高考數學總復習(整合考點+典例精析+深化理解)第六章 第四節(jié)基本不等式≤(ab∈R+ )精講課件 文

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1、第四節(jié)第四節(jié) 基本不等式:基本不等式: (a,bR)第六章第六章【例1】若ab1,P ,Q (ln a ln b),Rln ,試比較P,Q,R的大小利用基本不等式比較數(或式)的大小自主解答:解析:ab1,ln aln b0,點評:如果兩個數(式)的關系符合基本不等式的結構形式,則可以用基本不等式比較大小,如果兩個數(式)的關系通過變形可以變成基本不等式的結構形式,則可以用基本不等式比較大小1已知ma (a2),n x22(x0),則m,n之間的大小關系是()Amn Bm2,xn.故選A.答案:A利用基本不等式判定不等式的正誤【例2】給出以下四個不等式:(ab)24ab(a,bR);|a| 4

2、;sin x其中正確的個數是()A0 B1 C2 D3解析:(ab)2a2b22ab2ab2ab4ab,正確錯誤當sin x 時,sin x2,顯然等號取不到,事實上,設tsin x,則t(0,1,yt 在(0,1上為減函數,故當t1時,y取最小值5,錯誤故選B.答案:B點評:利用基本不等式判斷一個不等式的正誤,主要看該不等式是否滿足基本不等式成立的條件 變式探究變式探究2(2012廣東執(zhí)信中學檢測)“ab0”是“ab ”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析:a2b22ab中參數的取值不只是可以取正數均值不等式 才需滿足a0,b0.故選A.答案:A【例3

3、】(1)(2012蚌埠質檢)已知正項等比數列an滿足a7a62a5,若存在兩項am,an使得 ,則的最小值為()A1 B3C9 D不存在利用最值定理求最值(2)(2012佛山一中期中)下列結論正確的是()A當x0且x1時,lg x 2B當x0時, 2C當x2時,x 的最小值為2D當0 x2時,x 無最大值思路點撥:對于(1),根據等比數列所給的等式,找出m,n的關系mn3,將所找的關系與 結合,再用基本不等式求最值,關鍵的一步是對于(2),用基本不等式或函數的單調性對選項進行驗證,可得到結論解析:(1)設等比數列的公比為q,則由a7a62a5得q2q2,解得q2(舍去負值q1),amanaqm

4、n22a,得2mn22.mn3.故選B.(2)對選項A,當0 x1時,lg x0,A錯;對選項B,由基本不等式可知正確;對選項C,當x2時,yx 是增函數,最小值為 C錯;對選項D,當0 x2時,yx 是增函數,有最大值2 ,D錯故選B.答案:(1)B(2)B點評:在使用基本不等式求最值時,一定要注意其中的等號能不能成立,是否符合使用基本不等式的條件如果根據限制條件等號不能成立,則應該通過其他方法解決(如函數、導數等)使用基本不等式求最值,其基本的技巧是變換,通過變換出現兩式之和為常數或者兩式之積為常數,達到使用基本不等式的目的使用基本不等式求最值時,要注意三個條件,即“一正、二定、三相等”變

5、式探究變式探究3(1)設a0,b0.若 是3a與3b的等比中項,則的最小值為_(2)已知x,yR,且滿足 1,則xy的最大值為_解析:(1)由題有()23a3bab1,又a0,b0,(2)因為x0,y0,所以 可化為4x3y12, 所以(4x)(3y) 236(當且僅當4x3y時等號成立),即12xy36,所以xy3.所以xy的最大值為3.答案:(1)4(2)3利用基本不等式證明其他不等式【例4】若x0,y0,xy1,求證: 9.思路點撥:本題要求根據條件求最值,xy為常數,xy可有最大值,如何合理利用條件xy1是解答本題的關鍵,可在要求的式子上乘以(xy),也可通過三角換元轉化為三角問題.

6、點評:利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況,證明思路是從已證不等式和問題的已知條件出發(fā),借助不等式的性質和有關定理,經過逐步的邏輯推理最后轉化為需證問題變式探究4已知a0,b0且ab1.求證: 原不等式成立基本不等式的實際應用【例5】為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元該建筑物每年的能源消耗費用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關系: 若不建隔熱層,每年能源消耗費用為8萬元設f為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和(1)求k的值及f(x)的表達式;(2)隔熱

7、層修建多厚時,總費用f(x)達到最小,并求最小值解析:(1)設隔熱層厚度為x cm,由題設,每年能源消耗費用為C(x) ,再由C(0)8,得k40,因此C(x)而建造費用為C1(x)6x.最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f(x)20C(x)C1(x)20(2)由(1)知f(x) 6x(0 x10),10801070,當且僅當 2(3x5)時,等號成立,即(3x5)2400,3x520,x5或x (舍去)時,上式中的等號成立,即f(x)min70(萬元),當隔熱層修建5 cm厚時,總費用達到最小,最小值為70萬元點評:(1)解實際應用題的基本思路是:設變量時一般把要求的變量定義為

8、函數;根據實際問題抽象出函數的解析式后,只需利用基本不等式求得函數的最值;在求函數的最值時,一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內求解(2)利用基本不等式解決實際問題的關鍵是使用變量表示求解目標,可以建立一個變量的函數關系,也可以建立滿足一定條件的二元函數關系變式探究5.(2013三明模擬)某住宅小區(qū)為了使居民有一個優(yōu)雅、舒適的生活環(huán)境,計劃建一個正八邊形的休閑小區(qū),它的主體造型的平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構成的面積為200 m2的十字型區(qū)域現計劃在正方形MNPQ上建一花壇,造價為4 200 元/m2,在四個相同的矩形上(圖中陰影部分)鋪花崗巖地坪,造價為210 元/m2,再在四個空角上鋪草坪,造價為80 元/m2.(1)設總造價為S元,AD的長為xm,試建立S關于x的函數關系式;(2)計劃至少投入多少元,才能建造這個休閑小區(qū)解析:(1)設DQy,則x24xy200,y S4 200 x22104xy804 y238 0004 000 x2 (0 x10)當且僅當4 000 x2 即x 或x (舍去)時,Smin118 000(元),即計劃至少要投入11.8萬元才能建造這個休閑小區(qū)

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