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1、第八模塊第八模塊 平面解析幾何平面解析幾何( (必修必修2:2:第三章第三章 直線與方程直線與方程; ;第四章第四章 圓與方圓與方程程; ;選修選修1-1:1-1:第二章第二章 圓錐曲線方程圓錐曲線方程) )第三十七講第三十七講 直線的傾斜角直線的傾斜角 斜率及斜率及直線方程直線方程回歸課本回歸課本1.1.直線的傾斜角直線的傾斜角在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中, ,對于與對于與x x軸相交的直線軸相交的直線, ,以以x x軸軸為基準(zhǔn)為基準(zhǔn),x,x軸軸正向與正向與直線向上直線向上的方向所成的角叫做直線的傾斜角的方向所成的角叫做直線的傾斜角, ,當(dāng)直當(dāng)直線線與與x x軸平行或重合軸平行或重合時(shí)時(shí),
2、,規(guī)定它的傾斜角為規(guī)定它的傾斜角為0 0. .因此因此, ,傾斜傾斜角的范圍是角的范圍是00,180,180) ). .2.2.直線的斜率直線的斜率直線傾斜角直線傾斜角的的正切值正切值叫做這條直線的斜率叫做這條直線的斜率, ,即斜率即斜率k=k=tan(90tan(90) ). .設(shè)兩點(diǎn)設(shè)兩點(diǎn)P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2),(x),(x1 1xx2 2),),則過這兩點(diǎn)的斜率則過這兩點(diǎn)的斜率注意注意: :因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng)=90=90時(shí)時(shí),tan,tan不存在不存在, ,所以此時(shí)直線不存在所以此時(shí)直線不存在斜率斜率, ,即與即與x x軸垂直的
3、直線沒有斜率軸垂直的直線沒有斜率, ,在坐標(biāo)關(guān)系上在坐標(biāo)關(guān)系上, ,表現(xiàn)為表現(xiàn)為該直線上任意兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相同該直線上任意兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相同. .但任何直線都有傾斜角但任何直線都有傾斜角, ,且且傾斜角范圍為傾斜角范圍為00,180,180).).2121.yykxx3.3.直線方程的形式直線方程的形式(1)(1)點(diǎn)斜式點(diǎn)斜式: :方程的形式為方程的形式為y-yy-y1 1=k(x-x=k(x-x1 1) ). .不能用點(diǎn)斜式表示的直線為不能用點(diǎn)斜式表示的直線為與與x x軸垂直的直線軸垂直的直線. .(2)(2)兩點(diǎn)式兩點(diǎn)式: :方程的形式為方程的形式為 不能用兩點(diǎn)式表示的直線不能用兩點(diǎn)式表示的直線為
4、為與坐標(biāo)軸垂直的直線與坐標(biāo)軸垂直的直線. .112121,yyxxyyxx(3)(3)斜截式斜截式: :方程的形式為方程的形式為y=kx+by=kx+b, ,不能用斜截式表示的直線為不能用斜截式表示的直線為與與x x軸垂軸垂直的直線直的直線. .(4)(4)截距式截距式: :方程的形式為方程的形式為 不能用截距式表示的直線為不能用截距式表示的直線為與坐與坐標(biāo)軸平行或經(jīng)過原點(diǎn)的直線標(biāo)軸平行或經(jīng)過原點(diǎn)的直線. .1,xyab(5)(5)一般式一般式: :方程的形式為方程的形式為Ax+By+C=0(AAx+By+C=0(A B B不同時(shí)為不同時(shí)為0 0),),它是關(guān)于它是關(guān)于x x、y y的的二元一
5、次方程二元一次方程. .注意注意: :以上幾種直線方程的形式以上幾種直線方程的形式, ,每一種方程形式都有其各每一種方程形式都有其各自成立的條件和適用范圍自成立的條件和適用范圍. .我們用待定系數(shù)法求出方程的我們用待定系數(shù)法求出方程的形式形式, ,還要注意驗(yàn)證不滿足該方程形式的直線是否符合題還要注意驗(yàn)證不滿足該方程形式的直線是否符合題意意, ,若滿足題意若滿足題意, ,還應(yīng)再加上該直線還應(yīng)再加上該直線. .考點(diǎn)陪練考點(diǎn)陪練23. 0,. 0,44.1.(2010)lA 2,1B 1,m(m0,. 0R),l,442ABCD山東淄博 直線 經(jīng)過、兩點(diǎn)那么直線 的傾斜角的取值范圍是（）22:1,k
6、tan ,0,111 20,l.42mkm 解析又所以 的傾斜角的取值范圍為答案答案:D:D2.(20102)2x3my1,m(, 2)2,),_. 福建福州 月設(shè)直線的傾斜角為若則角 的取值范圍是2,2 32,330,.3:tan0tan0tan61.4mmm 解析 據(jù)題意知或或34: 0,6答案3.3.設(shè)直線設(shè)直線ax+by+c=0ax+by+c=0的傾斜角為的傾斜角為,且且sin+cos=0,sin+cos=0,則則a a、b b滿足滿足( )( )A.a+b=1 B.a-b=1A.a+b=1 B.a-b=1C.a+b=0 D.a-b=0C.a+b=0 D.a-b=0解析解析:0:018
