4－＝－，由f′(x)＝0得函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為1和3，則只要這兩個(gè)極

5、值點(diǎn)有一個(gè)在區(qū)間(t，t＋1)內(nèi)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上就不單調(diào)，由t<1

6、l：3x－y＋1＝0，若x＝時(shí)，y＝f(x)有極值． (1)求a，b，c的值； (2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值． 解　 (1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 當(dāng)x＝1時(shí)，切線l的斜率為3，可得2a＋b＝0.① 當(dāng)x＝時(shí)，y＝f(x)有極值， 則f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0.② 由①②，解得a＝2，b＝－4. 由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x＝1，所以f(1)＝4. 所以1＋a＋b＋c＝4，所以c＝5. (2)由(1)，可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5， 所以f′(x)＝3x2＋4x－4. 令f′(x)＝0，解得x

7、＝－2或. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表所示： x －3 (－3，－2) －2 1 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 8  13   4 所以y＝f(x)在[－3,1]上的最大值為13，最小值為. 10．(20xx·宜川模擬)已知函數(shù)f(x)＝(ax2＋x－1)ex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R. (1)若a＝1，求曲線f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程； (2)若a＜0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間． 解　(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝(x2＋x－1)ex， 所以f′(x)＝(2x＋1)

8、ex＋(x2＋x－1)ex＝(x2＋3x)ex， 所以曲線f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率為k＝f′(1)＝4e，又因?yàn)閒(1)＝e，所以所求切線方程為y－e＝4e(x－1)，即4ex－y－3e＝0. (2)f′(x)＝(2ax＋1)ex＋(ax2＋x－1)ex ＝[ax2＋(2a＋1)x]ex， ①若－＜a＜0，當(dāng)x＜0或x＞－時(shí)，f′(x)＜0； 當(dāng)0＜x＜－時(shí)，f′(x)＞0. 所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0]，；單調(diào)遞增區(qū)間為. ②若a＝－，f′(x)＝－x2ex≤0，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，＋∞)． ③若a＜－，當(dāng)x＜－或x＞0時(shí)，f′(x

9、)＜0； 當(dāng)－＜x＜0時(shí)，f′(x)＞0. 所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，[0，＋∞)； 單調(diào)遞增區(qū)間為. 能力提升題組 (建議用時(shí)：25分鐘) 一、選擇題 1．函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋a在區(qū)間(－∞，1)上有最小值，則函數(shù)g(x)＝在區(qū)間(1，＋∞)上一定(　　)． A．有最小值　 B．有最大值 C．是減函數(shù)　 D．是增函數(shù) 解析　由函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋a在區(qū)間(－∞，1)上有最小值，可得a<1，又g(x)＝＝x＋－2a，則g′(x)＝1－，易知在x∈(1，＋∞)上g′(x)>0，所以g(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)． 答案　D 2．(20xx·臨沂模

10、擬)若a＞0，b＞0，且函數(shù)f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1處有極值，則ab的最大值等于(　　)． A．2　 B．3　 C．6　 D．9 解析　∵f′(x)＝12x2－2ax－2b， Δ＝4a2＋96b＞0，又x＝1是極值點(diǎn)， ∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，即a＋b＝6， ∴ab≤＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)“＝”成立，所以ab的最大值為9. 答案　D 二、填空題 3．(20xx·寧波調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln x－ax2－bx，若x＝1是f(x)的極大值點(diǎn)，則a的取值范圍為________． 解析　f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)， f′(x)＝－ax－b，由

11、f′(1)＝0，得b＝1－a. ∴f′(x)＝－ax＋a－1＝. ①若a≥0，當(dāng)00，此時(shí)f(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)<0，此時(shí)f(x)單調(diào)遞減； 所以x＝1是f(x)的極大值點(diǎn)． ②若a<0，由f′(x)＝0，得x＝1或－. 因?yàn)閤＝1是f(x)的極大值點(diǎn)，所以－>1， 解得－1－1. 答案　(－1，＋∞) 三、解答題 4．(20xx·黃岡模擬)已知函數(shù)f(x)＝x3－ax＋1. (1)當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得極值，求a 的值； (2)求f(x)在[0,1]上的最小值． 解　因?yàn)閒′(x)＝

12、x2－a， (1)當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得極值，所以f′(1)＝1－a＝0，a＝1， 又當(dāng)x∈(－1,1)時(shí)，f′(x)＜0；x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0， 所以f(x)在x＝1處取得極小值，即a＝1時(shí)符合題意． (2)①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)＞0對x∈(0,1)恒成立， 所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，f(x)在x＝0處取得最小值f(0)＝1. ②當(dāng)a＞0時(shí)，令f′(x)＝x2－a＝0，解得x＝－或. ⅰ.當(dāng)0＜a＜1時(shí)，＜1， 當(dāng)x∈(0，)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減； 當(dāng)x∈(，1)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增， 所以f(x)在x＝處取得最小值f()＝1－. ⅱ.當(dāng)a≥1時(shí)，≥1. x∈(0,1)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減， 所以f(x)在x＝1處取得最小值f(1)＝－a. 綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在x＝0處取得最小值f(0)＝1， 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f(x)在x＝處取得最小值f()＝1－，當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)在x＝1處取得最小值f(1)＝－a.