2013-2017高考數學分類匯編-第十二章第1節(jié) 概率及其計算

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1、 第十二章 概率與統(tǒng)計 第一節(jié) 概率及其計算 題型136 古典概型 2013年 1. （2013江西文4）集合，，,從中各取任意一個數，則這兩數之和 等于 的概率是（ ）. A． B. C. D. 2. (2013安徽文5）若某公司從五位大學畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的 機會均等，則甲或乙被錄用的概率為（ ）. A. B. C. D. 3.（2013江蘇7）現在某類病毒記作，其中正整數，（，）可以任意選取，則都取到奇數的

2、概率為 . 4. （2013浙江文12） 從三男三女名學生中任選名（每名同學被選中的概率均相等），則 名都是女同學的概率等于_________. 5. (2013重慶文13）若甲、乙、丙三人隨機地站成一排，則甲、乙兩人相鄰而站的概率為 . 6．（2013江西文18）小波已游戲方式決定是去打球、唱歌還是去下棋.游戲規(guī)則為以為起點，再從（如圖）這個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量，記住這兩個向量 的數量積為，若就去打球，若就去唱歌，若就去下棋. （1）寫出數量積X的所有可能取值 （2）分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率

3、 7.（2013山東文17）某小組共有五位同學，它們的身高（單位：米）及體重指標（單位：）如下表所示： 身高 體重指標 （1）從該小組身高低于的同學中任選人，求選到的人身高都在以下的概率； （2）從該小組同學中任選人，求選到的人的身高都在1.70以上且體重指標都在中的概率． 8. (2013天津文15）某產品的三個質量指標分別為， 用綜合指標評價該產品的等級. 若， 則該產品為一等品. 現從一批該產品中， 隨機抽取件產品作為樣本， 其質量指標列表如下： 產品編號 質量指標

4、 產品編號 質量指標 （1）利用上表提供的樣本數據估計該批產品的一等品率； （2）在該樣品的一等品中， 隨機抽取件產品， (i) 用產品編號列出所有可能的結果； (ii) 設事件為 “在取出的件產品中， 每件產品的綜合指標都等于”， 求事件發(fā)生的概率. 9. (2013陜西文19）有位歌手（至號）參加一場歌唱比賽，由名大眾評委現場投票決定歌手名次，根據年齡將大眾評委分為組，各組的人數如下： 組別 人數 （1）為了調查評委對位歌手的支持狀況，，現用分層抽樣方法從各組中抽取若干評

5、委，其中從組中抽取了人. 請將其余各組抽取的人數填入下表. 組別 人數 抽取人數 （2）在（1）中，若兩組被抽到的評委中各有人支持號歌手， 現從這兩組被抽到的評委中分別任選人，求這人都支持號歌手的概率. 10. （2013遼寧文19）現有道題，其中道甲類題，道乙類題，張同學從中任取道題解答.試求： （1）所取的道題都是甲類題的概率； （2）所取的道題不是同一類題的概率. 2014年 1.（2014江西文3）擲兩顆均勻的骰子，則點數之和為的概率等于（ ） A. B.

6、 C. D. 2.（2014陜西文6）從正方形四個頂點及其中心這個點中，任取個點，則這個點的距離小于該正方形邊長的概率為（ ）. A. B. C. D. 3.（2014大綱文7）有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組，則不同的選法共有（ ）. A．60種 B．70種 C．75種 D．150種 4.（2014湖北文5）隨機擲兩枚質地均勻的骰子，它們向上的點數之和不超過的概率記為，點數之和大于的概率記為，點數之和為偶數的

7、概率記為，則（ ）. A． B．　　 　 C． D． 5.（2014新課標Ⅱ文13）甲、已兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍種顏色的運動服中選擇種，則他們選擇相同顏色運動服的概率為 . 6.（2014浙江文14）在張獎券中有一、二等獎各張，另張無獎，甲、乙兩人各抽取張，兩人都中獎的概率是______________. 7.（2014新課標Ⅰ文13）將本不同的數學書和本語文書在書架上隨機排成一行，則本數學書相鄰的概率為 . 8. （2014廣東文12）從字母中任取兩個不同字母，則取到字母的概率為____

8、____. 9.（2014江蘇4）從這個數中一次隨機地取個數，則所取個數的乘積為的概率 是 ． 10.（2014陜西文19）某保險公司利用簡單隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結果統(tǒng)計如表所示： 賠付金額（元） 車輛數（輛） （1）若每輛車的投保金額均為2800元，估計賠付金額大于投保金額的概率； （2）在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為400