7、0180, ,又又sin+cos=0,tan=-1,sin+cos=0,tan=-1,即即 ,a-b=0.,a-b=0.答案答案:D:D1ab 4.4.設(shè)直線設(shè)直線l l與與x x軸的交點(diǎn)是軸的交點(diǎn)是P,P,且傾斜角為且傾斜角為,若將此直線繞點(diǎn)若將此直線繞點(diǎn)P P按時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)按時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)4545, ,得到直線的傾斜角為得到直線的傾斜角為+45+45, ,則則( )( )A.0A.0180180 B.0 B.0135135C.0C.0135135 D.0 D.0135135解析解析: :注意直線傾斜角的取值范圍注意直線傾斜角的取值范圍, ,直線直線l l與與x x軸相交軸相交, ,其傾斜其傾
8、斜角不能為角不能為0 0, ,由由 得得0 0135135. .答案答案:D:D0180 ,045180 ,5.5.過點(diǎn)過點(diǎn)P(1,2)P(1,2)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線的條數(shù)是且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線的條數(shù)是 ( )( )A.1A.1條條 B.2B.2條條C.3C.3條條 D.4D.4條條解析解析: :注意有直線過原點(diǎn)時(shí)截距相等為注意有直線過原點(diǎn)時(shí)截距相等為0 0和不過原點(diǎn)時(shí)傾斜和不過原點(diǎn)時(shí)傾斜角為角為135135兩種情況兩種情況. .答案答案:B:B類型一類型一直線的傾斜角和斜率直線的傾斜角和斜率解題準(zhǔn)備解題準(zhǔn)備: :直線的斜率與傾斜角的關(guān)系直線的斜率與傾斜角的關(guān)系設(shè)直線設(shè)直線l
9、 l的傾斜角為的傾斜角為,斜率為斜率為k.k.(1)0(1)0180180,k(-,+).,k(-,+).(2)(2)當(dāng)當(dāng)=0=0時(shí)時(shí),k=0;,k=0;當(dāng)當(dāng)0 0900.,k0.當(dāng)當(dāng)=90=90時(shí)時(shí),k,k不存在不存在; ;當(dāng)當(dāng)9090180180時(shí)時(shí),k0.,k0.(3)(3)當(dāng)當(dāng)0 09090時(shí)時(shí),k,k隨著隨著的增大而增大且的增大而增大且k0;k0;當(dāng)當(dāng)9090180180時(shí)時(shí),k,k隨著隨著的增大而增大且的增大而增大且k0.k0,b0,a0,b0,則當(dāng)且僅當(dāng)直線則當(dāng)且僅當(dāng)直線l l的斜率為的斜率為 時(shí)時(shí), ,直直線線l l與與x x軸軸,y,y軸的正半軸圍成的軸的正半軸圍成的ABOA
10、BO的面積的面積S S取得最小值取得最小值2ab.2ab.ba錯(cuò)源一忽視了直線斜率的變化隨傾斜角變化的關(guān)系以及直線錯(cuò)源一忽視了直線斜率的變化隨傾斜角變化的關(guān)系以及直線傾斜角為傾斜角為9090時(shí)直線無斜率而致錯(cuò)時(shí)直線無斜率而致錯(cuò)1A 2,1 ,B2,2 ,lAB,lk_15_4,5.P【典例 】已知點(diǎn)若直線 過點(diǎn)且總與線段有交點(diǎn) 則直線 的斜率 的取值范圍是311,.7611 3,.6 7,PAlkPAPBkPBk 錯(cuò)解 如圖所示 由經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式可得 直線的斜率的斜率所以直線 的斜率的取值范圍是 剖析剖析 在直線在直線l l的允許活動范圍內(nèi)的允許活動范圍內(nèi),l,l的傾斜角連續(xù)變化時(shí)的
11、傾斜角連續(xù)變化時(shí), ,直線斜率的變化并不一定連續(xù)直線斜率的變化并不一定連續(xù), ,當(dāng)直線當(dāng)直線l l垂直于垂直于x x軸軸( (即直線即直線l l的傾斜角為的傾斜角為9090) )時(shí)時(shí), ,直線直線l l的斜率不存在的斜率不存在. .出錯(cuò)的原因是出錯(cuò)的原因是忽視了直線斜率的變化與傾斜角變化的關(guān)系忽視了直線斜率的變化與傾斜角變化的關(guān)系, ,忽視直線傾忽視直線傾斜角為斜角為9090時(shí)直線無斜率時(shí)直線無斜率. .lPAPPB,llx,lxl,PB,l311311,.7676PAPBkkkkkk 正解 當(dāng)直線 由位置繞點(diǎn) 轉(zhuǎn)動到位置時(shí) 的斜率逐漸變大直至當(dāng) 垂直于 軸時(shí) 當(dāng)直線 垂直于 軸時(shí) 無斜率再轉(zhuǎn)
