全國(guó)各地高考理科數(shù)學(xué)試題及詳解匯編(二)

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1 2013 全國(guó)各地高考理科數(shù)學(xué)試題及詳解匯編（二） 目 錄 1．四川卷……………………………………………………………………………2 2．湖南卷……………………………………………………………………………26 3．安徽卷……………………………………………………………………………45 4．江西卷……………………………………………………………………………51 4．浙江卷……………………………………………………………………………59 5．江蘇卷……………………………………………………………………………68 6．福建卷……………………………………………………………………………78 7．廣東卷………………………………………………… ………………………87 8．海南卷………………………………………………… ………………………92 2 2013 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（四川卷）數(shù) 學(xué)（理工類(lèi)） 本試題卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題） ．第Ⅰ卷 1 至 2 頁(yè)，第Ⅱ卷 3 至 4 頁(yè)，共 4 頁(yè)．考生作答時(shí)，須將答案答在答題卡上，在本試題卷、草稿紙上大題無(wú) 效．滿(mǎn)分 150 分．考試時(shí)間 120 分鐘．考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡上一并交回． 第Ⅰ卷 （選擇題 共 50 分） 注意事項(xiàng)： 必須使用 2B 鉛筆在答題卡上將所選答案對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑． 一、選擇題：本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只 有一個(gè)是符合題目要求的． 1．設(shè)集合 ，集合 ，則 （ ）{|20}Ax??2{|40}Bx??AB?? （A） （B ） （C） （D）}?,? 2．如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn) 表示復(fù)數(shù) ，則圖中表示 的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)是（ zz ） （A） （B） （C） （D） 3．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是（ ） 4．設(shè) ，集合 是奇數(shù)集，集合 是偶數(shù)集．若命題 ，則（ xZ?AB:,2pxAB?? ） （A） （B）:,2px????? （C） （D）,xB 5．函數(shù) 的部分圖象如圖所示，()sin()0,)2fx???????? 則 的值分別是（ ）,? （A） （B） （C） 23??,64,6?? （D） 4, 6．拋物線(xiàn) 的焦點(diǎn)到雙曲線(xiàn) 的漸近線(xiàn)的距離是（ ）2yx?213yx?? （A） （B） （C） （D）1 3 7．函數(shù) 的圖象大致是（ ） 23xy? yxDBAOC 3 8．從 這五個(gè)數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別為 ，共可得到 的不1,3579 ,ablgab? 同值的個(gè)數(shù)是（ ） （A） （B） （C） （D ）101820 9．節(jié)日 家前的樹(shù)上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，若接通電后的 4 秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈在內(nèi) 4 秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時(shí)通電 后，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過(guò) 2 秒的概率是（ ） （A） （B） （C） （D）14 378 10．設(shè)函數(shù) （ ， 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)） ．若曲線(xiàn) 上存在()xfea???R?esinyx? 使得 ，則 的取值范圍是（ ）0(,xy0y （A） （B） （C） （D）[1]1[,][1,]e?1[,]e?? 第二部分 （非選擇題 共 100 分） 注意事項(xiàng)： 必須使用 0.5 毫米黑色簽字筆在答題卡上題目所指示的答題區(qū)域內(nèi)作答．作圖題可先 用鉛筆繪出，確認(rèn)后再用 0.5 毫米黑色墨跡簽字筆描清楚．答在試題卷上無(wú)效． 二、填空題：本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分． 11．二項(xiàng)式 的展開(kāi)式中，含 的項(xiàng)的系數(shù)是____________． （用數(shù)字作答）()xy?23xy 12．在平行四邊形 中，對(duì)角線(xiàn) 與 交于點(diǎn) ， ，則ABCDABDOABDO??????? ____________．?? 13．設(shè) ， ，則 的值是____________．sin2si??(,)2??tan? 14．已知 是定義域?yàn)?的偶函數(shù)，當(dāng) ≥ 時(shí)， ，那么，不等式()fxRx02()4fx? 的解集是____________．5f?? 15．設(shè) 為平面 內(nèi)的 個(gè)點(diǎn)，在平面 內(nèi)的所有點(diǎn)中，若點(diǎn) 到12,nP? P 點(diǎn)的距離之和最小，則稱(chēng)點(diǎn) 為 點(diǎn)的一個(gè)“中位點(diǎn)” ．例如，線(xiàn)? P12,n? 段 上的任意點(diǎn)都是端點(diǎn) 的中位點(diǎn)．則有下列命題：AB,AB ①若 三個(gè)點(diǎn)共線(xiàn)， 在線(xiàn)段上，則 是 的中位點(diǎn)；,CC,AB ②直角三角形斜邊的點(diǎn)是該直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的中位點(diǎn)； ③若四個(gè)點(diǎn) 共線(xiàn)，則它們的中位點(diǎn)存在且唯一；,D ④梯形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)是該梯形四個(gè)頂點(diǎn)的唯一中位點(diǎn)． 其中的真命題是____________． （寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)） 三、解答題：本大題共 6 小題，共 75 分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟． 16．(本小題滿(mǎn)分 12 分) 在等差數(shù)列 中， ，且 為 和 的等比中項(xiàng)，求{}na218??4a23 數(shù)列 的首項(xiàng)、公差及前 項(xiàng)和．{}na 4 17．(本小題滿(mǎn)分 12 分) 在 中，角 的對(duì)邊分別為 ，且ABC?, ,abc ．2 3cossin()si5ABAB??? （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）若 ， ，求向量 在 方向上的投影．4a?5b?? 18．(本小題滿(mǎn)分 12 分) 某算法的程序框圖如圖所示，其中輸入的變量 在x 這 個(gè)整數(shù)中等可能隨機(jī)產(chǎn)生．1,23,4? （Ⅰ）分別求出按程序框圖正確編程運(yùn)行時(shí)輸出 的值為 的概率 ；yi(1,23)iP? （Ⅱ）甲、乙兩同學(xué)依據(jù)自己對(duì)程序框圖的理解，各自編寫(xiě)程序重復(fù)運(yùn)行 次后，統(tǒng)計(jì)記n 錄了輸出 的值為 的頻數(shù)．以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表的部分?jǐn)?shù)據(jù)．y(1,23)i? 