9、0元的概率. 11. （2014山東文16）海關對同時從三個不同地區(qū)進口的某種商品進行抽樣檢測，從各地區(qū)進口此種商品的數量（單位：件）如表所示. 工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取件樣品進行檢測. 地區(qū) 數量 （1）求這件樣品中來自各地區(qū)商品的數量； （2）若在這件樣品中隨機抽取件送往甲機構進行進一步檢測，求這件商品來自相同地區(qū)的概率. 12.（2014福建文20）根據世行2013年新標準，人均GDP低于1035美元為低收入國家；人均GDP為1035-4085元為中等偏下收入國家；人均GDP為4085-12616美元為中等偏上收入國家；人均GDP不低

10、于12616美元為高收入國家.某城市有5個行政區(qū)，各區(qū)人口占該城市人口比例及人均GDP如表所示： 行政區(qū) 區(qū)人口占城市人口比例 區(qū)人均GDP（單位：美元） A 25% 8000 B 30% 4000 C 15% 6000 D 10% 3000 E 20% 10000 （1）判斷該城市人均GDP是否達到中等偏上收入國家標準； （2）現從該城市5個行政區(qū)中隨機抽取2個，求抽到的2個行政區(qū)人均GDP都達到中等偏上收入國家標準的概率. 13.（2014湖南文17）某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，為了比較他們的研發(fā)水平，現隨機抽取這兩個小組往年研發(fā)新產品的結

11、果如下： . 其中分別表示甲組研發(fā)成功和失??；分別表示乙組研發(fā)成功和失敗. （1）若某組成功研發(fā)一種新產品，則給該組記分，否則記分，試計算甲、乙兩組研發(fā)新產品的成績的平均數和方差，并比較甲、乙兩組的研發(fā)水平； （2）若該企業(yè)安排甲、乙兩組各自研發(fā)一種新產品，試估計恰有一組研發(fā)成功的概率. 14.（2014天津文15）某校夏令營有名男同學和名女同學，其年級情況如表所示： 一年級 二年級 三年級 男同學 女同學

12、 現從這名同學中隨機選出人參加知識競賽（每人被選到的可能性相同） （1）用表中字母列舉出所有可能的結果； （2）設為事件“選出的人來自不同年級且恰有名男同學和名女同學”，求事件發(fā)生的概率. 15.（2014四川文16） 一個盒子里裝有三張卡片，分別標記有數字，，，這三張卡片除標記的數字外完全相同.隨機有放回地抽取次，每次抽取張，將抽取的卡片上的數字依次記為，，. （1）求“抽取的卡片上的數字滿足”的概率； （2）求“抽取的卡片上的數字，，不完全相同”的概率. 2015年 1.（2015廣東文7） 已知件產品中有件次品，其余為合格品．現從這件產品中任取件，恰有

13、一件次品的概率為（ ）. A． B． C． D． 1. 解析 件產品中有件次品，分別記為，，有件合格品，分別記為，，， 則從這件產品中任取件，其基本事件有：，，，，， ，，，，，共種. 其中恰有一件次品的基本事件，有種，設事件為“恰有一件次品”，則. 故選B． 評注 本題考查古典概型． 2.（2015全國Ⅰ文4）如果3個正整數可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個 數為一組勾股數.從中任取3個不同的數，則這3個數構成一組勾股數的概率為 （ ）. A. B.

14、 C. D. 2. 解析 由，，可知只有是一組勾股數. 從中任取3個不同的數，其基本事件有：， ，，共種. 則從中任取3個不同的數，則這3個數構成一組勾股數的概率.故選C. 3. （2015北京文17）某超市隨機選取位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成下統(tǒng)計表，其中“√”表示購買，“×”表示未購買. 商品 顧客人數 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ ×

15、× × 98 × √ × × （1）估計顧客同時購買乙和丙的概率 （2）估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率 （3）如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？ 3. 解析 （1）依題意，顧客同時購買乙和丙的概率為； （2）顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率為； （3）顧客在購買了甲，同時購買乙商品的概率為； 顧客在購買了甲，同時購買丙商品的概率為； 顧客在購買了甲，同時購買丁商品的概率為. 由此，如果顧客購買了甲，該顧客同時購買丙商品的可能性最大. 4.（2015湖南文16）某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定

