重慶市中考數(shù)學(xué) 第一部分 考點(diǎn)研究 第三章 函數(shù) 第五節(jié) 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用課件
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1、第三章第三章 函數(shù)函數(shù)第五節(jié)第五節(jié) 二次函數(shù)的綜合應(yīng)二次函數(shù)的綜合應(yīng)用用 重難點(diǎn)突破二次函數(shù)綜合題(二次函數(shù)綜合題(難點(diǎn)難點(diǎn))例 1( (2016銅仁節(jié)選銅仁節(jié)選) )如圖,拋物線如圖,拋物線yax2bx1(a0)經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)A(1,0),B(2,0)兩點(diǎn),與兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)C. 類(lèi)型一類(lèi)型一 與線段、周長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題與線段、周長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題例例1 1題圖題圖【思維教練【思維教練】已知點(diǎn)已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)且在拋物線上,的坐標(biāo)且在拋物線上,將其代入拋物線解析式,求解即可,然后將其解析將其代入拋物線解析式,求解即可,然后將其解析式化為頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)式化為頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)(1)(1)
2、求拋物線的解析式及頂點(diǎn)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);的坐標(biāo);解:把解:把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入兩點(diǎn)坐標(biāo)代入yax2bx1得:得: ,解得,解得 , 拋物線的解析式為拋物線的解析式為 ,即即 , .104210abab 1212ab 211122yx2119()228yx19( ,)28D(2)(2)點(diǎn)點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上,當(dāng)在拋物線的對(duì)稱軸上,當(dāng)ACP的周長(zhǎng)最的周長(zhǎng)最小時(shí),求出點(diǎn)小時(shí),求出點(diǎn)P的坐標(biāo)的坐標(biāo)【思維教練思維教練】要使要使ACP的周長(zhǎng)最小,因的周長(zhǎng)最小,因AC長(zhǎng)固長(zhǎng)固定,只需定,只需APCP長(zhǎng)最小即可因?yàn)辄c(diǎn)長(zhǎng)最小即可因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)B關(guān)于關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱,即拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱,即A
3、PBP,則只需,則只需BPCP長(zhǎng)最小即可,所以連接長(zhǎng)最小即可,所以連接BC,BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為周長(zhǎng)最小時(shí)的點(diǎn)為周長(zhǎng)最小時(shí)的點(diǎn)P.由拋物線的解析式可以求得由拋物線的解析式可以求得C點(diǎn)的坐標(biāo),再由點(diǎn)的坐標(biāo),再由B、C點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得BC直線的直線的解析式,進(jìn)而可求得解析式,進(jìn)而可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)解:如解圖,解:如解圖, A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,當(dāng)當(dāng)ACP的周長(zhǎng)最小時(shí),點(diǎn)的周長(zhǎng)最小時(shí),點(diǎn)P應(yīng)應(yīng)為直線為直線BC與拋物線對(duì)稱軸交點(diǎn),與拋物線對(duì)稱軸交點(diǎn),由由(1)知點(diǎn)知點(diǎn)C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(0,1),拋,拋物線的對(duì)稱軸為物線的
4、對(duì)稱軸為x ;設(shè)直線;設(shè)直線BC的解析式為的解析式為ykxb(k0),代入,代入B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)得兩點(diǎn)坐標(biāo)得:例例1 1題解圖題解圖12 ,解得,解得 ,直線直線BC解析式為解析式為 ,在直線在直線BC上,當(dāng)上,當(dāng) 時(shí),時(shí), , 120bkb 121kb 112yx12x 1131224y 13( ,)24P例 2如圖,已知拋物線如圖,已知拋物線yx2bxc與與x軸交軸交于于A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn),與兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)C,拋物,拋物線的對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)線的對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)P,與直線,與直線BC交于點(diǎn)交于點(diǎn)M,連接連接PB.類(lèi)型二與面積有關(guān)的問(wèn)題類(lèi)型二與面積有關(guān)的問(wèn)題例例2