甲的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表（部分） 乙的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表（部分） 當(dāng) 時(shí)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分別寫(xiě)出甲、乙所編程序各自輸出 的值為210n? y 的頻率（用分?jǐn)?shù)表示） ，并判斷兩位同學(xué)中哪一位所編寫(xiě)程序符合算法要求的(,3)i 可能性較大； （Ⅲ）按程序框圖正確編寫(xiě)的程序運(yùn)行 3 次，求輸出 的值為 2 的次數(shù) 的分布列及數(shù)學(xué)y?運(yùn)行次數(shù) n輸出 的值為 的頻數(shù)1輸出 的值為 的頻數(shù) 輸出 的值y為 的頻數(shù)304610… … … …2797運(yùn)行次數(shù) n輸出 的值y為 的頻數(shù)1輸出 的值y為 的頻數(shù)2輸出 的值y為 的頻數(shù)3317… … … …205695 5 期望． 19．(本小題滿(mǎn)分 12 分) 如圖，在三棱柱 中，側(cè)棱 底面 ，1ABC?1A?BC ， ， 分別是線(xiàn)段 的中點(diǎn)， 是線(xiàn)段12ABC?20BA???1,D1,P 的中點(diǎn)．D （Ⅰ）在平面 內(nèi)，試作出過(guò)點(diǎn) 與平面 平行的直線(xiàn) ，說(shuō)明理由，并證明直線(xiàn)Pl 平面 ；l?1 （Ⅱ）設(shè)（Ⅰ）中的直線(xiàn) 交 于點(diǎn) ，交 于點(diǎn) ，求二面角 的余l(xiāng)MACN1AMN? 弦值． 20．(本小題滿(mǎn)分 13 分) 已知橢圓 ： 的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為C 21,(0)xyab??? ，且橢圓 經(jīng)過(guò)點(diǎn) ．12,0)(,F?41(,)3P （Ⅰ）求橢圓 的離心率；C （Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn) 的直線(xiàn) 與橢圓 交于 、 兩點(diǎn)，點(diǎn) 是線(xiàn)段 上的點(diǎn)，且,)AlMNQMN ，求點(diǎn) 的軌跡方程．2221||||QMN??Q 21．(本小題滿(mǎn)分 14 分)已知函數(shù) ，其中 是實(shí)數(shù)．設(shè) 2,0()ln,xaf???????a ， 為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且 ．1,)Axf2(,Bxf 12x （Ⅰ）指出函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；) （Ⅱ）若函數(shù) 的圖象在點(diǎn) 處的切線(xiàn)互相垂直，且 ，求 的最小值；,AB0?21x? （Ⅲ）若函數(shù) 的圖象在點(diǎn) 處的切線(xiàn)重合，求 的取值范圍．(f a D1DC BA 1 B1C1AP 6 10 11 12 13 14 解析 1. 2. 3. 4. 15 5. 6. 16 7. 8. 9. 17 10. 11. 18 12 .1 3 14. 15. 19 16. 20 17. 21 18. 22 19. 23 24 25 20. 26 21 27 28 21. 29 30 2013 年湖南省高考數(shù)學(xué)試卷（理科） 一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把正確答案的代號(hào)填在答題卡上. 1． （5 分）i 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) =（ ） A． 2+i B． 2﹣i C． ﹣1+2i D ． ﹣1﹣2i 2． （5 分）若 M={直線(xiàn)}，N={拋物線(xiàn)}，則 M∩N 的元素個(gè)數(shù)是（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D ． 不能確定 3． （5 分）如圖為一個(gè)幾何體的三視圖，正視圖和側(cè)視圖均為矩形，俯視圖中曲線(xiàn)部分為 半圓，尺寸如圖，則該幾何體的體積為（ ） A． π+2 B． C． 2π+2 D ． 2 4． （5 分）高三某班團(tuán)支部換屆進(jìn)行差額選舉，從已產(chǎn)生的甲、乙、丙、丁四名候選人中 選出三人分別擔(dān)任書(shū)記、組織委員和宣傳委員，并且要求乙是上屆組織委員不能連任原職， 則換屆后不同的任職結(jié)果有（ ） A． 16 種 B． 18 種 C． 20 種 D ． 22 種 5． （5 分）若在區(qū)域 內(nèi)任取一點(diǎn) P，則點(diǎn) P 恰好在單位圓 x2+y2=1 內(nèi)的概率 為（ ） A． B． C． D ． 6． （5 分）設(shè)直線(xiàn) l 的方程為： x+ysinθ﹣2013=0（θ ∈R） ，則直線(xiàn) l 的傾斜角 α的范圍是（ ） A ． [0，π ） B． C． D ． 7． （5 分）下列命題正確的有 ①用相關(guān)指數(shù) R2 來(lái)刻畫(huà)回歸效果越小，說(shuō)明模型的擬合效果越好； ②命題 p：“?x 0∈R，x 02﹣x0﹣1＞0”的否定? p：“ ?x∈R，x 2﹣x﹣1≤0”； 31 ③設(shè)隨機(jī)變量 ξ服從正態(tài)分布 N（0，1） ，若 P（ξ ＞1）=p，則 ； ④回歸直線(xiàn)一定過(guò)樣本中心（ ） ． （ ） A． 1 個(gè) B． 2 個(gè) C． 3 個(gè) D ． 4 個(gè) 8． （5 分）在平面直角坐標(biāo)系中，定義點(diǎn) P（x 1，y 1） 、Q（x 2，y 2）之間的“ 理想距離”為： d（P，Q）=|x 1﹣x2|+|y1﹣y2|；若 C（x，y）到點(diǎn) A（2，3） 、B（8，8）的“理想距離”相等，其 中實(shí)數(shù) x、y 滿(mǎn)足 0≤x≤8、0≤y≤8，則所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn) C 的軌跡的長(zhǎng)度之和是（ ） A． 3+ B． C． 10 D ． 5 二、填空題：本大題共 8 小題，考生作答 7 小題，每小題 0 分，共 35 分，把答案填在答題 卡中對(duì)應(yīng)號(hào)后的橫線(xiàn)上． （一）選做題（請(qǐng)考生在第 9，10，11 三題中任選兩題作答，如果 全做，則按前兩題記分） （二）必做題（12～16 題） 9．計(jì)算 的值等于 _________ ． 10． （5 分）如圖，點(diǎn) A，B，C 是圓 O 上的點(diǎn)，且 ， ，則圓 O 的面積 等于 _________ ． 11． （5 分）若曲線(xiàn) C 的極坐標(biāo)方程為 ρcos2θ=2sinθ，則曲線(xiàn) C 的普通方程為 _________ ． 12． （5 分）看圖程序運(yùn)行后的輸出結(jié)果 s= _________ ． 13． （5 分）已知 α、β 是不同的兩個(gè)平面，直線(xiàn) a?α，直線(xiàn) b?β，命題 p：a 與 b 沒(méi)有公共 點(diǎn)；命題 q：α∥β ，則 p 是 q 的 _________ 條件． 14． （5 分）為了保證信息安全傳輸，有一種稱(chēng)為秘密密鑰密碼系統(tǒng)，其加密、解密原理如 下：明文 密文 密文 明文．現(xiàn)在加密密鑰為 y=loga（x+2） ，如 上所示，明文“6” 通過(guò)加密后得到密文“ 3”，再發(fā)送，接受方通過(guò)解密密鑰解密得到明文 “6”．若接受方接到密文為“4”，則解密后得明文為 _________ ． 32 15． （5 分）已知 a，b，c 成等差數(shù)列，則直線(xiàn) ax﹣by+c=0 被曲線(xiàn) x2+y2﹣2x﹣2y=0 截得的弦長(zhǎng) 的最小值為 _________ ． 16． （5 分）已知 x，y∈N *，且 1+2+3+4+…+y=1+9+92++…+9x﹣1，當(dāng) x=2 時(shí)，y= _________ ；若把 y 表示成 x 的函數(shù)，其解析式是 y= _________ ． 三、解答題：本大題共 6 小題，共 75 分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 17． （12 分）已知 ，設(shè) ω＞0， ， ，若 f（x）圖象中相鄰的兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距 離等于 ． （1）求 ω的值； （2）在△ABC 中，a ，b，c 分別為角 A，B ，C 的對(duì)邊， ．