高中數(shù)學新課程創(chuàng)新教學設計案例 23 直線方程的幾種形式

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1、23 直線方程的幾種形式 教材分析 這節(jié)內(nèi)容介紹了直線方程的幾種主要形式：點斜式、兩點式和一般式，并簡單介紹了斜截式和截距式．直線方程的點斜式是其他直線方程形式的基礎，因此它是本節(jié)學習的重點．在推導直線方程的點斜式時，要使學生理解：（1）建立點斜式的主要依據(jù)是，經(jīng)過直線上一個定點與這條直線上任意一點的直線是唯一的，其斜率等于k．（2）在得出方程后，要把它變成方程y－y1＝k（x－x1）．因為前者表示的直線缺少一個點P1（x1，y1），而后者才是這條直線的方程．（3）當直線的斜率不存在時，不能用點斜式求它的方程，這時的直線方程為x＝x1．在學習了點斜式的基礎上，進一步介紹直線方程的其他幾種形

2、式：斜截式、兩點式、截距式和一般式，并探索它們的適用范圍和相互聯(lián)系與區(qū)別．通過研究直線方程的幾種形式，指出它們都是關(guān)于x，y的二元一次方程，然后從兩個方面進一步研究直線和二元一次方程的關(guān)系，使學生明確一個重要事實：在平面直角坐標系中，任何一條直線的方程，都可以寫成關(guān)于x，y的一次方程；反過來，任何一個關(guān)于x，y的一次方程都表示一條直線，為以后繼續(xù)學習“曲線和方程”打下基礎．因為這部分內(nèi)容較為抽象，所以它是本節(jié)學習的難點． 教學目標 1. 在“直線與方程”和直線的斜率基礎上，引導學生探索由一個點和斜率推導出直線方程，初步體會直線方程建立的方法． 2. 理解和掌握直線方程的點斜式，并在此基礎

3、上研究直線方程的其他幾種形式，掌握它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程． 3. 理解直線和二元一次方程的關(guān)系，并能用直線方程解決和研究有關(guān)問題． 4. 通過直線方程幾種形式的學習，初步體會知識發(fā)生、發(fā)展和運用的過程，培養(yǎng)學生多向思維的能力． 任務分析 這節(jié)內(nèi)容是在學習了直線方程的概念與直線的斜率基礎上，具體地研究直線方程的幾種形式，而這幾種形式的關(guān)鍵是推導點斜式方程．因此，在推導點斜式方程時，要使學生理解：已知直線的斜率和直線上的一個點，這條直線就確定了，進而直線方程也就確定了．求直線方程就是把直線上任一點用斜率和直線上已知點來表示，這樣由兩點的斜率公式即可推出直線的點

4、斜式方程．在直線的點斜式方程基礎上，由學生推出直線方程的其他幾種形式，并使學生明確直線方程各種形式的使用范圍，以及它們之間的聯(lián)系與區(qū)別．對于直線和方程的一一對應關(guān)系是本節(jié)課的難點，在論證直線和方程的關(guān)系時，一方面分斜率存在與斜率不存在兩類，另一方面又分B≠0與B＝0兩類．這種“兩分法”的分類，科學嚴密，可培養(yǎng)學生全面系統(tǒng)和周密地討論問題的能力． 教學設計 一、問題情境 飛逝的流星形成了一條美麗的弧線，這條弧線可以看作滿足某種條件的點的集合．在平面直角坐標系中，直線也可以看作滿足某種條件的點的集合．為研究直線問題，須要建立直線的方程．直線可由兩點唯一確定，也可由一個點和一個方向來確定．如果

5、已知直線上一個點的坐標和斜率，那么如何建立這條直線的方程呢？ 二、建立模型 1. 教師提出一個具體的問題若直線l經(jīng)過點A（－1，3），斜率為－2，點P在直線l上運動，那么點P的坐標滿足什么條件？ 設點P的坐標為（x，y），那么當P在直線l上運動時（除點A外），點P與定點A確定的直線就是l，它的斜率恒為－2，所以＝－2，即2x＋y－1＝0． 顯然，點A（－1，3）滿足此方程，因此，當點P在直線l上運動時，其坐標（x，y）滿足方程2x＋y－1＝0． 2. 教師明晰一般地，設直線l經(jīng)過點P1（x1，y1），且斜率為k，對于直線l上任意一點P（x，y）（不同于點P1），當點P在直線l上運動時

6、，PP1的斜率始終為k，則，即y－y1＝k（x－x1）． 可以驗證：直線l上的每個點（包括點P1）的坐標都是這個方程的解；反過來，以這個方程的解為坐標的點都在直線l上，這個方程就是過點P1、斜率為k的方程，我們把這個方程叫作直線的點斜式方程． 當直線l與x軸垂直時，斜率不存在，其方程不能用點斜式表示，但因為直線l上每一點的橫坐標都等于x1，所以它的方程是x＝x1． 思考：（1）方程與方程y－y1＝k（x－x1）表示同一圖形嗎？ （2）每一條直線都可用點斜式方程表示嗎？ ［例　題］ 求滿足下列條件的直線方程． （1）直線l1：過點（2，5），k＝－1． （2）直線l2：過點（0，