5、 2題圖題圖(1)求拋物線的解析式;求拋物線的解析式;【思維教練】【思維教練】已知拋物線與已知拋物線與x軸交于軸交于A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn),利用兩點(diǎn)式即可求解兩點(diǎn),利用兩點(diǎn)式即可求解解:由題意可知點(diǎn)解:由題意可知點(diǎn)A(1,0),點(diǎn),點(diǎn)B(3,0)是拋物線與是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn),軸的兩個(gè)交點(diǎn),拋物線的解析式為拋物線的解析式為y(x1)(x3)x22x3.(2)(2)求求PBC的面積;的面積;【思維教練】【思維教練】已知已知PBC三邊均不在坐標(biāo)軸上,要求三邊均不在坐標(biāo)軸上,要求PBC的面積,只需求的面積,只需求PMC與與PMB的面積和,轉(zhuǎn)的面積和,轉(zhuǎn)化為求線段化為求線段PM的長(zhǎng),結(jié)合直
6、線的長(zhǎng),結(jié)合直線BC的解析式求得點(diǎn)的解析式求得點(diǎn)M的的坐標(biāo)即可坐標(biāo)即可解:解:拋物線的解析式為拋物線的解析式為yx22x3(x1)24,拋物線的對(duì)稱軸為直線拋物線的對(duì)稱軸為直線x1,頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)為為P(1,4),點(diǎn),點(diǎn)C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(0,3),設(shè)直線設(shè)直線BCBC的解析式為的解析式為ykxd(k0),則,則 ,解得,解得 ,直線直線BC的解析式為的解析式為yx3,= 33 += 0dkd= 3= -1dk當(dāng)當(dāng)x1時(shí),時(shí),y2,點(diǎn)點(diǎn)M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1,2),PM422,SPBC PM(xBxC) 233,即即PBC的面積為的面積為3. .1212(3)(3)在第一象限內(nèi)的拋物線上是否
7、存在點(diǎn)在第一象限內(nèi)的拋物線上是否存在點(diǎn)D,使,使得得BCD的面積最大?若存在,求出點(diǎn)的面積最大?若存在,求出點(diǎn)D的坐標(biāo)的坐標(biāo)及及BCD面積的最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由面積的最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. .【思維教練思維教練】設(shè)出點(diǎn)設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo),同的坐標(biāo),同(2)(2)問(wèn)表示出問(wèn)表示出BCD的面積,利用二次函數(shù)的最值即可求解的面積,利用二次函數(shù)的最值即可求解解:存在設(shè)解:存在設(shè)D(t,t22t3),如解圖,作如解圖,作DHx軸交軸交BC于點(diǎn)于點(diǎn)H, ,則則H(t,t3),例例2 2題解圖題解圖2221()21(233) 3239223327()228BCDHxxtttttt BCDS ,當(dāng)
8、當(dāng) 時(shí),即時(shí),即D的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為時(shí),時(shí),SBCD有最大值,且最大面積為有最大值,且最大面積為 . .30232t 3 15( ,)24278例 3 (2016(2016黃岡黃岡) )如圖,拋物線如圖,拋物線 與與 x 軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn) A ,點(diǎn),點(diǎn) B ,與,與 y 軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)C ,點(diǎn),點(diǎn)D 與點(diǎn)與點(diǎn)C關(guān)于關(guān)于 x 軸對(duì)稱,點(diǎn)軸對(duì)稱,點(diǎn) P 是是 x 軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P 的坐標(biāo)為(的坐標(biāo)為(m,0,0),過(guò)點(diǎn)),過(guò)點(diǎn) P 作作 x 軸的垂線軸的垂線 l 交拋物線于點(diǎn)交拋物線于點(diǎn) Q .213222yx 例例3 3題圖題圖(1)求點(diǎn)求點(diǎn)A,點(diǎn),點(diǎn)B,點(diǎn),點(diǎn)C的坐標(biāo)