當(dāng) f（A） =1 時(shí)，求 b，c 的值． 18． （12 分）在一次考試中共有 8 道選擇題，每道選擇題都有 4 個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一 個(gè)選項(xiàng)是正確的．某考生有 4 道題已選對(duì)正確答案，其余題中有兩道只能分別判斷 2 個(gè)選 項(xiàng)是錯(cuò)誤的，還有兩道題因不理解題意只好亂猜． （Ⅰ）求該考生 8 道題全答對(duì)的概率； （Ⅱ）若評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：“每題只選一個(gè)選項(xiàng)，選對(duì)得 5 分，不選或選錯(cuò)得 0 分” ，求該考 生所得分?jǐn)?shù)的分布列． 19． （12 分）正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面邊長(zhǎng)是 ，側(cè)棱長(zhǎng)是 3，點(diǎn) E、F 分別在 BB1、DD 1 上，且 AE⊥A1B，AF⊥A 1D． （1）求證：A 1C⊥面 AEF； （2）求截面 AEF 與底面 ABCD 所成二面角 θ的正切值． 20． （13 分）京廣高鐵于 2012 年 12 月 26 日全線(xiàn)開(kāi)通運(yùn)營(yíng)，G808 次列車(chē)在平直的鐵軌上 勻速行駛，由于遇到緊急情況，緊急剎車(chē)時(shí)列車(chē)行駛的路程 S（t） （單位：m ）和時(shí)間 t（單位：s）的關(guān)系為： ． （1）求從開(kāi)始緊急剎車(chē)至列車(chē)完全停止所經(jīng)過(guò)的時(shí)間； （2）求列車(chē)正常行駛的速度； （3）求緊急剎車(chē)后列車(chē)加速度絕對(duì)值的最大值． 21． （13 分）已知拋物線(xiàn)、橢圓和雙曲線(xiàn)都經(jīng)過(guò)點(diǎn) M（1，2） ，它們?cè)?x 軸上有共同焦點(diǎn)， 橢圓和雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)． 33 （1）求這三條曲線(xiàn)的方程； （2）對(duì)于拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn) Q，點(diǎn) P（a ，0）都滿(mǎn)足|PQ| ≥|a|，求 a 的取值范圍． 22． （13 分）已知二次函數(shù) f（x）=x 2﹣ax+a（x∈R）同時(shí)滿(mǎn)足： ①不等式 f（x）≤ 0 的解集有且只有一個(gè)元素； ②在定義域內(nèi)存在 0＜x 1＜x 2，使得不等式 f（x 1）＞f（x 2）成立． 設(shè)數(shù)列{a n}的前 n 項(xiàng)和 Sn=f（n） ， （1）求數(shù)列{a n}的通項(xiàng)公式； （2）數(shù)列{b n}中，令 ，T n= ，求 Tn； （3）設(shè)各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{c n}中，所有滿(mǎn)足 ci?ci+1＜0 的正整數(shù) i 的個(gè)數(shù)稱(chēng)為這個(gè)數(shù)列 {cn}的變號(hào)數(shù)．令 （n 為正整數(shù)） ，求數(shù)列{c n}的變號(hào)數(shù)． 34 2013 年湖南省高考數(shù)學(xué)試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把正確答案的代號(hào)填在答題卡上. 1． （5 分）i 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) =（ ） A． 2+i B． 2﹣i C． ﹣1+2i D ． ﹣1﹣2i 考點(diǎn)： 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．407442 專(zhuān)題： 計(jì)算題． 分析： 要求兩個(gè)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，分子和分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，分子和分母上進(jìn)行 復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，最后結(jié)果要化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)形式． 解答： 解：復(fù)數(shù) = = =2﹣i 故選 B． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是一個(gè)基礎(chǔ)題，這種題目運(yùn)算量不大，解題 應(yīng)用的原理也比較簡(jiǎn)單，是一個(gè)送分題目． 2． （5 分）若 M={直線(xiàn)}，N={拋物線(xiàn)}，則 M∩N 的元素個(gè)數(shù)是（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D ． 不能確定 考點(diǎn)： 函數(shù)的零點(diǎn)．407442 專(zhuān)題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 根據(jù)兩個(gè)集合的意義，兩個(gè)集合的交集的定義，求得 M∩N 的元素個(gè)數(shù)． 解答： 解：由于 M={直線(xiàn)}，表示所有直線(xiàn)構(gòu)成的集合，N={拋物線(xiàn) }，表示所有的拋物線(xiàn) 構(gòu)成的集合， 故 M∩N=?，故 M∩N 的元素個(gè)數(shù)是 0， 故選 A． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查兩個(gè)集合的交集的定義和求法，集合的表示方法，屬于基礎(chǔ)題． 3． （5 分）如圖為一個(gè)幾何體的三視圖，正視圖和側(cè)視圖均為矩形，俯視圖中曲線(xiàn)部分為 半圓，尺寸如圖，則該幾何體的體積為（ ） A． π+2 B． C． 2π+2 D 2 35 ． 考點(diǎn)： 由三視圖求面積、體積．407442 專(zhuān)題： 計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離． 分析： 由三視圖知，幾何體是一個(gè)組合體，包括一個(gè)三棱柱和半個(gè)圓柱，再利用體積公式， 即可得到結(jié)論． 解答： 解：由三視圖知，幾何體是一個(gè)組合體，包括一個(gè)三棱柱和半個(gè)圓柱， 三棱柱的是一個(gè)底面是斜邊為 2 的等腰直角三角形，高是 2，圓柱的底面半徑是 1， 高是 2， 所以該幾何體的體積為 =π+2 故選 A． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查由三視圖還原幾何體的直觀圖，考查幾何體體積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題． 4． （5 分）高三某班團(tuán)支部換屆進(jìn)行差額選舉，從已產(chǎn)生的甲、乙、丙、丁四名候選人中 選出三人分別擔(dān)任書(shū)記、組織委員和宣傳委員，并且要求乙是上屆組織委員不能連任原職， 則換屆后不同的任職結(jié)果有（ ） A． 16 種 B． 18 種 C． 20 種 D ． 22 種 考點(diǎn)： 排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題．407442 專(zhuān)題： 概率與統(tǒng)計(jì)． 分析： 利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理及排列和組合的計(jì)算公式即可得出． 解答： 解：分為以下兩類(lèi)： 一類(lèi)：若選出的 3 人中有乙，還得選出另外 2 人有 ，又乙只能從書(shū)記、宣傳委員 中選出一個(gè)職位，可有 ， 因此，共有 =12 種不同的結(jié)果； 另一類(lèi)：若選出的 3 人中沒(méi)有乙，則可有 =6 種不同的結(jié)果． 綜上共有：12+6=18 種不同的結(jié)果． 故選 B， 點(diǎn)評(píng)： 熟練掌握兩個(gè)計(jì)數(shù)原理及排列和組合的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵． 5． （5 分）若在區(qū)域 內(nèi)任取一點(diǎn) P，則點(diǎn) P 恰好在單位圓 x2+y2=1 內(nèi)的概率 為（ ） A． B． C． D ． 