中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四單元 圖形初步與三角形 第17講 直角三角形與銳角三角函數(shù)課件

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1、第第1717講講直角三角形與銳角三角函數(shù)直角三角形與銳角三角函數(shù)20112015年中考試題統(tǒng)計(jì)與命題展望一、直角三角形的性質(zhì)及判定:考法1考法2考法3考法4考法6考法5考法130 角所對(duì)直角邊是斜邊的一半含30角的直角三角形具有特殊的性質(zhì):在直角三角形中,30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出,它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長(zhǎng)度和角的度數(shù).注意:該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角(30)的特殊定理,在非直角三角形或一般直角三角形中不能應(yīng)用;應(yīng)用時(shí),要注意找準(zhǔn)30的角所對(duì)的直角邊,以及斜邊.考法1考法2考法3考法4考法6考法5例1已知:如圖所示,在ABC中,

2、AB=AC,BAC=120,EF為AB的垂直平分線,EF交BC于F,交AB于E.求證:BF= FC.分析:因?yàn)锽F與FC不在同一三角形內(nèi),所以必須用相等的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化.因?yàn)镋F是AB的垂直平分線,所以連接AF,可知BF=AF,在ACF中,只要證明C=30,CAF=90,再利用有一個(gè)角是30的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可.考法1考法2考法3考法4考法6考法5規(guī)律總結(jié)在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.本性質(zhì)適用的大前提是“在直角三角形中”.在題中如果有一個(gè)30的角,而無直角時(shí),必須依條件構(gòu)造符合性質(zhì)特征的直角三角形,才能由角的大小關(guān)系,得出邊的倍分關(guān)系.考法1

3、考法2考法3考法4考法6考法5考法2直角三角形的性質(zhì)和判定例2(2012安徽)在一張直角三角形紙片的兩直角邊上各取一點(diǎn),分別沿斜邊中點(diǎn)與這兩點(diǎn)的連線剪去兩個(gè)三角形,剩下的部分是如圖所示的直角梯形,其中三邊長(zhǎng)分別為2,4,3,則原直角三角形紙片的斜邊長(zhǎng)是()考法1考法2考法3考法4考法6考法5解析:原直角三角形如圖所示,ACBC,FDBC,FDAC.AF=BF,CD=BD,AC=2FD.答案:C考法1考法2考法3考法4考法6考法5規(guī)律總結(jié)直角三角形中線段和角之間的數(shù)量關(guān)系(1)邊:直角三角形的三邊滿足勾股定理,是計(jì)算線段長(zhǎng)度的重要工具,有時(shí)也用于證明線段相等;(2)角:直角三角形的兩銳角互余,可

4、用來計(jì)算角的大小,也是證明角相等的重要工具;(3)斜邊中線:直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半也是幾何證明或計(jì)算的重要工具.直角三角形的判定方法主要利用定義,即證明一個(gè)角是直角.另外還有兩種方法:一是勾股定理的逆定理,即證明“a2+b2=c2”,則C=90;二是利用“若三角形一邊上的中線等于這邊的一半,則這個(gè)三角形是直角三角形”這一判定方法,但這一方法不常用.考法1考法2考法3考法4考法6考法5考法3銳角三角函數(shù)值的求法例3(2015山西)如圖,在網(wǎng)格中,小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上,則ABC的正切值是()考法1考法2考法3考法4考法6考法5考法1考法2考法3考法4考法6考法5

5、規(guī)律總結(jié)格點(diǎn)圖中求某個(gè)角的三角函數(shù)值的方法通常的做法是構(gòu)造合適的直角三角形,然后根據(jù)格點(diǎn)來表示出各邊的長(zhǎng),從而求出相應(yīng)的三角函數(shù)值.在構(gòu)造直角三角形時(shí)需注意,通常我們要去求的邊或是角不要分割,另外就是構(gòu)造的直角三角形的邊盡可能的是整個(gè)的格點(diǎn)數(shù),這樣便于我們求值.考法1考法2考法3考法4考法6考法5考法4有關(guān)特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算考法1考法2考法3考法4考法6考法5考法5銳角三角函數(shù)的應(yīng)用例5如圖,在RtABC中,C=90,AB=2BC,則cos A的值為 ()考法1考法2考法3考法4考法6考法5規(guī)律總結(jié)求直角三角形中某銳角的三角函數(shù)值,常需利用勾股定理求出有關(guān)邊長(zhǎng),有時(shí)還要通過作高把非直角三角

6、形中的邊和角轉(zhuǎn)化到直角三角形中.考法1考法2考法3考法4考法6考法5考法6解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用例6如圖,一天,我國(guó)一艘漁政船航行到A處時(shí),發(fā)現(xiàn)正東方的我海領(lǐng)域B處有一艘可疑漁船正在以12海里/時(shí)的速度向西北方向航行.我漁政船立即沿北偏東60方向航行,1.5小時(shí)后,在我領(lǐng)海區(qū)域C處截獲可疑漁船.問我漁政船的航行路程是多少海里?(結(jié)果保留根號(hào))分析:過點(diǎn)C作CDAB于D,由題意可求得BC的長(zhǎng)度,在RtBDC中利用正弦可求得CD的長(zhǎng)度,在RtADC中利用30角所對(duì)的直角邊的性質(zhì)即可求得AC的長(zhǎng)度.考法1考法2考法3考法4考法6考法5考法1考法2考法3考法4考法6考法5規(guī)律總結(jié)(1)解決此類問題要了解角之間的關(guān)系,找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形,當(dāng)圖形中沒有直角三角形時(shí),要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形;有時(shí)所給的角并不一定在直角三角形中,需要用到兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等或一個(gè)角的余角等知識(shí)轉(zhuǎn)化為所需要的角.另外,當(dāng)問題以一個(gè)實(shí)際問題的形式給出時(shí),要善于讀懂題意,把實(shí)際問題化歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決.(2)一般過程是:將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題(畫出平面圖形,構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題).根據(jù)題目已知特點(diǎn)選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)(或邊角關(guān)系)去解直角三角形,得到數(shù)學(xué)問題的答案,再轉(zhuǎn)化得到實(shí)際問題的答案.