第二章 函數、導數及其應用 復習講義

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1、 第1節(jié)　函數及其表示 ◆考綱·了然于胸◆ 1．了解構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域和值域，了解映射的概念． 2．在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函數． 3．了解簡單的分段函數，并能簡單地應用(函數分段不超過三段)． [要點梳理] 1．函數與映射的概念 函數 映射 兩集合A、B 設A，B是兩個非空數集 設A，B是兩個非空集合 對應關系f：A→B 如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應 如果按某一個確定的對

2、應關系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應 名稱 稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數 稱對應f：A→B為從集合A到集合B的一個映射 記法 y＝f(x)(x∈A) 對應f：A→B是一個映射 2．函數的有關概念 (1)函數的定義域、值域：在函數y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域．顯然，值域是集合B的子集． (2)函數的三要素：定義域、值域和對應關系． 質疑探究：函數的值域是由函數的定義域、對應關系唯一確定的嗎？ 提示：是

3、．函數的定義域和對應關系確定后函數的值域就確定了，在函數的三個要素中定義域和對應關系是關鍵． (3)相等函數：如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，則這兩個函數相等，這是判斷兩函數相等的依據． (4)函數的表示法：表示函數的常用方法有：解析法、圖象法、列表法． 3．分段函數：若函數在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數稱為分段函數． 4．常見函數定義域的求法 (1)分式函數中分母不等于零． (2)偶次根式函數被開方式大于或等于0. (3)一次函數、二次函數的定義域為R. (4)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定

4、義域均為R. (5)y＝tan x的定義域為{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}． (6)函數f(x)＝x0的定義域為{x|x∈R且x≠0}． [小題查驗] 1．給出下列命題： ①函數是建立在其定義域到值域的映射； ②函數y＝f(x)的圖象與直線x＝a最多有2個交點； ③函數f(x)＝x2－2x與g(t)＝t2－2t是同一函數； ④若兩個函數的定義域與值域相同，則這兩個函數是相等函數． 其中正確的是(　　)A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 2．(2015·高考湖北卷)已知符號函數sgn x＝f(x)是R上的增函數，g(x)＝f(x)－f(ax)(a＞1)

5、，則(　　) A．sgn[g(x)]＝sgn x B．sgn[g(x)]＝－sgn x C．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)] D．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)] 3．(2016·濰坊模擬)下列圖象可以表示以M＝{x|0≤x≤1}為定義域，以N＝{x|0≤x≤1}為值域的函數的是(　　) 4．函數y＝f(x)的圖象如圖所示，那么f(x)的定義域是________；值域是________；其中只與x的一個值對應的y值的范圍是________． 5．已知f(x)＝x2＋px＋q滿足f(1)＝f(2)＝0，則f(－1)＝________. 考點一　函數的概念

6、(基礎型考點——自主練透) [方法鏈接] 函數的三要素：定義域、值域、對應法則．這三要素不是獨立的，值域可由定義域和對應法則唯一確定；因此當且僅當定義域和對應法則都相同的函數才是同一函數．特別值得說明的是，對應法則是就效果而言的(判斷兩個函數的對應法則是否相同，只要看對于函數定義域中的任意一個相同的自變量的值，按照這兩個對應法則算出的函數值是否相同)不是指形式上的即對應法則是否相同，不能只看外形，要看本質；若是用解析式表示的，要看化簡后的形式才能正確判斷． [題組集訓] 1．下列所給圖象是函數圖象的個數為(　　) A．1　　　　 B．2　　　C．3　　　 D．4 2．下列各

7、組函數中，表示同一函數的是(　　) A．f(x)＝|x|，g(x)＝ B．f(x)＝，g(x)＝()2 C．f(x)＝，g(x)＝x＋1 D．f(x)＝·，g(x)＝ 考點二　求函數的解析式(重點型考點——師生共研) 【例】　(1)已知f＝lg x，則f(x)＝________. (2)設y＝f(x)是二次函數，方程f(x)＝0有兩個相等的實根，且f′(x)＝2x＋2，則f(x)的解析式為________． (3)定義在(－1,1)內的函數f(x)滿足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，則函數f(x)的解析式為________． 【名師說“法”】 函數解

8、析式的求法 (1)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式； (2)待定系數法：若已知函數的類型(如一次函數、二次函數)，可用待定系數法； (3)換元法：已知復合函數f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍； (4)消去法：已知關于f(x)與f或f(－x)的表達式，可根據已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)． 跟蹤訓練 (1)已知f(＋1)＝x＋2，則f(x)＝________. (2)已知f(x)為二次函數且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝

9、4x＋2.則f(x)的解析式為________． 考點三　函數的定義域(高頻型考點——全面發(fā)掘) [考情聚焦] 函數的定義域是使函數有意義的自變量取值的集合，它是函數不可缺少的組成部分，研究函數問題必須樹立“定義域優(yōu)先”的觀念．求給定函數的定義域往往轉化為解不等式(組)的問題，在解不等式(組)取交集時可借助于數軸． 常見的命題角度有： (1)求給定函數解析式的定義域；(2)求抽象函數的定義域；(3)已知定義域確定參數問題． 角度一　求給定函數解析式的定義域 1．函數f(x)＝(a＞0且a≠1)的定義域為________． 2．(2013·安徽高考)函數y＝ln＋的定義域為___