考點(diǎn)： 簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用；幾何概型．407442 專(zhuān)題： 計(jì)算題；不等式的解法及應(yīng)用． 36 分析： 作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的△AB0 及其內(nèi)部．單位圓 x2+y2=1 位于 △AB0 內(nèi)的部分為一個(gè)圓心角為 的扇形，由此結(jié)合幾何概型計(jì)算公式和面積公式， 即可算出所求的概率． 解答： 解：作出不等式組 表示的平面區(qū)域， 得到如圖的△AB0 及其內(nèi)部，其中 A（1，0） ，B（0，1） ，0 為坐標(biāo)原點(diǎn) ∵單位圓 x2+y2=1 位于△AB0 內(nèi)的部分為一個(gè)扇形，其圓心角為 ∴在區(qū)域 內(nèi)任取一點(diǎn) P， 點(diǎn) P 恰好在單位圓 x2+y2=1 內(nèi)的概率為 P= = = 故選：A 點(diǎn)評(píng)： 本題給出不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)，求點(diǎn) P 恰好在單位圓 x2+y2=1 內(nèi)的概 率．著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和幾何概型等知識(shí)，屬于基礎(chǔ) 題． 6． （5 分）設(shè)直線(xiàn) l 的方程為： x+ysinθ﹣2013=0（θ ∈R） ，則直線(xiàn) l 的傾斜角 α的范圍是（ ） A ． [0，π ） B． C． D ． 考點(diǎn)： 直線(xiàn)的一般式方程．407442 專(zhuān)題： 直線(xiàn)與圓． 分析： 當(dāng) sinθ=0 時(shí)，直線(xiàn) l 的斜率不存在，傾斜角 α= ，當(dāng) sinθ≠0 時(shí)，直線(xiàn) l 的斜率 k= 結(jié)合正弦函數(shù)的值域及反比例函數(shù)的性質(zhì)，可以分析出直線(xiàn) l 的斜率 k 的 取值范圍，進(jìn)而得到傾斜角的范圍，綜合討論結(jié)果，可得答案． 解答： 解：當(dāng) sinθ=0 時(shí)，直線(xiàn) l 的方程為：x﹣ 2013=0 此時(shí)傾斜角 α= 當(dāng) sinθ≠0 時(shí)，直線(xiàn) l 的方程為：y= x+2013 37 直線(xiàn) l 的斜率 k= ∈（﹣∞，﹣1]∪ [1，+∞） 直線(xiàn) l 的傾斜角 α∈ 綜上所述：直線(xiàn) l 的傾斜角 α∈ 故選 C 點(diǎn)評(píng)： 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線(xiàn)的方程，直線(xiàn)斜率與傾斜角的關(guān)系，解答時(shí)易忽略直線(xiàn) l 的 斜率不存在，傾斜角 α= ，而錯(cuò)選 D． 7． （5 分）下列命題正確的有 ①用相關(guān)指數(shù) R2 來(lái)刻畫(huà)回歸效果越小，說(shuō)明模型的擬合效果越好； ②命題 p：“?x 0∈R，x 02﹣x0﹣1＞0”的否定? p：“ ?x∈R，x 2﹣x﹣1≤0”； ③設(shè)隨機(jī)變量 ξ服從正態(tài)分布 N（0，1） ，若 P（ξ ＞1）=p，則 ； ④回歸直線(xiàn)一定過(guò)樣本中心（ ） ． （ ） A． 1 個(gè) B． 2 個(gè) C． 3 個(gè) D ． 4 個(gè) 考點(diǎn)： 命題的真假判斷與應(yīng)用；命題的否定；線(xiàn)性回歸方程；正態(tài)分布曲線(xiàn)的特點(diǎn)及曲線(xiàn) 所表示的意義．407442 專(zhuān)題： 證明題． 分析： ①相關(guān)指數(shù)表示擬合效果的好壞，指數(shù)越大，相關(guān)性越強(qiáng)．②存在性命題的否定是 全稱(chēng)命題③正態(tài)分布函數(shù)曲線(xiàn)的特點(diǎn)是：關(guān)于 x=μ對(duì)稱(chēng)，在 x=μ處達(dá)到最大值④ 性回歸方程一定過(guò)樣本中心點(diǎn)，在一組模型中殘差平方和越小，擬合效果越好， 解答： 解：①R 2 越大擬合效果越好，故①不正確， ②由存在性命題的否定是全稱(chēng)命題得② 正確， ③正態(tài)分布函數(shù)曲線(xiàn)的特點(diǎn)是：關(guān)于 x=0 對(duì)稱(chēng)，在 x=0 處達(dá)到最大值，且 p（ξ＜0 ）= ，若 P（ξ＞1） =p 則若 P（ξ＜﹣1）=p 所 以 ．故③正確． ④樣本中心點(diǎn)在直線(xiàn)上，故④ 正確 故選 C． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查衡量?jī)蓚€(gè)變量之間相關(guān)關(guān)系的方法，要想知道兩個(gè)變量之間的有關(guān)或無(wú)關(guān) 的精確的可信程度，只有利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的有關(guān)計(jì)算，才能做出判斷．大于 0.75 時(shí)， 表示兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系． 8． （5 分）在平面直角坐標(biāo)系中，定義點(diǎn) P（x 1，y 1） 、Q（x 2，y 2）之間的“ 理想距離”為： d（P，Q）=|x 1﹣x2|+|y1﹣y2|；若 C（x，y）到點(diǎn) A（2，3） 、B（8，8）的“理想距離”相等，其 中實(shí)數(shù) x、y 滿(mǎn)足 0≤x≤8、0≤y≤8，則所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn) C 的軌跡的長(zhǎng)度之和是（ ） A． 3+ B． C． 10 D ． 5 考點(diǎn)： 兩點(diǎn)間的距離公式．407442 專(zhuān)題： 新定義． 38 分析： 利用新定義對(duì) x、y 分類(lèi)討論即可得出． 解答： 解：∵ d（C，A ）=|x ﹣2|+|y﹣3|，d（C ，B）=|x﹣ 8|+|y﹣8|，d（C，A）=d（C，B） ， ∴|x﹣2|+|y﹣3|=|x﹣8|+|y﹣8|， （*） ∵實(shí)數(shù) x、y 滿(mǎn)足 0≤x≤8、0≤ y≤8，則可以分以下 4 種情況： ①當(dāng) 0≤x＜2， 0≤y≤3 時(shí)， （*）化為 2﹣x+3﹣y=8﹣x+8﹣y，即 11=0，矛盾，此種情況不可 能； ②當(dāng) 0≤x＜2， 3＜y≤8 時(shí)， （*）化為 2﹣x+y﹣3=8﹣x+8﹣y，得到 y= ＞8，此時(shí)矛盾，此 種情況不可能； ③當(dāng) 2≤x≤8，0≤y≤ 3 時(shí)， （*）化為 x﹣2+3﹣y=8﹣x+8﹣y，得到 x= ，此時(shí)滿(mǎn)足條件的點(diǎn) C（x，y）的軌跡的長(zhǎng)度為 3； ④當(dāng) 2≤x≤8，3＜y≤8 時(shí)， （*）化為 x﹣2+y﹣3=8﹣x+8﹣y，得到 x+y=10.5，令 y=8，得 x=2.5，點(diǎn)（2.5，8） ； 令 y=3，得 x=7.5，點(diǎn)（7.5，3） ． 此時(shí)滿(mǎn)足條件的點(diǎn) C（x，y）的軌跡的長(zhǎng)度 = = ． 綜上可知：所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn) C 的軌跡的長(zhǎng)度之和是 3+5 ． 故選 A． 點(diǎn)評(píng)： 正確理解新定義、分類(lèi)討論的思想方法是解題的關(guān)鍵． 二、填空題：本大題共 8 小題，考生作答 7 小題，每小題 0 分，共 35 分，把答案填在答題 卡中對(duì)應(yīng)號(hào)后的橫線(xiàn)上． （一）選做題（請(qǐng)考生在第 9，10，11 三題中任選兩題作答，如果 全做，則按前兩題記分） （二）必做題（12～16 題） 9．計(jì)算 的值等于 2 ． 考點(diǎn)： 定積分．407442 專(zhuān)題： 計(jì)算題． 分析： 根據(jù)定積分的計(jì)算法則進(jìn)行計(jì)算，求出 3x2 的原函數(shù)即可； 解答： 解： = =13﹣（﹣1） 3=2， 故答案為 2． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查定積分的計(jì)算，這是高考新增的知識(shí)點(diǎn)，此題是一道基礎(chǔ)題． 