7、1），k＝－. （3）直線l3：過點（2，1）和點（3，4）． （4）直線l4：過點（2，3）平行于y軸． （5）直線l5：過點（2，3）平行于x軸． 參考答案：（1）x＋y－7＝0．（2）y＝－x＋1．（3）3x－y－5＝0．（4）x＝2．（5）y＝3． ［練　習］ 求下列直線方程． （1）已知直線l的斜率為k，與y軸的交點P（0，b）． （如果直線l的方程為y＝kx＋b，則稱b是直線l在y軸上的截距，這個方程叫直線的斜截式方程） （2）已知直線l經(jīng)過兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2）． （如果直線l的方程為y－y1＝（x－x1），（x1≠x2），則這個方程叫直線

8、的兩點式方程） （3）已知直線l經(jīng)過兩點A（ａ，0），B（0，b），其中ab≠0． （如果直線l的方程為，（ab≠0），則a，b分別稱為直線l在x軸、y軸上的截距，這個方程叫直線的截距式方程） 進一步思考討論：前面所學的直線方程的幾種形式都是關(guān)于x，y的二元一次方程，那么任何一條直線的方程是否為關(guān)于x，y的二元一次方程？反過來，關(guān)于x，y的二元一次方程都表示一條直線嗎？ 通過學生討論后，師生共同明晰： 在平面直角坐標系中，每一條直線的方程都是關(guān)于x，y的二元一次方程． 事實上，當直線斜率存在時，它的方程可寫成y＝kx＋b，它可變形為kx－y＋b＝0，若設A＝k，B＝－1，C＝b，它

9、的方程可化為Ax＋By＋C＝0；當直線斜率不存在時，它的方程可寫成x＝x1，即x－x1＝0，設A＝1，B＝0，C＝－x1，它的方程可化為Ax＋By＋C＝0．即任何一條直線的方程都可以表示為Ax＋By＋C＝0；反過來，關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0，（A，B不全為0）的圖像是一條直線． 事實上，對于方程Ax＋By＋C＝0，（A，B不全為0），當B≠0時，方程可化為y＝－x－，它表示斜率為－，在y軸上截距為－的直線；當B＝0時，A≠0，方程可化為x＝－，它表示一條與ｙ軸平行或重合的直線． 綜上可知：在平面直角坐標系中，直線與關(guān)于x，y的二元一次方程是一一對應的．我們把方程Ax＋By

10、＋C＝0，（A，B不全為0）叫作直線的一般式方程． 三、解釋應用 ［例　題］ 1. 已知直線l通過點（－2，5），且斜率為－． （1）求直線的一般式方程． （2）求直線在x軸、y軸上的截距． （3）試畫出直線l．解答過程由學生討論回答，教師適時點撥． 2. 求直線l：2x－3y＋6＝0的斜率及在x軸與y軸上的截距． 解：已知直線方程可化為y＝x＋2，所以直線l的斜率為，在y軸上的截距為2．在方程2x－3y＋6＝0中，令y＝0，得x＝－3，即直線在x軸上的截距為－3． ［練　習］ 1. 求滿足下列條件的直線方程，并畫出圖形． （1）過原點，斜率為－2． （2）過點（0，3

11、），（2，1）． （3）過點（－2，1），平行于x軸． （4）斜率為－1，在y軸上的截距為5． （5）在x軸、y軸上的截距分別為3，－5． 2. 求過點（3，－4），且在兩條坐標軸上的截距相等的直線方程． 3. 設直線l的方程為（m2－2m－3）x＋（2m2＋m－1）y＝2m－6，根據(jù)下列條件確定m的值． （1）直線l在x軸上的截距為－3． （2）直線l的斜率為1． （3）直線l與兩坐標軸圍成的三角形的面積為10． 四、拓展延伸 1. 在直線方程y－1＝k（x－1）中，k取所有實數(shù)，可得到無數(shù)條直線，這無數(shù)條直線具有什么共同特點？ 2. 在直線方程Ax＋By＋C＝0中，當

12、A，B，C分別滿足什么條件時，直線有如下性質(zhì)： （1）過坐標原點．　　　　（2）與兩坐標軸都相交． （3）只與x軸相交．　　　 （4）只與y軸相交． （5）與x軸重合．　　　　 （6）與y軸重合． 3. 直線方程的一般式與幾種特殊形式有什么區(qū)別與聯(lián)系？你能說明它們的適用范圍以及相互轉(zhuǎn)化的條件嗎？ 參考答案： 1. 直線過點（1，1），它不包括直線x＝1． 2. （1）C＝0．A，B不全為0；　　　　 （2）A，B都不為0． （3）A≠0，B＝0，C≠0．　　　　　　 （4）A＝0，B≠0，C≠0． （5）A＝0，B≠0，C＝0．　　　　　 ?。?）A≠0，B＝0，C＝0．

13、3. 略． 點　評 這篇案例在直線與方程和直線的斜率基礎上，通過實例探索出過一點且斜率已知的直線的方程，然后按照由特殊到一般的方程建立了直線的點斜式方程，在點斜式方程的基礎上由學生自主的探究出直線方程的其他形式，并研究了幾種直線方程的聯(lián)系與區(qū)別以及它們的適用范圍．在案例的設計上注意了知識的發(fā)生、發(fā)展和適用的過程．在例題與練習的設計上，注意了層次性和知識的完整性的結(jié)合，在培養(yǎng)學生的能力上，注意了數(shù)學的本質(zhì)是數(shù)學思維過程的教學，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、化歸、轉(zhuǎn)化、抽象、概括以及函數(shù)與方程的思想．在培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識、探索研究、分析解決問題的能力等方面，做了一些嘗試，體現(xiàn)了新課程的教學理念，能夠較好地完成本節(jié)的教育教學任務．