16、金額的商品后即可抽獎，抽 獎方法是：從裝有2個紅球，和1個白球的甲箱與裝有2個紅球，和2個白 球，的乙箱中，各隨機摸出1個球，若摸出的2個球都是紅球則中獎，否則不中獎. （1）用球的標號列出所有可能的摸出結果； （2）有人認為：兩個箱子中的紅球比白球多，所以中獎的概率大于不中獎的概率，你認為正確嗎？請說明理由. 4. 解析 （1）所有可能的摸出結果是： . （2）不正確，理由如下： 由（1）知，所有可能的摸出結果共12種，其中摸出的2個球都是紅球的結果為： 共4種，所以中獎的概率為， 不中獎的概率為，故這種說法不正確. 5.（2015山東文16）某中學調查了某班全部名同

17、學參加書法社團和演講社團的情況，數據如表所示：（單位：人）. 參加書法社團 未參加書法社團 參加演講社團 未參加演講社團 （1）從該班隨機選名同學，求該同學至少參加上述一個社團的概率； （2）在既參加書法社團又參加演講社團的名同學中，有名男同學名女同學. 現從這名男同學和名女同學中各隨機選人，求被選中且未被選中的概率. 5. 解析 （1）作出滿足題中圖表的韋恩圖，如圖所示. 由圖可知，既未參加書法社團又未參加演講社團的有人， 故至少參加上述一個社團的共有（人），所以從該班隨機選名同學，該同學至少參加上述一 個社團的概率為. （2）從這名男同學和名女同

18、學中各隨機選人， 其一切可能的結果組成的基本事件有：， ，共個. 且這些基本事件出現的可能性是均等的. 事件“被選中且未被選中”所包含的基本事件有：，共個. 因此被選中且未被選中的概率為. 6.（2015陜西文19）隨機抽取一個年份，對西安市該年4月份的天氣情況進行統(tǒng)計，結果如下： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 天氣 晴 雨 陰 陰 陰 雨 陰 晴 晴 晴 陰 晴 晴 晴 晴 日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

19、 26 27 28 29 30 天氣 晴 陰 雨 陰 陰 晴 陰 晴 晴 晴 陰 晴 晴 晴 雨 （1）在4月份任取一天，估計西安市在該天不下雨的概率； （2）西安市某學校擬從4月份的一個晴天開始舉行連續(xù)2天的運動會，估計運動會期間不下雨的概率. 6. 解析 (1)在容量為的樣本中，從表格中得，不下雨的天數是， 以頻率估計概率，月份任選一天，西安市不下雨的概率是. (2)稱相鄰兩個日期為“互鄰日期對”（如日與日，日與日等）， 這樣在月份中，前一天為晴天的互鄰日期對有對，其中后一天不下雨的有個， 所以晴天的次日不下雨的頻率為， 以頻率估計概

20、率，運動會期間不下雨的概率為. 7.（2015四川文17）一輛小客車上有5個座位，其座位號為1，2，3，4，5，乘客，，，，的座位號分別為1，2，3，4，5，他們按照座位號順序先后上車，乘客因身體原因沒有坐自己號座位，這時司機要求余下的乘客按以下規(guī)則就坐：如果自己的座位空著，就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就坐，就在這5個座位的剩余空位中選擇座位. （1）若乘客坐到了3號座位，其他乘客按規(guī)則就座，則此時共有4種坐法.下表給出其中兩種坐法，請?zhí)钊胗嘞聝煞N坐法（將乘客就坐的座位號填入表中空格處）. 乘客 座位號 3 2[ 1 4 5[ 3

21、2 4 5 1 （2）若乘客坐到了2號座位，其他乘客按規(guī)則就坐，求乘客坐到5號座位的概率. 7. 分析 本題主要考查隨機事件的概率、古典概型等概念及相關計算，考查運用概率知識與方法分析和解決問題的能力，考查推理論證能力、應用意識. 解析 （1）余下兩種坐法如表所示. 乘客 座位號 3 2 4 1 5 3 2 5 4 1 （2）若乘客坐到了2號座位，其他乘客按規(guī)則就坐. 則所有可能坐法如表所示. 乘客 座位號 2 1 3 4 5 2 3 1 4

22、5 2 3 4 1 5 2 3 4 5 1 2 3 5 4 1 2 4 3 1 5 2 4 3 5 1 2 5 3 4 1 由表可知，所有可能得坐法共8種. 設“乘客坐到5號座位”為事件，則事件中的基本事件的個數為4. 所以.故乘客坐到5號座位的概率為. 8.（2015天津文15）設甲、乙、丙三個乒乓球協(xié)會的運動員人數分別為 ， ， ，先采用分層抽樣的方法從這三個協(xié)會中抽取6名運動員參加比賽. （1）求應從這三個協(xié)會中分別抽取的運動員人數； （2）將抽取的6名運動員進行編號，編號分別為，從這6名運動員中隨機抽取2名參加