10． （5 分）如圖，點(diǎn) A，B，C 是圓 O 上的點(diǎn)，且 ， ，則圓 O 的面積 等于 4π ． 39 考點(diǎn)： 正弦定理．407442 專(zhuān)題： 計(jì)算題． 分析： 設(shè)圓的半徑為 R，由正弦定理可得， 可求圓的半徑，進(jìn)而可求圓的面 積 解答： 解：設(shè)圓的半徑為 R 由正弦定理可得， ∵ ， ∴2R= ∴R=2，S=4π 故答案為：4π 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題 11． （5 分）若曲線(xiàn) C 的極坐標(biāo)方程為 ρcos2θ=2sinθ，則曲線(xiàn) C 的普通方程為 x 2=2y ． 考點(diǎn)： 簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程．407442 專(zhuān)題： 直線(xiàn)與圓． 分析： 曲線(xiàn)的方程即 ρ2?cos2θ=2ρsinθ，根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)之間的互化公式，求出它的 直角坐標(biāo)方程． 解答： 解：曲線(xiàn) C 的極坐標(biāo)方程為 ρcos2θ=2sinθ，即 ρ2?cos2θ=2ρsinθ，化為直角坐標(biāo)方程 為 x2=2y， 故答案為 x2=2y 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的互化，屬于基礎(chǔ)題． 12． （5 分）看圖程序運(yùn)行后的輸出結(jié)果 s= 21 ． 考點(diǎn)： 偽代碼．407442 專(zhuān)題： 圖表型． 分析： 先讀懂程序的算法，再據(jù)算法規(guī)則依次算出結(jié)果．可以看出這是一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)．依 其特點(diǎn)求解即可． 解答： 解：程序是一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)，步長(zhǎng)是 2，每循環(huán)一次 i 就加進(jìn) 2，初始 i=1， 40 可循環(huán) 4 次，第 4 次進(jìn)入循環(huán)體后 i=9，故 S=9×2+3=21． 故答案為：21． 點(diǎn)評(píng)： 考查算法語(yǔ)言的結(jié)構(gòu)，此類(lèi)題的做法通常是把值代入，根據(jù)其運(yùn)算過(guò)程求出值． 13． （5 分）已知 α、β 是不同的兩個(gè)平面，直線(xiàn) a?α，直線(xiàn) b?β，命題 p：a 與 b 沒(méi)有公共 點(diǎn)；命題 q：α∥β ，則 p 是 q 的 必要不充分 條件． 考點(diǎn)： 必要條件、充分條件與充要條件的判斷．407442 分析： a 與 b 沒(méi)有公共點(diǎn)，則 a 與 b 所在的平面 β可能平行，也可能相交（交點(diǎn)不在直線(xiàn) b 上） ；但 α∥β，則面面平行的性質(zhì)定理，我們易得 a 與 b 平行或異面．結(jié)合充要條件 定義即可得到結(jié)論． 解答： 解：∵ a 與 b 沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，a 與 b 所在的平面 β可能平行，也可能相交（交點(diǎn)不在 直線(xiàn) b 上） ； ∴命題 p：a 與 b 沒(méi)有公共點(diǎn)?命題 q：α ∥β，為假命題； 又∵ α∥β時(shí)，a 與 b 平行或異面，即 a 與 b 沒(méi)有公共點(diǎn) ∴命題 q：α∥β?命題 p：a 與 b 沒(méi)有公共點(diǎn)，為真命題； 故 p 是 q 的必要不充分條件 故答案：必要不充分 點(diǎn)評(píng)： 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是必要條件、充分條件與充要條件的判斷，我們先判斷 p?q 與 q?p 的真假，再根據(jù)充要條件的定義給出結(jié)論． 14． （5 分）為了保證信息安全傳輸，有一種稱(chēng)為秘密密鑰密碼系統(tǒng)，其加密、解密原理如 下：明文 密文 密文 明文．現(xiàn)在加密密鑰為 y=loga（x+2） ，如 上所示，明文“6” 通過(guò)加密后得到密文“ 3”，再發(fā)送，接受方通過(guò)解密密鑰解密得到明文 “6”．若接受方接到密文為“4”，則解密后得明文為 14 ． 考點(diǎn)： 通訊安全中的基本問(wèn)題．407442 專(zhuān)題： 計(jì)算題． 分析： 根據(jù)題意中給出的解密密鑰為 y=loga（x+2） ，及明文“6” 通過(guò)加密后得到密文“ 3”，可 求出底數(shù) a 的值，若接受方接到密文為“4”，不妨解密后得明文為 b，構(gòu)造方程，解 方程即可解答． 解答： 解：∵ 加密密鑰為 y=loga（x+2） ， 由其加密、解密原理可知，當(dāng) x=6 時(shí)，y=3，從而 a=2； 不妨設(shè)接受方接到密文為“4”的“ 明文”為 b，則有 4=log2（ b+2） ，從而有 b=24﹣2=14． 即解密后得明文為 14 故答案為：14． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查新運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)新運(yùn)算的定義，將已知中的數(shù)據(jù)代入進(jìn)行運(yùn) 算，易得最終結(jié)果． 15． （5 分）已知 a，b，c 成等差數(shù)列，則直線(xiàn) ax﹣by+c=0 被曲線(xiàn) x2+y2﹣2x﹣2y=0 截得的弦長(zhǎng) 的最小值為 2 ． 考點(diǎn)： 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系．407442 專(zhuān)題： 計(jì)算題． 41 分析： 利用等差數(shù)列的定義得到 2b=a+c，求出圓心坐標(biāo)及半徑，求出圓心到直線(xiàn)的距離 d，利用勾股定理求出弦長(zhǎng)，求出最小值． 解答： 解：因?yàn)?a，b，c 成等差數(shù)列， 所以 2b=a+c 因?yàn)?x2+y2﹣2x﹣2y=0 表示以（1，1）為圓心，以 為半徑的圓， 則圓心到直線(xiàn)的距離為 d= = 則直線(xiàn) ax﹣by+c=0 被曲線(xiàn) x2+y2﹣2x﹣2y=0 截得的弦長(zhǎng) l= ≥2 所以 0 截得的弦長(zhǎng)的最小值為 2， 故答案為 2． 點(diǎn)評(píng)： 求直線(xiàn)與圓相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題，一般通過(guò)構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出弦長(zhǎng)． 16． （5 分）已知 x，y∈N *，且 1+2+3+4+…+y=1+9+92++…+9x﹣1，當(dāng) x=2 時(shí)，y= 4 ；若把 y 表示成 x 的函數(shù)，其解析式是 y= ． 考點(diǎn)： 等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和；等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和．407442 專(zhuān)題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： 把 x=2 代入已知可得 =10，解之即可；由又求和公式可得 = ，解之可得答案． 解答： 解：由題意可得 x=2 時(shí)，1+2+3+4+…+y=1+9， 故可得 =10，解得 y=4， 又由 1+2+3+4+…+y=1+9+92++…+9x﹣1 可得 = ，即 y（y+1）= ， 故 y= ， 故答案為：4； 點(diǎn)評(píng)： 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，屬中檔題． 三、解答題：本大題共 6 小題，共 75 分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 17． （12 分）已知 ，設(shè) ω＞0， ， ，若 f（x）圖象中相鄰的兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距 離等于 ． 42 （1）求 ω的值； （2）在△ABC 中，a ，b，c 分別為角 A，B ，C 的對(duì)邊， ．