【名校資料】高考數(shù)學理一輪資源庫第八章 第2講平面的基本性質與異面直線

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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學學習資料◆+◆◆ 第2講 平面的基本性質與異面直線 一、填空題 1.給出下列四個命題: ①經過三點確定一個平面; ②梯形可以確定一個平面; ③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面; ④如果兩個平面有三個公共點,則這兩個平面重合. 其中正確命題的序號為________. 解析?、佗苠e誤,②③正確. 答案?、冖? 2.已知m,n是兩條不同的直線,α,β為兩個不同的平面,有下列四個命題: ①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,則α⊥β;②若m∥α,n∥β,m⊥n,則α∥β;③若m⊥α, n∥β,m⊥n,則α∥β;④若m⊥α,n∥β,α∥β,則m⊥n. 其中所

2、有正確的命題是________. 解析 我們借助于長方體模型來解決本題.對于①,可以得到平面α,β互相垂直,如圖(1)所示,故①正確;對于②,平面α、β可能垂直,如圖(2)所示;對于③,平面α、β可能垂直,如圖(3)所示;對于④,由m⊥α,α∥β可得m⊥β,因為n∥β,所以過n作平面γ,且γ∩β=g,如圖(4)所示,所以n與交線g平行,因為m⊥g,所以m⊥n. 答案 ①④ 3.如圖,矩形ABCD中,AB=2,BC=4,將△ABD沿對角線BD折起到△A′BD的位置,使點A′在平面BCD內的射影點O恰好落在BC邊上,則異面直線A′B與CD所成角的大小為________. 解析 如

3、題圖所示, 由A′O⊥平面ABCD, 可得平面A′BC⊥平面ABCD, 又由DC⊥BC可得DC⊥平面A′BC,DC⊥A′B, 即得異面直線A′B與CD所成角的大小為90°. 答案 90° 4.若P是兩條異面直線l,m外的任意一點,則給出四個命題: ①過點P有且僅有一條直線與l,m都平行; ②過點P有且僅有一條直線與l,m都垂直; ③過點P有且僅有一條直線與l,m都相交; ④過點P有且僅有一條直線與l,m都異面; 上述命題中正確的是________(填序號). 解析 對于①,若過點P有直線n與l,m都平行,則l∥m,這與l,m異面矛盾. 對于②,過點P與l、m都垂直的

4、直線,即過P且與l、m的公垂線段平行的那一條直線. 對于③,過點P與l、m都相交的直線有一條或零條. 對于④,過點P與l、m都異面的直線可能有無數(shù)條. 答案 ② 5. 在正方體ABCD -A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是AB1,BC1的中點,則以下結論:①EF與CC1垂直;②EF與BD垂直;③EF與A1C1異面;④EF與AD1異面,其中不成立的序號是________. 解析 連結A1B,在△A1BC1中,EF∥A1C1,所以①,②,④正確,③錯. 答案 ③ 6.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為棱AA1,CC1的中點,則在空間中與三條直線A1D1,EF,CD都相交

5、的直線有________條. 解析 在EF上任意取一點M,直線A1D1與M確定一個平面,這個平面與CD有且僅有1個交點N,當M取不同的位置就確定不同的平面,從而與CD有不同的交點N,而直線MN與直線A1D1,EF,CD均相交,故滿足題意的直線有無數(shù)條. 答案 無數(shù) 7.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P、Q、R分別是AB、AD、B1C1的中點,那么,正方體的過P、Q、R的截面圖形是________.  解析 如圖所示,作RG∥PQ交C1D1于G,連接QP并延長與CB的延長線交于M,連接MR交BB1于E,連接PE、RE為截面的部分圖形. 同理延長PQ交CD的延長線于N,連

6、接NG交DD1于F,連接QF,F(xiàn)G. ∴截面為六邊形PQFGRE. 答案 六邊形 8.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是BD1的中點,直線A1C交平面AB1D1于點M,給出下列四個結論: ①A1、M、O三點共線; ②M、O、A1、A四點共面; ③A、O、C、M四點共面; ④B、B1、O、M四點共面. 其中正確結論的序號是________. 解析 因為O是BD1的中點.由正方體的性質知,O也是A1C的中點,所以點O在直線A1C上,又直線A1C交平面AB1D1于點M,則A1、M、O三點共線,又直線與直線外一點確定一個平面,所以①②③正確. 答案?、佗冖? 9.如圖