23、雙打比賽. （i）用所給編號列出所有可能的結果； （ii）設為事件“編號為，的兩名運動員至少有一人被抽到”，求事件發(fā)生的概率. 8. 解析（1）應從甲、乙、丙這三個協(xié)會中分別抽取的運動員人數分別為3，1，2； （2）（i）從這6名運動員中隨機抽取2名參加雙打比賽，所有可能的結果為， ，，，，，，，， ，，，，，，共15種. （ii）編號為的兩名運動員至少有一人被抽到的結果為，， ， ， ，，，，，共9種， 所以事件A發(fā)生的概率 9.（2015福建文18）全網傳播的融合指數是衡量電視媒體在中國網民中影響力的綜合指標．根據相關報道提供的全網傳播年某全國性大型活動的“省級衛(wèi)

24、視新聞臺”融合指數的數據，對名列前名的“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合指數進行分組統(tǒng)計，結果如表所示． 組號 分組 頻數[來源:學&科&網] 1 2 2 8 3 7 4 3 （1）現從融合指數在和內的“省級衛(wèi)視新聞臺”中隨機抽取2家進行調研，求至少有1家的融合指數在內的概率； （2）根據分組統(tǒng)計表求這家“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合指數的平均數． 9. 分析 （1）融合指數在和內的“省級衛(wèi)視新聞臺”共5家，從中隨機抽取2家，寫出所有的基本事件，共種，其中至少有1

25、家的融合指數在包含的基本事件數為9個，代入古典概型的概率計算公式即可；（2）每組區(qū)間的中點乘該組的頻率值再累加，得到這家“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合指數的平均數. 解析（1）解法一：融合指數在內的“省級衛(wèi)視新聞臺”分別記為，，； 融合指數在內的“省級衛(wèi)視新聞臺”分別記為，． 從融合指數在和內的“省級衛(wèi)視新聞臺”中隨機抽取2家的所有基本事件有： ，，，，，，，，， ，共個． 其中，至少有1家融合指數在內的基本事件是有：，，， ，，，，，，共個． 所以所求的概率． 解法二：融合指數在內的“省級衛(wèi)視新聞臺”分別記為，，； 融合指數在內的“省級衛(wèi)視新聞臺”分別記為，． 從融合指數在和

26、內的“省級衛(wèi)視新聞臺”中隨機抽取2家的所有基本事件有： ，，，，，，，，， ，共個． 其中，沒有1家融合指數在內的基本事件有：，共個． 所以所求的概率． （2）這家“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合指數平均數為： ． 評注 1. 考查古典概型；2. 考查平均值． 2016年 1.（2016全國丙文5）小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是，，中的一個字母，第二位是1，2，3，4，5,中的一個數字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是（ ）. A. B. C. D. 1

27、. C 解析 前2位共有種可能，其中只有1種是正確的密碼，因此所求概率為.故選C. 2.（2016北京文6）從甲、乙等名學生中隨機選出人，則甲被選中的概率為（ ）. A. B. C. D. 2. B. 解析 可設這5名學生分別是甲、乙、丙、丁、戊，從中隨機選出2人的方法有： （甲，乙），（甲，丙），（甲，?。?，（甲，戊），（乙，丙），（乙，?。?，（乙，戊），（丙，?。ū?，戊），（丁，戊），共有種選法，其中只有前4種是甲被選中，所以所求概率為.故選B. 3.（2016全國乙文3）為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫種顏

28、色的花中任選種花種在一個花壇中，余下的種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是（ ）. A. B. C. D. 3. C解析 只需考慮分組即可，分組（只考慮第一個花壇中的兩種花）情況為（紅，黃），（紅，白），（紅，紫），（黃，白），（黃，紫），（白，紫），共種情況，其中符合題意的情況有種，因此紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是.故選C. 4.（2016江蘇7）將一顆質地均勻的骰子（一種各個面上分別標有個點的正方體玩具）先后拋擲次，則出現向上的點數之和小于的概率是 . 4. 解析

29、 將先后兩次點數記為，則基本事件共有（個）， 其中點數之和大于等于有，共種， 則點數之和小于共有種，所以概率為. 5.（2016四川文13）從，，，任取兩個不同的數值，分別記為，，則為整數的概率為 . 5. 解析 從，，，中任取兩個數記為，作為對數的底數與真數，共有個不同的基本事件，其中為整數的只有，兩個基本事件，所以其概率. 6.（2016上海文11）某食堂規(guī)定，每份午餐可以在四種水果中任選兩種，則甲、乙兩同學各自所選的兩種水果相同的概率為 . 6. 解析 假設水果編號分別為，則甲的選擇可以是 ，共種，乙的選擇也有種，故共有基本事件