當(dāng) f（A） =1 時(shí)，求 b，c 的值． 考點(diǎn)： 余弦定理；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．407442 專(zhuān)題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；解三角形；平面向量及應(yīng)用． 分析： （1）由數(shù)量積的定義和三角函數(shù)的公式可得 f（x）= ，又可得 ，由周期公式可得； （2）由題意可得 ，由余弦定理和面積可得 b，c 的方程組，解之即可． 解答： 解：（1）∵ = = ， 又 ∴ ，解得 ω=1； （2）∵f （A）=1 ，∴ ， 由 0＜A＜π 得 ， 又∵ ∴ 解得 或 點(diǎn)評(píng)： 本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，以及余弦定理的應(yīng)用，屬中檔題． 18． （12 分）在一次考試中共有 8 道選擇題，每道選擇題都有 4 個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一 個(gè)選項(xiàng)是正確的．某考生有 4 道題已選對(duì)正確答案，其余題中有兩道只能分別判斷 2 個(gè)選 項(xiàng)是錯(cuò)誤的，還有兩道題因不理解題意只好亂猜． （Ⅰ）求該考生 8 道題全答對(duì)的概率； （Ⅱ）若評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：“每題只選一個(gè)選項(xiàng)，選對(duì)得 5 分，不選或選錯(cuò)得 0 分” ，求該考 生所得分?jǐn)?shù)的分布列． 考點(diǎn)： 相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；離散型隨機(jī)變量及其分布列．407442 專(zhuān)題： 應(yīng)用題． 分析： （Ⅰ）根據(jù)題意，該考生 8 道題全答對(duì)即另四道題也全答對(duì)，根據(jù)相互獨(dú)立事件概 率的乘法公式，計(jì)算可得答案． （Ⅱ）根據(jù)題意，分析可得，該生答對(duì)題的個(gè)數(shù)可能為 4，5，6，7，8，分別求出其 概率，進(jìn)而可得其分布列． 43 解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，該考生 8 道題全答對(duì)即另四道題也全答對(duì)， 即相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生，故其概率為：P= ． （5 分） （Ⅱ）根據(jù)題意，分析可得，該生答對(duì)題的個(gè)數(shù)可能為 4，5，6，7，8， 其概率分別為： P（ξ=8）= 分布列為： （13 分） 點(diǎn)評(píng)： 本題考查相互獨(dú)立事件概率的乘法公式與隨機(jī)變量的分布列，兩者經(jīng)常一起考查， 平時(shí)要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練． 19． （12 分）正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面邊長(zhǎng)是 ，側(cè)棱長(zhǎng)是 3，點(diǎn) E、F 分別在 BB1、DD 1 上，且 AE⊥A1B，AF⊥A 1D． （1）求證：A 1C⊥面 AEF； （2）求截面 AEF 與底面 ABCD 所成二面角 θ的正切值． 考點(diǎn)： 直線(xiàn)與平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．407442 專(zhuān)題： 計(jì)算題；證明題；空間角． 分析： （1）連接 A1C，證明 AE⊥A1C，AF⊥A 1C，利用直線(xiàn)與平面垂直的判定定理證明 A1C⊥面 AEF； （2）如圖說(shuō)明∠NAO=θ 就是截面 AEF 與底面 ABCD 所成二面角 θ，通過(guò)解三角形， 求出 AC，BE，即可求解 θ的正切值． 解答： 證明：（1）連接 A1C 正四棱柱?CB⊥平面 ABB1A1?CB⊥AE 又∵ AE⊥A1B ∴AE⊥平面 A1BC?AE⊥A1C 同理可得：AF⊥ A1C 44 ∴A1C⊥平面 AEF （2）∵AE⊥ A1B?Rt△ABA1∽R(shí)t△ABE?∠ABA1=∠BEA， 如圖 EF 的中點(diǎn)為 N，AC 的中點(diǎn)為 O，連結(jié) NO，則∠NAO=θ ， 又 底面邊長(zhǎng)是 ，側(cè)棱長(zhǎng)是 3 ∴ ， 得 ，BE=1 同理 DF=1 又 ， ∴ ． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查直線(xiàn)與平面垂直的判定定理，二面角的求法，考查空間想象能力與計(jì)算能 力． 20． （13 分）京廣高鐵于 2012 年 12 月 26 日全線(xiàn)開(kāi)通運(yùn)營(yíng)，G808 次列車(chē)在平直的鐵軌上 勻速行駛，由于遇到緊急情況，緊急剎車(chē)時(shí)列車(chē)行駛的路程 S（t） （單位：m ）和時(shí)間 t（單位：s）的關(guān)系為： ． （1）求從開(kāi)始緊急剎車(chē)至列車(chē)完全停止所經(jīng)過(guò)的時(shí)間； （2）求列車(chē)正常行駛的速度； （3）求緊急剎車(chē)后列車(chē)加速度絕對(duì)值的最大值． 考點(diǎn)： 函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．407442 專(zhuān)題： 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 分析： （1）利用導(dǎo)數(shù)求出列車(chē)的速度關(guān)于 t 的表達(dá)式，令 v（t ） =0 解出即可； （2）利用（1） ，令 t=0，解出即可； （3）因?yàn)榧铀俣?a（t）=V' （ t） ，利用導(dǎo)數(shù)求出即可． 解答： 解：（1）∵緊急剎車(chē)后列車(chē)的速度 V（t ）=S'（t） ， ∴ ， 當(dāng)列車(chē)完全停止時(shí) V（t）=0m/s， ∴t2﹣4t﹣60=0， 解得 t=10 或 t=﹣6（舍去） ． 即從開(kāi)始緊急剎車(chē)至列車(chē)完全停止所經(jīng)過(guò)的時(shí)間為 10s． （2）由（1）知，從開(kāi)始緊急剎車(chē)至列車(chē)完全停止所經(jīng)過(guò)的時(shí)間為 10 s， 45 又由列車(chē)的速度 ∴火車(chē)正常行駛的速度當(dāng) t=0 時(shí)，V （0）=90m/s （3）∵緊急剎車(chē)后列車(chē)運(yùn)行的加速度 a（t ）=V' （t ） ∴ ∵|a（t） |= ∴|a（0）|最大， |a（t）| max=84m/s2 點(diǎn)評(píng)： 熟練掌握 v（t）=s ′（t） ，a（t）=v ′（t）是解題的關(guān)鍵． 21． （13 分）已知拋物線(xiàn)、橢圓和雙曲線(xiàn)都經(jīng)過(guò)點(diǎn) M（1，2） ，它們?cè)?x 軸上有共同焦點(diǎn)， 橢圓和雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)． （1）求這三條曲線(xiàn)的方程； （2）對(duì)于拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn) Q，點(diǎn) P（a ，0）都滿(mǎn)足|PQ| ≥|a|，求 a 的取值范圍． 考點(diǎn)： 圓錐曲線(xiàn)的共同特征；拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)．407442 專(zhuān)題： 計(jì)算題；圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程． 分析： （1）由題意求出平行方程，得到橢圓與雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出橢圓與雙曲線(xiàn)中 a，b，然后求橢圓與雙曲線(xiàn)的方程； （2）設(shè)出拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn) Q 的坐標(biāo)，點(diǎn) P（a ，0）求出|PQ|，利用|PQ| ≥|a|恒成立， 求 a 的取值范圍． 