12、時(shí)斜率為負(fù)值逐漸變大直到的位置 所以直線 的斜率或 即 或 31176kk或 答案 評析評析 當(dāng)直線的傾斜角當(dāng)直線的傾斜角00,90,90) )時(shí)時(shí), ,隨著隨著的增大的增大, ,直線的斜率直線的斜率k k為非負(fù)值且逐漸變大為非負(fù)值且逐漸變大; ;當(dāng)直線傾斜角當(dāng)直線傾斜角(90(90,180,180) )時(shí)時(shí), ,隨著隨著的增大的增大, ,直線的斜率直線的斜率k k為負(fù)值為負(fù)值且逐漸變大且逐漸變大. .錯(cuò)源二錯(cuò)源二 混淆混淆“截距截距”與與“距離距離”或忽視截距為零或忽視截距為零【典例典例2 2】求過定點(diǎn)求過定點(diǎn)P(2,1)P(2,1)且與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積且與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為
13、為4 4的直線方程的直線方程. .P 2,1 ,a2bab,ab8,1.211,14;22a4,b2.x,82y40.,xyabababababab錯(cuò)解 設(shè)所求的直線方程為因?yàn)橹本€過點(diǎn)所以即又由題意可得即由可得解得故所求直線方程為 剖析剖析 錯(cuò)解誤將直線在錯(cuò)解誤將直線在x x軸和軸和y y軸上的截距作為距離使用軸上的截距作為距離使用. . P 2,1 ,a2bab1.211,1| 4,224212214021221,40.xyabababxyxyxy正解 設(shè)所求的直線方程為因?yàn)橹本€過點(diǎn)所以即直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為由易得所求直線或方程為或 評析評析 截距不是距離截距不是距離, ,直線
14、的橫直線的橫( (縱縱) )截距是指直線與橫截距是指直線與橫( (縱縱) )軸交點(diǎn)的橫軸交點(diǎn)的橫( (縱縱) )坐標(biāo)坐標(biāo). .因?yàn)榻鼐嗍且粋€(gè)點(diǎn)的橫或縱坐標(biāo)因?yàn)榻鼐嗍且粋€(gè)點(diǎn)的橫或縱坐標(biāo), ,所所以截距可正以截距可正 可負(fù)可負(fù), ,也可以為零也可以為零. .如果不說明橫或縱截距如果不說明橫或縱截距, ,只說截距通常是指縱截距只說截距通常是指縱截距. .當(dāng)題目中出現(xiàn)當(dāng)題目中出現(xiàn)“截距相等截距相等” “截距的絕對值相等截距的絕對值相等” “截距互為相反數(shù)截距互為相反數(shù)”,“,“在一坐在一坐標(biāo)軸上的截距是另一坐標(biāo)軸上的截距的標(biāo)軸上的截距是另一坐標(biāo)軸上的截距的m m倍倍(m0)”(m0)”等條件等條件時(shí)時(shí)
15、, ,若采用截距式求直線方程若采用截距式求直線方程, ,都要考慮都要考慮“零截距零截距”的情況的情況. .技法一技法一 巧用斜率求函數(shù)最值巧用斜率求函數(shù)最值,x,ya,b,.ybybxaxa對形如的函數(shù) 在求其最值時(shí) 可以將看成動點(diǎn)與定點(diǎn)所在直線的斜率 先利用條件求得直線斜率的取值范圍 進(jìn)而求得所求函數(shù)的最值21141_.xzx【典例 】函數(shù)的值域?yàn)?2222xy1(y0),x,yxy1(1,1.y0),zx4,y4,1.xyyzx解析 設(shè)則有即點(diǎn)為半圓 上的點(diǎn) 即所以 可看成點(diǎn)與點(diǎn)所在直線的斜率10,.310z,.,3如圖所示 可得斜率的取值范圍為即 的取值范圍為10,3答案技法二技法二 巧
16、用斜率證三點(diǎn)共線巧用斜率證三點(diǎn)共線我們知道我們知道, ,如果三點(diǎn)如果三點(diǎn)A,B,CA,B,C在同一條直線上在同一條直線上, ,那么直線那么直線ABAB的斜的斜率與直線率與直線BCBC的斜率相等的斜率相等. .利用這一特征利用這一特征, ,我們可以借助直線我們可以借助直線的斜率證明三點(diǎn)共線的斜率證明三點(diǎn)共線. .如典例如典例2 2的解法一即是的解法一即是. .【典例典例2 2】已知三點(diǎn)已知三點(diǎn)A(1,-1),B(3,3),C(4,5).A(1,-1),B(3,3),C(4,5).求證求證:A,B,C:A,B,C三點(diǎn)在同一條直線上三點(diǎn)在同一條直線上. . 解解 解法一解法一:A(1,-1),B(3,3),C(4,5),:A(1,-1),B(3,3),C(4,5),kkABAB=2,k=2,kBCBC=2,k=2,kABAB=k=kBCBC, ,故故A,B,CA,B,C三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線. .解法二解法二:A(1,-1),B(3,3),C(4,5),:A(1,-1),B(3,3),C(4,5), |AB|+|BC|=|AC|, |AB|+|BC|=|AC|,即即A,B,CA,B,C三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線. .| 2 5,|5,| 3 5,ABBCAC
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