10、_____． 角度二　求抽象函數的定義域 3．若函數y＝f(x)的定義域是[0,2]，則函數g(x)＝的定義域是(　　) A．[0,1] B．[0,1) C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1) 4．若函數f(x2＋1)的定義域為[－1,1]，則f(lg x)的定義域為(　　) A．[－1,1] B．[1,2] C．[10,100] D．[0，lg 2] 角度三　已知定義域確定參數問題 5．(2016·合肥模擬)若函數f(x)＝的定義域為R，則a的取值范圍為________． [通關錦囊] 求函數定義域的三種?？碱愋图扒蠼獠呗? (1)已知函數

11、的解析式：構建使解析式有意義的不等式(組)求解． (2)抽象函數： ①若已知函數f(x)的定義域為[a，b]，則復合函數f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出． ②若已知函數f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]時的值域． (3)實際問題：既要使構建的函數解析式有意義，又要考慮實際問題的要求． 提醒：(1)如果所給解析式較復雜，切記不要化簡后再求定義域． (2)所求定義域須用集合或區(qū)間表示． [題組集訓] 1．(2015·高考湖北卷)函數f(x)＝＋lg的定義域為(　　) A．(2,3) B．(2,4] C．(2,3)

12、∪(3,4] D．(－1,3)∪(3,6] 2．(2016·湖南省五市十校聯考)函數f(x)＝的定義域為________． 3．已知f(2x)的定義域是[－1,1]，則f(log2x)的定義域為________． 考點四　分段函數及應用(高頻型考點——全面發(fā)掘) 角度一　求函數值問題 1．已知f(x)＝且f(0)＝2，f(－1)＝3，則f(f(－3))＝(　　) A．－2 B．2 C．3 D．－3 角度二　解方程或解不等式問題 2．(2015·高考新課標卷Ⅰ)已知函數f(x)＝，且f(a)＝－3，則f(6－a)＝(　　) A．－ B．－

13、 C．－ D．－ 3．(2016·榆林二模)已知f(x)＝使f(x)≥－1成立的x的取值范圍是________． 角度三　求最值或值域問題 4．定義新運算“⊕”：當a≥b時，a⊕b＝a；當a＜b時，a⊕b＝b2.設函數f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]，則函數f(x)的值域為________． 角度四　圖象及其應用 5．(2016·北京順義二模)已知函數f(x)＝若關于x的方程f(x)＝k有兩個不等的實數根，則實數k的取值范圍是(　　)A．(0，＋∞) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(0,1] [通關錦囊]分段函數應用的常見題型與求解策略：

14、 重點題型 破解策略 求函數值問題 根據所給自變量值的大小選擇相應的對應關系求值，有時每段交替使用求值 解方程或解不等式問題 分類求出各子區(qū)間上的解，再將它們合并在一起，但要檢驗所求是否符合相應各段自變量的取值范圍 求最值或值域問題 先求出每一個子區(qū)間上的最值或值域，然后進行比較得出最大值、最小值，合并得出值域． 圖象及其應用 根據每段函數的定義區(qū)間和解析式在同一坐標系中作出圖象，然后應用，作圖時要注意每段圖象端點的虛實 提醒：解決分段函數問題的總策略是分段擊破，即對不同的區(qū)間進行分類求解，然后整合． [題組集訓] 1．設函數f(x)＝則滿足f(x)＝的x的值為(　　)

15、 A．2 B．3 C．2或3 D．－2 2．已知函數f(x)＝則f(x)－f(－x)＞－1的解集為(　　) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.∪(0,1] C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D.∪(0,1) 3．設函數y＝f(x)在R上有定義．對于給定的正數M，定義函數fM(x)＝則稱函數fM(x)為f(x)的“孿生函數”．若給定函數f(x)＝2－x2，M＝1, 則fM(0)的值為(　　) A．2 B．1 C. D．－ 易錯警示2　分段函數意義理解不清致誤 典例　已知實數a≠0，函數f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)

16、，則a的值為________． 即時突破　設函數f(x)＝，則不等式f(x)＜f(－1)的解集是(　　) A．(－3，－1)∪(3，＋∞) B．(－3，－1)∪(2，＋∞) C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－1,3) [課堂小結] 【方法與技巧】 1．在判斷兩個函數是否為同一函數時，要緊扣兩點：一是定義域是否相同；二是對應法則是否相同． 2．定義域優(yōu)先原則：函數定義域是研究函數的基礎依據，對函數性質的討論，必須在定義域上進行． 3．函數的解析式的幾種常用求法：待定系數法、換元法、配湊法、消去法． 4．分段函數問題要分段求解． 【失誤與防范】 求分段函數應注意的

17、問題：在求分段函數的值f(x0)時，一定要首先判斷x0屬于定義域的哪個子集，然后再代入相應的關系式；分段函數的值域應是其定義域內不同子集上各關系式的取值范圍的并集． 課時活頁作業(yè)(四) [基礎訓練組] 一、選擇題 1．已知a、b為實數，集合M＝，N＝{a,0}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍為x，則a＋b等于(　　)A．－1　　 B．0　　　　C．1　　 D．±1 2．若函數y＝f(x)的定義域為M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2}，則函數y＝f(x)的圖象可能是(　　) 3．(2016·南昌模擬)函數f(x)＝的定義域是(　　) A.