30、（個）； 而“甲、乙兩同學各自所選的兩種水果相同”共有事件個，故所求概率為. 評注 此題類似考查甲乙兩人拋擲六面的骰子，則正面朝上的數字一樣的概率為多少？ 2017年 1.（2017全國2卷文11）從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數大于第二張卡片上的數的概率為（ ）. A. B. C. D. 1.解析 如下表所示，表中的點橫坐標表示第一次取到的數，縱坐標表示第二次取到的數. 1 2 3 4 5 1

31、 2 3 4 5 總計有25種情況，滿足條件的有10種，所以所求概率為.故選D. 2.（2017山東卷文16）某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家，，和3個歐洲國家，，中選擇2個國家去旅游. （1）若從這6個國家中任選2個，求這2個國家都是亞洲國家的概率； （2）若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，求這2個國家包括但不包括的概率. 2.解析 (1)由題意知，從6個國家中任選2個國家，其一切可能的結果組成的基本事件有： 共15個， 所選2個國家都是亞洲國家的事件所包含的基本事件有：，共

32、3個， 則所求事件的概率為. (2) 從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，其一切可能的結果組成的基本事件有：，共9個， 包括但不包括的事件所包含的基本事件有：共2個. 則所求事件的概率為. 3.（2017天津卷文3）有5支彩筆（除顏色外無差別），顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為（ ）. A. B. C. D. 3.解析 從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，列舉如下：（紅，黃），（紅，藍），（紅，綠），（紅，紫），（黃，藍），（黃，

33、綠），（黃，紫），（藍，綠），（藍，紫），（綠，紫），共10個基本事件，其中，取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的事件有（紅，黃），（紅，藍），（紅，綠），（紅，紫），共4個基本事件，所以.故選C． 題型137 幾何概型 2013年 1. (2013湖南文9）已知事件“在矩形的邊上隨機取一點，使的最大邊是” 發(fā)生的概率為，則（ ）. A. B. C. D. 2.（2013湖北文15）在區(qū)間上隨機地取一個數x，若x滿足的概率為，則 ． 3. (2013福建文14） 利用

34、計算機產生之間的均勻隨機數，則事件“”發(fā)生的 概率為 . 2014年 1.（2014湖南文5）在區(qū)間上隨機選取一個數，則的概率為（ ）. A. B. C. D. 2.（2014遼寧文6）若將一個質點隨機投入如圖所示的長方形中，其中，，則質點落在以為直徑的半圓內的概率是（ ） A． B． C． D． 3.（2014重慶文15）某校早上8：00開始上課，假設該校學生小張與小王在早上7:30~7:50之間到校，且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的

35、，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為_________（用數字作答）. ? 4.（2014福建文13）如圖所示，在邊長為1的正方形中，隨機撒1000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據此估計陰影部分的面積為 . 2015年 1.（2015福建文8）如圖所示，在矩形中，點在軸上，點的坐標為． 且點與點在函數的圖像上．若在矩形內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于（ ）. A． B． C． D． 1. 解析 設與軸的交點為.由已知可得，，，， 則矩形的面積為，陰影部分的面積. 所以此

36、點取自陰影部分的概率等于.故選B. 2.（2015陜西文12）設復數，若，則的概率為（ ） A. B. C. D. 2. 解析 . 如圖所示，可求得，， 陰影面積等于. 若，則的概率為 .故選C. 3.（2015湖北文8）在區(qū)間上隨機取兩個數，，記為事件“”的概率，為事件“”的概率，則（ ）. A． B． C． D． 3. 解析 依次為三個圖形的面積，觀察知，選B.也可作如下的計算： 因為正方形的面積為，所以由圖（1）得， 由圖（2）得， ，，

37、三個值比較得.故選D. 2016年 1.（2016全國甲文8）某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現，紅燈維持時間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現綠燈的概率為（ ）. A. B. C. D. 1. B 解析 概率.故選B. 2017年 1.（2017全國1文4）如圖所示，正方形內的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是（ ）. A. B. C. D. （修圖：黑色魚中的圓圈是白色） 1.解析 不妨設正方形邊長為，由圖形的對稱性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即各占圓面積的一半.由幾何概型概率的計算公式得，所求概率為.故選B.