9、;的坐標(biāo);【思維教練思維教練】要想求要想求A、B、C點(diǎn)坐標(biāo),可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo),可以發(fā)現(xiàn)它們均在拋物線上,且在它們均在拋物線上,且在x軸、軸、y軸上分別令軸上分別令y0,x0,可依次求出點(diǎn),可依次求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)的坐標(biāo)解:當(dāng)解:當(dāng)y0時(shí),時(shí), ,解得解得x14, x21,則則A(1,0)、B(4,0),當(dāng)當(dāng)x0時(shí),時(shí),y2,則,則C(0,2)2132022xx(2)(2)求直線求直線BD的解析式;的解析式;【思維教練思維教練】要想求直線的解析式,只要知道要想求直線的解析式,只要知道直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B、D均在直線上,且點(diǎn)均在直線上,且點(diǎn)B坐標(biāo)
10、已知,點(diǎn)坐標(biāo)已知,點(diǎn)D的坐標(biāo)可利的坐標(biāo)可利用對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律求出用對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律求出解:解:點(diǎn)點(diǎn) D 與點(diǎn)與點(diǎn) C 關(guān)于關(guān)于 x 軸對(duì)稱,軸對(duì)稱,點(diǎn)點(diǎn)D為為(0,2),設(shè)直線,設(shè)直線BD的解析式為的解析式為ykxb,將將D(0,2)和和B (4,0)分別代入,得分別代入,得 ,解得,解得 ,直線直線BD的解析式為的解析式為 . .= -24 += 0bkb1=2= -2kb1=-22yx【思維教練】【思維教練】在四邊形在四邊形CQMD中,已知中,已知CDQM,若要使四邊形,若要使四邊形CQMD為平行四邊形,為平行四邊形,則需滿足則需滿足CDQM且且CQDM即可由于即可由于CD4,可考慮證可考
11、慮證CDQM,則需用含,則需用含m的式子表示出線的式子表示出線段段QM的長(zhǎng),根據(jù)的長(zhǎng),根據(jù)CDQM列方程即可求列方程即可求m值值(3 3)當(dāng)點(diǎn))當(dāng)點(diǎn)P在線段在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線 l 交交 BD 于點(diǎn)于點(diǎn)M,試探究,試探究m為何值時(shí),四邊形為何值時(shí),四邊形CQMD是平行是平行四邊形;四邊形;解:易知解:易知CDQM,若,若CDQM,則四邊形,則四邊形CQMD為為平行四邊形平行四邊形P(m,0), ,點(diǎn)點(diǎn)P在線段在線段OB上運(yùn)動(dòng),上運(yùn)動(dòng), ,CD4,解得解得m2或或m0( (舍去舍去) ),故當(dāng)故當(dāng)m2時(shí),四邊形時(shí),四邊形CQMD為平行四邊形為平行四邊形21312,2222QMy
12、mmym 2131(2)(2)222QMmmm 2131(2)(2)4222mmm (4)(4)在點(diǎn)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在點(diǎn)Q,使,使BDQ是以是以BD為直角邊的直角三角形?若存在,為直角邊的直角三角形?若存在,求出點(diǎn)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由【思維教練】【思維教練】要求點(diǎn)要求點(diǎn)Q的坐標(biāo),它需滿足的坐標(biāo),它需滿足BDQ是是以以BD為直角邊的直角三角形,只要是直角三角形都為直角邊的直角三角形,只要是直角三角形都滿足勾股定理,所以用滿足勾股定理,所以用m將點(diǎn)將點(diǎn)Q的坐標(biāo)表示出來(lái),得的坐標(biāo)表示出來(lái),得到到QB2 2、DQ2 2、BD
13、2 2,然后分情況討論,然后分情況討論,點(diǎn)點(diǎn)B為直為直角頂點(diǎn)時(shí);角頂點(diǎn)時(shí);點(diǎn)點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)時(shí)為直角頂點(diǎn)時(shí)解:存在點(diǎn)解:存在點(diǎn)Q,使,使BDQ是以是以BD為直角邊為直角邊的直角三角形的直角三角形設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 則則13( ,2),22mmm222222222213(4)(2)2213(22)224220BQmmmDQmmmBD 當(dāng)以點(diǎn)當(dāng)以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí),則為直角頂點(diǎn)時(shí),則BQ2BD2DQ2, 解得解得m13,m24( (舍去舍去) ),點(diǎn)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(3,2);2222213(4)(2)202213(22) ,22mmmmmm 當(dāng)以點(diǎn)當(dāng)以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)時(shí),則為直角頂點(diǎn)時(shí),則DQ2 2BD2 2BQ2 2, 解得解得m11,m28,Q點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0),(8,18)綜上所述,所求點(diǎn)綜上所述,所求點(diǎn)Q的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(3,2),(1,0),(8,18) 2222213(22)202213(4)(2)22mmmmmm
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