18、 B. C. D. 4．已知函數f(x)滿足f(x)＋2f(3－x)＝x2，則f(x)的解析式為(　　) A．f(x)＝x2－12x＋18 B．f(x)＝x2－4x＋6 C．f(x)＝6x＋9 D．f(x)＝2x＋3 5．(2016·北京模擬)已知函數f(x)＝則方程f(x)＝1的解得(　　) A.或2 B.或3 C.或4 D．±或4 6．圖中的圖象所表示的函數的解析式f(x)＝________. 7．若函數y＝f(x)的值域是[1,3]，則函數F(x)＝1－2f(x＋3)的值域是________． 8．(2014·安徽高考)若函數f(x)(x∈

19、R)是周期為4的奇函數，且在[0,2]上的解析式為f(x)＝則f＋f＝________. 9．(1)如果f＝，則當x≠0且x≠1時，求f(x)的解析式； (2)已知f(x)是一次函數，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式． 10．二次函數f(x)滿足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式； (2)解不等式f(x)＞2x＋5. [能力提升組] 11．若函數f(x)＝的定義域為R，則實數m的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 12．(2016·太原市測評)已知f(x)＝若f(2m－1)＜，則m的取值范

20、圍是(　　) A．m＞ B．m＜ C．0≤m＜ D.＜m≤1 13．具有性質：f＝－f(x)的函數，我們稱為滿足“倒負”變換的函數，下列函數：①y＝x－；②y＝x＋；③y＝其中滿足“倒負”變換的函數是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．① 14．已知函數f(x)＝若f(a)≤3，則a的取值范圍是________． 15．(2016·長沙二模)某地一漁場的水質受到了污染．漁場的工作人員對水質檢測后，決定往水中投放一種藥劑來凈化水質．已知每投放質量為m(m∈N*)個單位的藥劑后，經過x天該藥劑在水中釋放的濃度y(毫克/升)滿足y＝mf(x)，其中f

21、(x)＝當藥劑在水中釋放的濃度不低于6(毫克/升)時稱為有效凈化；當藥劑在水中釋放的濃度不低于6(毫克/升)且不高于18(毫克/升)時稱為最佳凈化． (1)如果投放的藥劑質量為m＝6，試問漁場的水質達到有效凈化一共可持續(xù)幾天？ (2)如果投放的藥劑質量為m，為了使在8天(從投放藥劑算起包括第8天)之內的漁場的水質達到最佳凈化，試確定應該投放的藥劑質量m的取值范圍． 第2節(jié)　函數的單調性與最值 ◆考綱·了然于胸◆ 1．理解函數的單調性、最大值、最小值及其幾何意義． 2．會運用基本初等函數的圖象分析函數的性質． 增函數 減函數 定義 一般地，設函數f(x)的定義域為I：

22、如果對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2 當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，那么就說函數f(x)在區(qū)間D上是增函數 當x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說函數f(x)在區(qū)間D上是減函數 圖象描述 自左向右看圖象是上升的 自左向右看圖象是下降的 [要點梳理] 1．函數的單調性 (1)單調函數的定義 質疑探究1：若函數f(x)在區(qū)間C和區(qū)間D上都是增(減)函數，則函數f(x)在區(qū)間C∪D上是增(減)函數嗎？ 提示：不一定．如函數f(x)＝在區(qū)間(－∞，0)及(0，＋∞)上都是減函數，但在區(qū)間(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是

23、減函數，如取x1＝－1，x2＝1，x1f(x2)不成立． (2)單調區(qū)間的定義 如果函數y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數或減函數，那么就說函數y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調性，區(qū)間D叫做函數y＝f(x)的單調區(qū)間． 質疑探究2：當一個函數的增區(qū)間(減區(qū)間)有多個時，能否用“∪”將函數的單調增區(qū)間(減區(qū)間)連接起來？ 提示：不能直接用“∪”將它們連接起來．例如，函數y＝x3－3x的單調增區(qū)間有兩個：(－∞，－1)和(1，＋∞)，不能寫成(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 2．函數的最值 前提 設函數y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足 條件 (

24、1)對于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. (3)對于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 結論 M為最大值 M為最小值 質疑探究3：最值與函數的值域有何關系？ 提示：函數的最小值與最大值分別是函數值域中的最小元素與最大元素；任何一個函數，其值域必定存在，但其最值不一定存在． [小題查驗] 1．給出下列命題： ①函數f(x)的圖象如右圖所示，則函數f(x)的單調增區(qū)間是(－∞，0]∪(0，＋∞)． ②若定義在R上的函數f(x)，有f(－1)＜f(3)，則函數f(x)在R上為增函數； ③函數y

25、＝|x|是R上的增函數； ④函數y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函數，則函數的單調遞增區(qū)間是[1，＋∞)； ⑤對于函數f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，則函數f(x)在D上是增函數． ⑥在閉區(qū)間上單調的函數，其最值一定在區(qū)間端點取到． 其中正確的是(　　) A．①② B．③④ C．④⑤ D．⑤⑥ 2．(2016·成都模擬)設定義在[－1,7]上的函數y＝f(x)的 圖象如圖所示，則關于函數y＝的單調區(qū)間表述正確的是(　　) A．在[－1,1]上單調遞減 B．在(0,1]上單調遞減，在[1,3)上單調遞增