解答： 解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)方程為 y2=2px（p＞0） ， 將 M（1，2）代入方程得 p=2 ∴拋物線(xiàn)方程為：y 2=4x 由題意知橢圓、雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為 F（﹣1，0） 1，F(xiàn) 2（1，0） ， ∴c=1 對(duì)于橢圓， ∴ ， 所以橢圓方程為 對(duì)于雙曲線(xiàn)， ∴ ， 所以雙曲線(xiàn)方程為 （2）設(shè) 由|PQ|≥|a|得 ， t2+16﹣8a≥0，t 2≥8a﹣16 恒成立 則 8a﹣16≤0，a≤ 2 ∴a∈（﹣∞，2] 點(diǎn)評(píng)： 本題考查圓錐曲線(xiàn)的共同特征，三種曲線(xiàn)的求法，兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，考查 46 學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，考查轉(zhuǎn)化思想． 22． （13 分）已知二次函數(shù) f（x）=x 2﹣ax+a（x∈R）同時(shí)滿(mǎn)足： ①不等式 f（x）≤ 0 的解集有且只有一個(gè)元素； ②在定義域內(nèi)存在 0＜x 1＜x 2，使得不等式 f（x 1）＞f（x 2）成立． 設(shè)數(shù)列{a n}的前 n 項(xiàng)和 Sn=f（n） ， （1）求數(shù)列{a n}的通項(xiàng)公式； （2）數(shù)列{b n}中，令 ，T n= ，求 Tn； （3）設(shè)各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{c n}中，所有滿(mǎn)足 ci?ci+1＜0 的正整數(shù) i 的個(gè)數(shù)稱(chēng)為這個(gè)數(shù)列 {cn}的變號(hào)數(shù)．令 （n 為正整數(shù)） ，求數(shù)列{c n}的變號(hào)數(shù)． 考點(diǎn)： 數(shù)列與函數(shù)的綜合．407442 專(zhuān)題： 綜合題；等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： （1）由 f（x）≤0 的解集有且只有一個(gè)元素可知△=a 2﹣4a=0，從而可求得 a 值，又定 義域內(nèi)存在 0＜x 1＜x 2，使得不等式 f（x 1）＞f （x 2）成立，對(duì) a 進(jìn)行檢驗(yàn)取舍，可 確定 a 值，利用 Sn 與 an 的關(guān)系即可求得 an． （2）由（1）求得 bn，根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征利用錯(cuò)位相減法即可求得 Tn； （3）先求出 Cn，判斷 n≥3 時(shí)數(shù)列的單調(diào)性，根據(jù)變號(hào)數(shù)的定義可得 n≥3 時(shí)的變號(hào)數(shù)， 根據(jù) c1=﹣3，c 2=5，c 3=﹣3，可得此處變號(hào)數(shù)，從而可求得數(shù)列{c n}的變號(hào)數(shù)． 解答： 解：（1）∵f （x）≤ 0 的解集有且只有一個(gè)元素， ∴△=a2﹣4a=0?a=0 或 a=4， 當(dāng) a=0 時(shí)，函數(shù) f（x）=x 2 在（0，+∞）上遞增， 故不存在 0＜x 1＜x 2，使得不等式 f（x 1）＞f （x 2）成立， 當(dāng) a=4 時(shí)，函數(shù) f（x）=x 2﹣4x+4 在（0，2）上遞減， 故存在 0＜x 1＜x 2，使得不等式 f（x 1）＞f （x 2）成立． 綜上，得 a=4，f（x）=x 2﹣4x+4， ∴ ， ∴ ； （2）∵ = ， ∴bn=n， ，① ，② ①﹣②得，﹣T n=2+22+…+2n﹣n?2n+1= ﹣n?2n+1， ∴ ； 47 （3）由題設(shè) ∵n≥3 時(shí)， ， ∴n≥3 時(shí)，數(shù)列{c n}遞增， ∵ ，由 ， 可知 a4?a5＜0，即 n≥3 時(shí)，有且只有 1 個(gè)變號(hào)數(shù)； 又∵ c1=﹣3，c 2=5，c 3=﹣3， 即 c1?c2＜0，c 2?c3＜0， ∴此處變號(hào)數(shù)有 2 個(gè)． 綜上得 數(shù)列{c n}共有 3 個(gè)變號(hào)數(shù)，即變號(hào)數(shù)為 3； 點(diǎn)評(píng)： 本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力， 考查學(xué)生解決新問(wèn)題的能力，綜合性強(qiáng)，難度大，對(duì)能力要求高． 2013 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（安徽卷） 數(shù)學(xué)（理科） 本試卷分第Ⅰ卷和第 II 卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷第 1 至第 2 頁(yè)，第 II 卷第 3 至第 4 頁(yè)。全卷滿(mǎn)分 150 分，考試時(shí)間為 120 分鐘。 參考公式： 如果事件 A 與 B 互斥，那么()()PP?? 如果事件 A 與 B 相互獨(dú)立，那么 第Ⅰ卷（選擇題 共 50 分） 48 一．選擇題：本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只 有一項(xiàng)是符合題目要求的。 （1） 設(shè) 是虛數(shù)單位， 是復(fù)數(shù) 的共軛復(fù)數(shù)，若 ，則 =i_z|()0Ixf?+2ziA （A） （B）+1i? （C） （D）1?- （2） 如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結(jié)果是 （A） （B）6254 （C） （D）341 版權(quán)所有：高考資源網(wǎng)( ) （3）在下列命題中，不是公理的是 （A）平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行 （B）過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面 （C）如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)上 所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi) （D）如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)， 那么他們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn) （4） “是函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞增”的“0a?()=-1fxa(0,+)? （A） 充分不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件 （5）某班級(jí)有 50 名學(xué)生，其中有 30 名男生和 20 名女生，隨機(jī)詢(xún)問(wèn)了該班五名男生和五 名女生在某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)，五名男生的成績(jī)分別為 86,94,88,92,90，五名女生的成績(jī) 分別為 88,93,93,88,93.下列說(shuō)法一定正確的是 （A）這種抽樣方法是一種分層抽樣 （B）這種抽樣方法是一種系統(tǒng)抽樣 （C）這五名男生成績(jī)的方差大于這五名女生成績(jī)的方差 （D）該班級(jí)男生成績(jī)的平均數(shù)小于該班女生成績(jī)的平均數(shù) （6）已知一元二次不等式 的解集為 ，則 的解集為()xf （A） （B）??|lg2x或 |-1lg （C） （D ） （7）在極坐標(biāo)系中，圓 的垂直于極軸的兩條切線(xiàn)方程分別為=cosp? （A） （B）=0()R???和 =()cos=22R???和 （C） （D）s12?和 01和 （8）函數(shù) 的圖像如圖所示，在區(qū)間 上可找到()yfx??,ab()n? 49 個(gè)不同的數(shù) 使得 則 的取值范圍是12,.,nx12()()=,nfxfxf （A） （B）??34??,34 （C） （D）,5 （9）在平面直角坐標(biāo)系中， 是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn) 滿(mǎn)足 則o,AB2,OAB?????? 