7、,平面α⊥平面β,α∩β=l,A,C是α內不同的兩點,B,D是β內不同的兩點,且A,B,C,D?直線l,M,N分別是線段AB,CD的中點.下列判斷正確的是________. ①當|CD|=2|AB|時,M,N兩點不可能重合 ②M,N兩點可能重合,但此時直線AC與l不可能相交 ③當AB與CD相交,直線AC平行于l時,直線BD可以與l相交 ④當AB,CD是異面直線時,直線MN可能與l平行 解析 當M,N重合時,四邊形ACBD為平行四邊形,故AC∥BD∥l,此時直線AC與l不可能相交,②正確,易知①,③,④均不正確. 答案 ② 10.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1

8、中,點E,F(xiàn)分別是棱BB1,DD1上的動點,且BE=D1F=λ,設EF與AB所成的角為α,與BC所成的角為β,則α+β的最小值________. 解析 當EF∥BD時,α=β=45°,α+β=90°即為a+β的最小值,故填90°. 答案 90° 二、解答題 11.正方體ABCD-A1B1C1D1中. (1)求AC與A1D所成角的大??; (2)若E、F分別為AB、AD的中點,求A1C1與EF所成角的大?。? 解 (1)如圖所示,連接B1C,由ABCD-A1B1C1D1是正方體, 易知A1D∥B1C,從而B1C與AC所成的角就是AC與A1D所成的角. ∵AB1=AC=B1C,

9、∴∠B1CA=60°. 即A1D與AC所成的角為60°. (2)如圖所示,連接AC、BD,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC⊥BD,AC∥A1C1,∵E、F分別為AB、AD的中點,∴EF∥BD,∴EF⊥AC. ∴EF⊥A1C1. 即A1C1與EF所成的角為90°. 12. 如圖,在四面體ABCD中作截面PQR,若PQ、CB的延長線交于M,RQ、DB的延長線交于N,RP、DC的延長線交于K,求證:M、N、K三點共線. 證明 ∵M∈PQ,直線PQ?面PQR,M∈BC,直線BC?面BCD, ∴M是平面PQR與平面BCD的一個公共點, 即M在面PQR與面BCD的交線l上. 同理

10、可證:N、K也在l上. ∴M、N、K三點共線. 13.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,A1C與截面DBC1交于O點,AC,BD交于M點,求證:C1,O,M三點共線. 證明 ∵C1∈平面A1ACC1, 且C1∈平面DBC1, ∴C1是平面A1ACC1與平面DBC1的公共點. 又∵M∈AC,∴M∈平面A1ACC1. ∵M∈BD,∴M∈平面DBC1, ∴M也是平面A1ACC1與平面DBC1的公共點, ∴C1M是平面A1ACC1與平面DBC1的交線. ∵O為A1C與截面DBC1的交點, ∴O∈平面A1ACC1且O∈平面DBC1, 即O也是兩平面的公共點, ∴O∈

11、直線C1M,即C1,O,M三點共線. 14.如圖(1),在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,D是AB的中點,E是AC的中點,現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如圖(2). (1)求異面直線AB與DE所成的角; (2)若M、N分別為棱AC、BC上的動點,求△DMN周長的平方的最小值. 解 (1)如圖,取BC的中點F,連結EF、DF,則AB∥EF,AB與DE所成的角即為EF與DE所成的角. ∵AD=BD=2,∠ADB=90°, ∴AB=4.∴EF=2. 又∵DE=DF=2, ∴異面直線AB與DE所成的角為60°. (2)如圖是以C為頂點沿CD展開的側面展開圖,依題意即求DD1的長. ∵∠ACD=∠BCD1=45°,AC=BC=AB, ∴∠ACB=60°. ∴∠DCD1=150°,CD=CD1=2.∴DD=(2)2+(2)2-2×2×2·cos 150°=16+8. 高考數(shù)學復習精品 高考數(shù)學復習精品

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