26、 C．在[5,7]上單調遞減 D．在[3,5]上單調遞增 3．函數y＝－(x－3)|x|的遞增區(qū)間是(　　) A. B. C. D. 4．函數f(x)＝在[1,2]的最大值和最小值分別是______________． 5．已知函數f(x)為R上的減函數，若m＜n，則f(m)________f(n)；若f＜f(1)，則實數x的取值范圍是________． 考點一　函數單調性的判斷(基礎型考點——自主練透) [方法鏈接] 利用定義法證明或判斷函數單調性的步驟： 提醒：可導函數也可以利用導數判斷．但是，對于抽象函數單調性的證明，只能采用定義法進行判斷

27、． [題組集訓] 1．下列函數f(x)中，滿足“對任意的x1，x2∈(0，＋∞)時，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0”的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝x2－4x＋4 C．f(x)＝2x D．f(x)＝logx 2．判斷并證明函數f(x)＝(其中a＞0)在x∈(－1,1)上的單調性． 考點二　確定函數的單調性(區(qū)間)(重點型考點——師生共研) 【例】　(1)函數y＝－x2＋2|x|＋1的單調遞增區(qū)間為________，單調遞減區(qū)間為________． (2)(2016·天津模擬)函數y＝f(x)(x∈R)的圖象如圖所示，則函數g(x)＝f(log

28、ax)(0＜a＜1)的單調減區(qū)間是(　　) A. B．[，1] C．(－∞，0)∪ D．[，] 互動探究1　若將典例(1)中的函數變?yōu)椤皔＝|－x2＋2x＋1|”，則結論如何？ 互動探究2　若將本例題(2)中的“0＜a＜1”改為“a＞1”，則函數g(x)的單調遞減區(qū)間如何？ 【名師說“法”】 1.求函數的單調區(qū)間與確定單調性的方法一致 (1)利用已知函數的單調性，即轉化為已知函數的和、差或復合函數，求單調區(qū)間． (2)定義法：先求定義域，再利用單調性定義． (3)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，可由圖象的直觀性寫出它的單調區(qū)間．

29、 (4)導數法：利用導數取值的正負確定函數的單調區(qū)間． 2．求復合函數＝f(g(x))的單調區(qū)間的步驟： ①確定函數的定義域． ②將復合函數分解成基本初等函數y＝f(u)，u＝g(x)． ③分別確定這兩個函數的單調區(qū)間． ④若這兩個函數同增同減，則y＝f(g(x))為增函數；若一增一減，則y＝f(g(x))為減函數，即“同增異減”． 提醒：單調區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個單調區(qū)間應分別寫，不能用并集符號“∪”聯結，也不能用“或”聯結 跟蹤訓練　 1．設函數f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，則函數g(x)的遞減區(qū)間是(　　) A．(－∞，0] B

30、．[0,1) C．[1，＋∞) D．[－1,0] 2．(2016·太原一模)函數y＝log(2x2－3x＋1)的遞減區(qū)間為(　　) A．(1，＋∞) B. C. D. 考點三　函數單調性的應用(高頻型考點——全面發(fā)掘) [考情聚焦] 高考對函數單調性的考查多以選擇題、填空題的形式出現，有時也應用于解答題中的某一問中． 函數單調性的應用，歸納起來常見的命題角度有： (1)求函數的值域或最值； (2)比較兩個函數值或兩個自變量的大??； (3)解函數不等式； (4)利用單調性求參數的取值范圍或值． 角度一　求函數的值域或最值 1．(2015·高考浙江卷)已知

31、函數f(x)＝則f(f(－2))＝________，f(x)的最小值是________． 角度二　比較兩個函數值或兩個自變量的大小 2．已知函數f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，則(　　) A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＜0，f(x2)＞0 C．f(x1)＞0，f(x2)＜0 D．f(x1)＞0，f(x2)＞0 角度三　解函數不等式 3．f(x)是定義在(0，＋∞)上的單調增函數，滿足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，當f(x)＋f(x－8)≤2時，x的取值范圍是(　　) A．(8，＋∞) B．(8,9]

32、 C．[8,9] D．(0,8) 角度四　利用單調性求參數的取值范圍或值 4．已知函數f(x)＝滿足對任意的實數x1≠x2，都有＜0成立，則實數a的取值范圍為(　　)A．(－∞，2) B. C．(－∞，2] D. [通關錦囊] 函數單調性應用問題的常見類型及解題策略 (1)比較大?。容^函數值的大小，應將自變量轉化到同一個單調區(qū)間內，然后利用函數的單調性解決． (2)解不等式．在求解與抽象函數有關的不等式時，往往是利用函數的單調性將“f”符號脫掉，使其轉化為具體的不等式求解．此時應特別注意函數的定義域． (3)利用單調性求參數． ①視參數為已知數，依據函數

33、的圖象或單調性定義，確定函數的單調區(qū)間，與已知單調區(qū)間比較求參數； ②需注意若函數在區(qū)間[a，b]上是單調的，則該函數在此區(qū)間的任意子集上也是單調的． (4)利用單調性求最值．應先確定函數的單調性，然后再由單調性求出最值． [題組集訓] 1．如果函數f(x)＝ax2＋2x－3在區(qū)間(－∞，4)上是單調遞增的，則實數a的取值范圍是(　　) A．a＞－ B．a≥－ C．－≤a＜0 D．－≤a≤0 2．(2016·重慶模擬)已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的減函數，那么a的取值范圍是(　　) A．(0,1) B. C. D. 3．函數y＝在(－1，＋∞)上單調遞