點(diǎn)集 所表示的區(qū)域的面積是,1,|POAR???????????? （A） （B ）223 （C） （D）44 （10）若函數(shù) 有極值點(diǎn) ， ，且 ，則關(guān)于 的方程3()=+bfxc1x21()=fxx 的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是213()0f （A）3 （B）4 （C） 5 （D）6 第Ⅱ卷（非選擇題 共 100 分） 考生注意事項(xiàng)： 請(qǐng)用 0.5 毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效。 二.填空題：本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分。把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。 （11）若 的展開(kāi)式中 的系數(shù)為 7，則實(shí)數(shù) _________。 83ax???????4xa? （12）設(shè) 的內(nèi)角 所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為 。若 ，則ABC?, ,bc2a? 則角 _________.3sin5i,?? （13）已知直線(xiàn) 交拋物線(xiàn) 于 兩點(diǎn)。若該拋物線(xiàn)上存在點(diǎn) ，使得ya2yx,ABC 為直角，則 的取值范圍為_(kāi)__________。? （14）如圖，互不相同的點(diǎn) 和 分別在角 O 的兩條邊上，12,nX? ? 12,n? ? 所有 相互平行，且所有梯形 的面積均相等。設(shè) 若nAB? .nAa? 則數(shù)列 的通項(xiàng)公式是____________。12,,a???na （15）如圖，正方體 的棱長(zhǎng)為 1，P 為 BC1CDAB? 的中點(diǎn)，Q 為線(xiàn)段 上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) A,P,Q 的平面截該正方1 體所得的截面記為 S。則下列命題正確的是_________（寫(xiě)出所 有正確命題的編號(hào)） 。 ①當(dāng) 時(shí)，S 為四邊形02? ②當(dāng) 時(shí)，S 為等腰梯形1C? ③當(dāng) 時(shí)，S 與 的交點(diǎn) R 滿(mǎn)足34Q1D13C? ④當(dāng) 時(shí)，S 為六邊形? ⑤當(dāng) 時(shí)，S 的面積為C?62 三.解答題：本大題共 6 小題，共 75 分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。解 答寫(xiě)在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)。 50 （16） （本小題滿(mǎn)分 12 分） 已知函數(shù) 的最小正周期為 。()4cosin(0)4fxx????????????? （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）討論 在區(qū)間 上的單調(diào)性。f??0,2 （17） （本小題滿(mǎn)分 12 分） 設(shè)函數(shù) ，其中 ，區(qū)間()(1)xax???0a?|()0Ixf? （Ⅰ）求的長(zhǎng)度（注：區(qū)間 的長(zhǎng)度定義為 ） ；,????? （Ⅱ）給定常數(shù) ，當(dāng)時(shí)，求 長(zhǎng)度的最小值。0,k?l （18） （本小題滿(mǎn)分 12 分） 設(shè)橢圓 的焦點(diǎn)在 軸上 22:1xyEa???x （Ⅰ）若橢圓 的焦距為 1，求橢圓 的方程；E （Ⅱ）設(shè) 分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)， 為橢圓 上的第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線(xiàn) 交1,FP2FP 軸與點(diǎn) ，并且 ，證明：當(dāng) 變化時(shí)，點(diǎn) 在某定直線(xiàn)上。yQP?ap （19） （本小題滿(mǎn)分 13 分） 如圖，圓錐頂點(diǎn)為 。底面圓心為 ，其母線(xiàn)與底面所成的角為 22.5°。 和 是底poABCD 面圓 上的兩條平行的弦，軸 與平面 所成的角為 60°，OOCD （Ⅰ）證明：平面 與平面 的交線(xiàn)平行于底面；PABCD （Ⅱ）求 。cosO? （20） （本小題滿(mǎn)分 13 分） 設(shè)函數(shù) ，證明： 22()1(,)3nnnxxfxRN?????? （Ⅰ）對(duì)每個(gè) ，存在唯一的 ，滿(mǎn)足 ；nN?[1]n(0nfx? （Ⅱ）對(duì)任意 ，由（Ⅰ）中 構(gòu)成的數(shù)列 滿(mǎn)足 。px??1np??? （21） （本小題滿(mǎn)分 13 分） 某高校數(shù)學(xué)系計(jì)劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測(cè)試活動(dòng)，分別由李老師和張 老師負(fù)責(zé)，已知該系共有 位學(xué)生，每次活動(dòng)均需該系 位學(xué)生參加（ 和 都是固定的nkk 正整數(shù)） 。假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動(dòng)通知的信息獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給該系 位學(xué)生， 且所發(fā)信息都能收到。記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的學(xué)生人數(shù)為 x （Ⅰ）求該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的概率； （Ⅱ）求使 取得最大值的整數(shù) 。()PXm?m 51 52 53 54 絕密★啟用前 2013 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(江西卷) 數(shù)學(xué)(理科) 第Ⅰ卷（選擇題 共 50 分） 一、選擇題：本大題共 10 小題。每小題 5 分，共 50 分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中， 只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1.設(shè)集合 M={1，2，zi},i 為虛數(shù)單位，N=｛3，4｝ ，M∩N=｛4｝ ，則復(fù)數(shù) z= （ ） A. -2i B. 2i C. -4i D.4i 2.函數(shù) y= ln（1-x）的定義域?yàn)?（ ） A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] 3.等比數(shù)列 x，3x+3，6x+6，…的的第四項(xiàng)等于 （ ） A.-24 B.0 C.12 D.24 4.總體由編號(hào)為 01，02，…，19，20 的 20 個(gè)個(gè)體組成.利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取 5 個(gè)個(gè)體，選取方法從隨機(jī)數(shù)表第 1 行的第 5 列和第 6 列數(shù)字開(kāi)始由左到右一次選 取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第 5 個(gè)個(gè)體的編號(hào)為 （ ） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4934 8200 3623 4869 6938 7481 A.08 B.07 C.02 D.01 5.（x 2- ） 5展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 （ ） A．80 B.-80 C.40 D.- 40 6.若 ，則 s1,s2,s3 的大小關(guān)系為 A. s1＜s 2＜s 3 B. s2＜s 1＜s 3 C. s2＜s 3＜s 1 D. s3＜s 2＜ s1 7.閱讀如下程序框圖，如果輸出 i=5，那么在空白矩形框中應(yīng)填入的語(yǔ)句為 A.S=2﹡i-2 B.S=2﹡i-1 C.S=2﹡I D.S=2﹡i+4 8.如果，正方體的底面與正四面體的底面 在同一平面 α 上，且 AB//CD，正方體的 六個(gè)面所在的平面與直線(xiàn)