【高考聚焦】2014屆高三數學(理)一輪復習對點訓練-第25講-三角函數的模型及應用-含解析

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1、 第 25講 三角函數的模型及應用 1.設向量 a＝ (1，sin θ)，b＝ (3sin θ， 1)，且 a∥b，則 cos 2θ等于 ( D ) 1 2 A．－ 3 B．－ 3 2 1 C.3 D. 3 2.函數 y＝ sin x(3sin x＋4cos x)( x∈R )的最大值為 T)為( B ) A ． (5， π) B ．(4， π) π C．( －1,2π) D． (4， 2) π 3.若 0

2、 T，則有序數對  (M， A ． 4x>sin 3x C．4x≥ sin 3x  B ．4x0，所以 f(x)為增函數． π 又 0f(0) ＝ 0， 即 4x－sin 3x>0，所以 4x>sin 3x. 4.(2012 ·南通市教研室全真模擬 )已知電流 I(A) 隨時間 t(s)變化的關系式是 I＝ Asin ωt， t∈ [0，＋∞

3、)，設 ω＝ 100 π， A＝5，則電流 I(A) 首次達到峰值時 t 的值為 ( C ) 1 1 A. 50 B.100 1 1 C.200 D.400 2π ＝ 1 ，則函數 I ＝ Asin ωt，∈[0 ，＋ ∞ )首次達到峰值時 t＝ T＝ 1 解析：易得周期 T＝ 100 π 50 4 200. 5.(2013 ·山東省沖刺預測 )如圖，在臺灣“莫拉克”臺風災區(qū)的搜救現場，一條搜救狗 沿正北方向行進 x m 發(fā)現生命跡象，然后向右轉

4、 105°，行進 10 m 發(fā)現另一生命跡象，這時 它向右轉 135°回到出發(fā)點，那么 x＝ 10 6 m. 3 解析： 因為∠ABC＝ 180°－ 105°＝ 75°，∠BCA＝ 180°－ 135°＝ 45°，∠A＝180°－ 75°－ 45° ＝60°， 所以 x ＝ 10 ，所以 x＝ 10 6 m. sin 45 °sin 60 ° 3 6.(2012 ·長春市第四次調研測 )如圖，測

5、量河對岸的塔高 AB 時，可以選與塔底 B 在同 一水平面內的兩個觀測點 C 與 D，測得∠ BCD ＝ 15°，∠ BDC ＝30°， CD＝ 30 m ，并在 C 測 得塔頂 A 的仰角為 60°，則塔的高度為 15 6 m. 解析： 在△BCD 中，根據正弦定理得， BC＝ CD 30 × sin 30 ＝° 15 2， ·sin ∠CDB＝ sin ∠CBD sin 180 °－ 15°－ 30° 在 Rt△ABC 中， AB＝BC ·tan ∠ACB＝ 15 2× tan 60

6、＝°15 6為所求． 7.(2013 ·無錫市第一次模擬 )如圖，兩座相距 60 m 的建筑物 AB、CD 的高度分別為 20 m、50 m，BD 為水平面，則從建筑物 AB 的頂端 A 看建筑物 CD 的張角∠ CAD 的大小是 45° . 解析： tan ∠ADC＝ tan ∠DAB ＝ BD 60 AB ＝20＝ 3， tan ∠DCA ＝ 60 ＝ 2， 50－ 20 所以 tan ∠DAC＝ tan(π－∠ADC －∠DCA ) tan ∠ADC ＋ tan ∠DCA

7、 ＝－ 1－ tan ∠ADC ·tan ∠DCA 2＋ 3 ＝1， ＝－ 1－ 2×3 而∠ADC ＞45°，∠DCA ＞ 45°，所以 0°<∠DAC <90°， 所以∠DAC＝ 45°. 8.化工廠主控制表盤高 1 m，表盤底邊距地面 2 m，問值班人員坐在什么位置看表盤 看得最清楚？ (設值班人員坐在椅子上時，眼睛距地面 1.2 m) 解析： 如圖，設∠ CAD ＝ β， ∠BAD ＝ α，∠BAC＝φ， CD＝ 2

8、－1.2＝ 0.8， 設 AD ＝ x(x>0) ， 則 tan α＝ BD 1＋ 0.8 1.8 ＝ ＝ ； AD x x CD ＝0.8， tan β＝ AD x 1.8 0.8 x － x 因為 tan φ＝tan(α－ β)＝ 1.8 0.8 1＋ x ·x 1 ≤ 1 1 5 ＝ 1.44 ＝2.4＝ 12. 1.44 x＋ x

9、 2 x·x 1.44 當 x＝ x ，即 x＝1.2 時， tan φ達到最大值， 因為 φ是銳角， 所以 tan φ最大時，視角 φ最大，所以值班人員看表最清楚的位置為 AD＝ 1.2 m，即表 盤前 1.2 m 處． 9.(2012 ·石家莊市質檢 )某城市有一塊不規(guī)則的綠地如圖所示， 城建部門欲在該地上建 造一個底座為三角形的環(huán)境標志，小李、小王設計的底座形狀分別為△ ABC、△ ABD ，經測 量 AD＝ BD ＝ 14，BC＝ 10， AC＝ 16，∠

10、 C＝∠ D. (1) 求 AB 的長度； (2) 若建造環(huán)境標志的費用與用地面積成正比，不考慮其他因素，小李、小王誰的設計使建造費用最低，請說明理由． 解析： (1)在△ABC 中，由余弦定理得 AB2＝AC 2＋ BC2－ 2AC·BCcos C ＝ 162＋ 102－2× 16× 10cos C，① 在△ABD 中，由余弦定理及∠ C＝∠D 整理得 AB2＝AD 2＋ BD 2－2AD ·BD cos D ＝ 142＋ 142－2× 142cos C，② 由①②得： 142＋ 142－ 2×142cos C＝162＋ 102－

11、 2× 16× 10cos C， 1 解得 cos C＝ 2. 又因為∠C 為三角形的內角，所以 C＝ 60°， 又∠C＝∠D， AD ＝BD ，所以△ABD 是等邊三角形， 故 AB＝ 14，即 AB 的長度為 14. (2)小李的設計符合要求，理由如下： △ ＝ 1 △ ＝ 1 S ABD 2AD·BDsin D， S ABC 2AC·BCsin C， 因為 AD ·BD >AC·BC， sin D ＝ sin C， 所以 S△ABD △ABC ， >S 由已知建造費用與用地面積成正比，故選擇△ ABC 建造環(huán)境標志費用較低，即小李的設 計符合要求．