34、增，則a的取值范圍是(　　) A．a＝－3 B．a＜3 C．a≤－3 D．a≥－3 4．已知f(x)＝滿足對任意x1≠x2，都有＞0成立，那么a的取值范圍是________． 思想方法2　轉化與化歸思想在求解函數不等式中的應用 典例　(2016·西安模擬)已知定義在R上的函數f(x)滿足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②當x＞0時，f(x)＞－1. (1)求f(0)的值，并證明f(x)在R上是單調增函數．(2)若f(1)＝1，解關于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4. 即時突破　(2016·合肥模擬)函數f(x)對任意的m，n∈R，都有f(m＋n)＝

35、f(m)＋f(n)－1，并且x＞0時，恒有f(x)＞1. (1)求證：f(x)在R上是增函數．(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)＜2. [課堂小結] 【方法與技巧】 (1)可以根據定義判斷或證明函數的單調性． (2)求函數的單調區(qū)間：首先應注意函數的定義域，函數的單調區(qū)間都是其定義域的子集；其次掌握一次函數、二次函數等基本初等函數的單調區(qū)間．常用方法：根據定義，利用圖象和單調函數的性質；利用導數的性質． (3)復合函數的單調性：對于復合函數y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在區(qū)間(a，b)上是單調函數，且y＝f(t)在區(qū)間(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a)

36、)上是單調函數，若t＝g(x)與y＝f(t)的單調性相同(同時為增或減)，則y＝f[g(x)]為增函數；若t＝g(x)與y＝f(t)的單調性相反，則y＝f[g(x)]為減函數．簡稱：同增異減． 【失誤與防范】 (1) 函數的單調區(qū)間是指函數在定義域內的某個區(qū)間上單調遞增或單調遞減．單調區(qū)間要分開寫，即使在兩個區(qū)間上的單調性相同，也不能用并集表示． (2)兩函數f(x)、g(x)在x∈(a，b)上都是增(減)函數，則f(x)＋g(x)也為增(減)函數，但f(x)·g(x)，等的單調性與其正負有關，切不可盲目類比． 課時活頁作業(yè)(五) [基礎訓練組] 1．函數f(x)中，滿足“對任意x

37、1，x2∈(0，＋∞)，當x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)”的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1) 2．已知函數f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在區(qū)間(－∞，3)上是減函數，則a的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 3．(2016·牡丹江月考)設函數f(x)定義在實數集上，它的圖象關于直線x＝1對稱，且當x≥1時，f(x)＝3x－1，則(　　) A．f＜f＜f B．f＜f＜f C．f＜f＜f D．f＜f＜f 4．已知函數f(x)＝若f(2－a2)＞f(a

38、)，則實數a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 5．已知函數f(x)＝x2－2ax＋a在區(qū)間(－∞，1)上有最小值，則函數g(x)＝在區(qū)間(1，＋∞)上一定(　　) A．有最小值 B．有最大值 C．是減函數 D．是增函數 6．(2014·天津高考)函數f(x)＝lg x2的單調遞減區(qū)間是________． 7．設函數f(x)＝在區(qū)間(－2，＋∞)上是增函數，那么a的取值范圍是________． 8．(2016·荊州質檢)函數f(x)＝|x3－3x2－t|，x∈[0,4]的最大

39、值記為g(t)，當t在實數范圍內變化時，g(t)的最小值為_____． 9．已知f(x)＝(x≠a)，(1)若a＝－2，試證f(x)在(－∞，－2)內單調遞增； (2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)內單調遞減，求a的取值范圍． 10．(2016·贛州市十二縣(市)聯考)已知函數g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0)在區(qū)間[2,3]上有最大值4和最小值1.設f(x)＝.(1)求a、b的值；(2)若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1,1]上有解，求實數k的取值范圍． [能力提升組] 11．已知f(x)＝是R上的單調遞增函數，則實數a的取值范圍為(　　) A．(1，＋∞)

40、 B．[4,8) C．(4,8) D．(1,8) 12．(2016·福建質檢)已知f(x)是定義在R上的奇函數，且在[0，＋∞)上單調遞增，若f(lg x)＜0，則x的取值范圍是(　　)A．(0,1) B．(1,10) C．(1，＋∞) D．(10，＋∞) 13．設函數y＝f(x)在(－∞，＋∞)內有定義．對于給定的正數k，定義函數fk(x)＝取函數 f(x)＝2－|x|.當k＝時， 函數fk(x)的單調遞增區(qū)間為(　　) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) 14．(2016·廈門質檢)已知函數f(x)＝x2(ex＋e－

41、x)－(2x＋1)2(e2x＋1＋e－2x－1)，則滿足f(x)＞0的實數x的取值范圍是_____． 15．已知f(x)是定義在[－1,1]上的奇函數，且f(1)＝1，若a，b∈[－1,1]，a＋b≠0時，有＞0成立． (1)判斷f(x)在[－1,1]上的單調性，并證明它；(2)解不等式：f＜f； (3)若f(x)≤m2－2am＋1對所有的a∈[－1,1]恒成立，求實數m的取值范圍． 第3節(jié)　函數的奇偶性與周期性 ◆考綱·了然于胸◆ 1．結合具體函數，了解函數奇偶性的含義． 2．會運用函數的圖象理解和研究函數的奇偶性． 3．了解函數周期性、最小正周期的含義，會判斷、應用簡單函數

42、的周期性． [要點梳理] 1．奇函數、偶函數的概念及圖象特征 奇函數 偶函數 定義 定義域 函數f(x)的定義域關于原點對稱 x 對于定義域內的任意一個x f(x)與f(－x)的關系 都有f(－x)＝－f(x) 都有f(－x)＝f(x) 結論 函數f(x)為奇函數 函數f(x)為偶函數 圖象特征 關于原點對稱 關于y軸對稱 質疑探究1：如果函數f(x)是奇函數，那么是否一定有f(0)＝0? 提示：只有在x＝0處有定義的奇函數，才有f(0)＝0. 2．周期性 (1)周期函數：對于函數y＝f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的

43、任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期． (2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期． 質疑探究：周期函數y＝f(x)(x∈R)的周期唯一嗎？ 提示：不唯一．若T是函數y＝f(x)(x∈R)的一個周期，則nT(n∈Z，且n≠0)也是f(x)的周期，即f(x＋nT)＝f(x)． [小題查驗] 1．給出下列命題： ①函數f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函數又是偶函數． ②若函數y＝f(x＋a)是偶函數，則函數y＝f(x)關于直線x＝a對稱． ③若函數y

44、＝f(x＋b)是奇函數，則函數y＝f(x)關于點(b,0)中心對稱． ④函數f(x)為R上的奇函數，且f(x＋2)＝f(x)，則f(2 016)＝2016. 其中正確的是(　　) A．①②　　 B．①③　　　 C．②③　　 D．③④ 2．(2015·高考廣東卷)下列函數中，既不是奇函數，也不是偶函數的是(　　) A．y＝x＋sin 2x B．y＝x2－cos x C．y＝2x＋ D．y＝x2＋sin x 3．設f(x)是周期為2的奇函數，當0≤x≤1時，f(x)＝2x(1－x)，則f等于(　　) A．－ B．－ C. D. 4．已知f

45、(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數，那么a＋b的值是________． 5．設函數f(x)是定義在R上的奇函數，若當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝lg x，則滿足f(x)＞0的x的取值范圍是________． 考點一　判斷函數的奇偶性(基礎型考點——自主練透) [方法鏈接] 1．判斷函數奇偶性的兩個方法 (1)定義法： (2)圖象法： 2．性質法： (1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶； (2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是

46、偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶； (3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇． 提醒：(1)“性質法”中的結論是在兩個函數的公共定義域內才成立的． (2)判斷分段函數的奇偶性應分段分別證明f(－x)與f(x)的關系，只有對各段上的x都滿足相同的關系時，才能判斷其奇偶性． [題組集訓] 判斷下列函數的奇偶性． (1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝＋；(3)f(x)＝3x－3－x；(4)f(x)＝；(5)f(x)＝ 考點二　函數周期性的應用(重點型考點——師生共研) 【例】　(1)(2013·湖北高考)x為實數，[x]表示不超過x的最大整數，則函數f(x)＝x－[x]在R上為(　　)

47、 A．奇函數 B．偶函數 C．增函數 D．周期函數 (2)已知f(x)是定義在R上的偶函數，并且f(x＋2)＝－，當2≤x≤3時，f(x)＝x，則f(105.5)＝________. 拓展提高　(1)判斷函數周期性的兩個方法 ①定義法．②圖象法． (2)判斷函數周期性的三個常用結論 若對于函數f(x)定義域內的任意一個x都有： ①f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，則函數f(x)必為周期函數，2|a|是它的一個周期． ②f(x＋a)＝(a≠0)，則函數f(x)必為周期函數，2|a|是它的一個周期． ③f(x＋a)＝－，則函數f(x)必為周期函數，2|a|是它的一個周期．

48、 提醒：應用函數的周期性時，應保證自變量在給定的區(qū)間內． (3)函數周期性的重要應用 利用函數的周期性，可將其他區(qū)間上的求值，求零點個數，求解析式等問題，轉化為已知區(qū)間上的相應問題，進而求解． 即時訓練　(1)已知f(x)是定義在實數集R上的奇函數，對任意的實數x，f(x－2)＝f(x＋2)，當x∈(0,2)時，f(x)＝－x2，則f＝(　　)A．－ B．－ C. D. (2)已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數，且當0≤x＜2時，f(x)＝x3－x，則函數y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點的個數為(　　)A．6 B．7 C．8

49、D．9 考點三　函數基本性質的綜合應用(高頻型考點——全面發(fā)掘) [考情聚焦] 高考對于函數性質的考查，一般不會單純地考查某一個性質，而是對奇偶性、周期性、單調性的綜合考查 歸納起來常見的命題角度有： (1)單調性與奇偶性結合； (2)周期性與奇偶性結合； (3)單調性、奇偶性與周期性結合 角度一　單調性與奇偶性結合 1．(2016·洛陽統考)下列函數中，既是偶函數又在(－∞，0)上單調遞增的是(　　) A．y＝x2 B．y＝2|x| C．y＝log2 D．y＝sin x 2．已知函數y＝f(x)是R上的偶函數，且在[0，＋∞)上是增函數，若f(a)≥f(

50、2)，則實數a的取值范圍是____________． 角度二　周期性與奇偶性結合 3．(2016·石家莊一模)已知f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數，若f(1)＜1，f(5)＝，則實數a的取值范圍為(　　)A．(－1,4) B．(－2,0) C．(－1,0) D．(－1,2) 角度三　單調性、奇偶性與周期性結合 4．已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數，則(　　) A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25) C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(

51、80)＜f(11) [通關錦囊] 函數基本性質綜合應用的常見題型及求解策略 題型 求解策略 函數單調性與奇偶性結合 注意函數單調性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數圖象的對稱性． 周期性與奇偶性結合 此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行交換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解． 周期性、奇偶性與單調性結合 解決此類問題通常先利用周期性 轉化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調性求解. [題組集訓] (2015·高考山東卷)(1)若函數f(x)＝是奇

52、函數，則使f(x)＞3成立的x的取值范圍為(　　) A．(－∞，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1，＋∞) (2)已知函數f(x)＝則滿足不等式f(1－x2)＞f(2x)的x的取值范圍是________． (3)(2016·北京模擬)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，且當x＞0時，f(x)＝x2－x，則f(x)的解析式為________． 思想方法3　方程思想求函數解析式中參數的值 典例　(2016·鄭州模擬)若函數f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數，則實數a＝________. 即時突破　(2016·洛陽市統考)若函數f(x)＝(k為常數)在定義

53、域內為奇函數，則k的值為(　　) A．1　　　 B．－1　　　C．±1　　　 D．0 [課堂小結] 【方法與技巧】 1．正確理解奇函數和偶函數的定義，必須把握好兩個問題： (1)定義域在數軸上關于原點對稱是函數f(x)為奇函數或偶函數的必要非充分條件； (2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定義域上的恒等式． 2．奇偶函數的定義是判斷函數奇偶性的主要依據．為了便于判斷函數的奇偶性，有時需要先將函數進行化簡，或應用定義的等價形式：f(－x)＝±f(x)?f(－x)±f(x)＝0?＝±1(f(x)≠0)． 3．奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱，反之也

54、成立．利用這一性質可簡化一些函數圖象的畫法，也可以利用它去判斷函數的奇偶性． 【失誤與防范】 1．判斷函數的奇偶性，首先應該判斷函數定義域是否關于原點對稱．定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的一個必要條件． 2．判斷函數f(x)是奇函數，必須對定義域內的每一個x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能說存在x0使f(－x0)＝－f(x0)對于偶函數的判斷以此類推． 3．分段函數奇偶性判定時，要以整體的觀點進行判斷，不可以利用函數在定義域某一區(qū)間上不是奇偶函數而否定函數在整個定義域上的奇偶性． 課時活頁作業(yè)(六) [基礎訓練組] 1．(2015·高考廣東卷)下列函數中，既不是奇函數，也

55、不是偶函數的是(　　) A．y＝ B．y＝x＋ C．y＝2x＋ D．y＝x＋ex 2．(2014·新課標高考全國卷Ⅰ)設函數f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，則下列結論中正確的是(　　)A．f(x)g(x)是偶函數 B．|f(x)|g(x)是奇函數 C．f(x)|g(x)|是奇函數 D．|f(x)g(x)|是奇函數 3．(2016·長春調研)已知函數f(x)＝，若f(a)＝，則f(－a)＝(　　) A. B．－ C. D．－ 4．(2016·朔州模擬)f(x)是R上的奇函數，當x≥0時，f(x)＝x3＋ln(1＋

56、x)，則當x＜0時，f(x)＝(　　) A．－x3－ln(1－x) B．x2＋ln(1－x) C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x) 5．(2016·石獅模擬)定義在R上的函數f(x)滿足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且x∈(－1,0)時，f(x)＝2x＋，則f(log220)＝(　　)A．－1 B. C．1 D．－ 6．(2015·高考新課標卷Ⅰ)若函數f(x)＝x ln(x＋)為偶函數，則a＝________. 7．設定義在[－2,2]上的偶函數f(x)在區(qū)間[0,2]上單調遞減，若f(1－m)＜f(m)，則實數m的取值范

57、圍是______________． 8．函數f(x)＝lg(x≠0，x∈R)，有下列命題： ①f(x)的圖象關于y軸對稱； ②f(x)的最小值是2； ③f(x)在(－∞，0)上是減函數，在(0，＋∞)上是增函數； ④f(x)沒有最大值． 其中正確命題的序號是________．(請?zhí)钌纤姓_命題的序號) 9．已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，且它的圖象關于直線x＝1對稱． (1)求證：f(x)是周期為4的周期函數；(2)若f(x)＝(0＜x≤1)，求x∈[－5，－4]時，函數f(x)的解析式． 10．(2016·柳州模擬)已知函數y＝f(x)在定義域[－1,1]上既是奇函

58、數，又是減函數． (1)求證：對任意x1，x2∈[－1,1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0；(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求實數a的取值范圍． [能力提升組] 11．(2016·濟南模擬)若函數f(x)＝ax2＋(2a2－a－1)x＋1為偶函數，則實數a的值為(　　) A．1　　 B．－　　 C．1或－　　 D．0 12．函數f(x)滿足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，則f(99)等于(　　) A．13 B．2 C. D. 13．(2015·高考新課標卷Ⅱ)設函數f(x)＝ln(1＋|x|)－，則使得f(x)＞f(2x

59、－1)成立的x的取值范圍是(　　) A. B.∪(1，＋∞) C. D.∪ 14．若函數f(x)是定義在R上的偶函數，且在區(qū)間[0，＋∞)上是單調增函數．如果實數t滿足f(lnt)＋f＜2f(1)時，那么t的取值范圍是________． 15．函數f(x)的定義域為D＝{x|x≠0}，且滿足對于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結論； (3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數，求x的取值范圍． 第4節(jié)　指數函數 ◆考綱·了然于胸◆ 1．了解指數函

60、數模型的實際背景． 2．理解有理數指數冪的含義，了解實數指數冪的意義，掌握冪的運算． 3．理解指數函數的概念及其單調性，掌握指數函數圖象通過的特殊點，會畫底數為2,3,10，，的指數函數的圖象． [要點梳理] 1．根式 n次方根 概念 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，n∈N* 性質 當n是奇數時，a的n次方根x＝ 當n是偶數時，正數a的n次方根x＝±(a＞0)；負數的偶次方根沒有意義 0的任何次方根都是0，記作＝0 根式 概念 式子叫做根式，其中n叫做根指數，a叫做被開方數 性質 當n為任意正整數時，()n＝a 當n為奇

61、數時，＝a 當n為偶數時，＝|a|＝ 2．有理數指數冪 概念 正分數指數冪：a＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1) 負分數指數冪：a－＝＝ 0的正分數指數冪等于0；0的負分數指數冪沒有意義 運算性質 ar·as＝ar＋s a＞0，b＞0，r，s∈Q (ar)s＝ars (ab)r＝arbr 3．無理數指數冪 無理數指數冪aα(a＞0，α是無理數)是一個確定的實數．有理數指數冪的運算性質同樣適用于無理數指數冪． 4．指數函數的概念、圖象與性質 函數 y＝ax(a＞0，且a≠1) 圖象 0＜a＜1 a＞1 圖象特征 在x軸上方，過定點(0,1)

62、 當x逐漸增大時，圖象逐漸下降 當x逐漸增大時，圖象逐漸上升 性質 定義域 R 值域 (0，＋∞) 單調性 遞減 遞增 函數值變化規(guī)律 當x＝0時，y＝1 當x＜0時，y＞1；當x＞0時，0＜y＜1 當x＜0時，0＜y＜1；當x＞0時，y＞1 質疑探究： 如圖是指數函數(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數a，b，c，d與1之間的大小關系如何？你能得到什么規(guī)律？ [小題查驗] 1．若函數f(x)＝是R上的增函數，則實數a的取值范圍為(　　) A．(1，＋∞)　　 B．(1,8) C．(4,8) D．[

63、4,8) 2．設函數f(x)＝a－|x|(a＞0，且a≠1)，f(2)＝4，則(　　) A．f(－2)＞f(－1) B．f(－1)＞f(－2) C．f(1)＞f(2) D．f(－2)＞f(2) 3．若函數y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上為減函數，則實數a的取值范圍是________． 4．下面結論正確的是________．(請在橫線上寫出所有正確命題的序號) ①(＝－4. ②(－1)＝(－1)＝. ③函數y＝3·2x與y＝2x＋1都不是指數函數．④已知函數f(x)＝4＋ax－1(a＞0且a≠1)的圖象恒過定點P(1,5)．

64、⑤函數y＝a－x是R上的增函數． ⑥若am＜an(a＞0且a≠1)，則m＜n. 考點一　根式與有理數指數冪的運算(基礎型考點——自主練透) [方法鏈接] 指數冪運算的一般原則： (1)有括號的先算括號里的，無括號的先做指數運算． (2)先乘除后加減，負指數冪化成正指數冪的倒數． (3)底數是負數，先確定符號；底數是小數，先化成分數；底數是帶分數的，先化成假分數． (4)若是根式，應化為分數指數冪，盡可能用冪的形式表示，運用指數冪的運算性質來解答． 提醒：運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數． [題組集訓] 1．下列等式能夠成立的

65、是(　　) A.5＝mn5 B.＝ C.＝(x＋y) D.＝ 2．求值與化簡： (1)(0.027)－－－2＋－(－1)0； (2)－·. 考點二　指數函數的圖象及應用(重點型考點——師生共研) 【例】　(1)函數f(x)＝1－e|x|的圖象大致是(　　) (2)(2016·煙臺模擬)函數f(x)＝ax－b的圖象如圖，其中a，b為常數，則下列結論正確的是(　　) A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0 (3)若存在正數x使2x(x－a)＜1成立，則a的取值范圍是(　　) A．(－∞，＋∞)

66、 B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞) 【名師說“法”】 指數函數圖象可解決的兩類熱點問題及思路： (1)求解指數型函數的圖象與性質問題:對指數型函數的圖象與性質問題(單調性、最值、大小比較、零點等)的求解往往利用相應指數函數的圖象，通過平移、對稱變換得到其圖象，然后數形結合使問題得解． (2)求解指數型方程、不等式問題一些指數型方程、不等式問題的求解，往往利用相應指數型函數圖象數形結合求解． 提醒：應用指數函數的圖象解決指數方程、不等式問題以及指數型函數的性質，要注意畫出圖象的準確性，否則數形結合得到的可能為錯誤結論． 跟蹤訓練 1．函數y＝ax－(a＞0，且a≠1)的圖象可能是(　　) 2．(2015·衡水模擬)若曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點，則b的取值范圍是________． 考點三　指數函數的性質及應用(高頻型考點——全面發(fā)掘) [考情聚焦] 高考常以選擇題或填空題的形式考查指數函數的性質及應用，難度偏小，屬中低檔題． 歸納起來常見的命題角度有： (1)比較指數式的大??； (2)簡單的指數方程或不等式的