【名校資料】高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫第五章 第4講 平面向量的綜合應(yīng)用

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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料◆+◆◆ 第4講 平面向量的綜合應(yīng)用 一、填空題 1.在△ABC中,=a,=b,=c,且|a|=1,|b|=2,|c|=,則a·b+b·c+c·a=________. 解析 由|a|=1,|b|=2,|c|=,可得||2=||2+||2,∠B=90°,∠C=60°,∠A=30°,所以a·b+b·c+c·a=2cos 120°+2cos 150°+0=-4. 答案?。? 2.在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,若·=·=1,那么c=________. 解析 由題知·+·=2,即·-·=·(+)=2=2?c=||=. 答案  3.已

2、知△ABO三頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(1,0),B(0,2),O(0,0),P(x,y)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足·≤0,·≥0,則·的最小值為________. 解析 由已知得·=(x-1,y)·(1,0)=x-1≤0,且·=(x,y-2)·(0,2)=2(y-2)≥0,即x≤1,且y≥2,所以·=(x,y)·(-1,2)=-x+2y≥-1+4=3. 答案 3 4.已知平面上有四個互異點(diǎn)A、B、C、D,若(+-2)·(-)=0,則△ABC的形狀為________. 解析 由(+-2)·(-)=0, 得[(-)+(-)]·(-)=0, 所以(+)·(-)=0.所以||2-||2=0, ∴||

3、=||,故△ABC是等腰三角形. 答案 等腰三角形 5. 如圖,△ABC的外接圓的圓心為O,AB=2,AC=3, BC=,則·=________. 解析 ·=·(-) =·-·, 因?yàn)镺A=OB,所以在上的投影為||,所以·=||·||=2, 同理·=||·||=, 故·=-2=. 答案  6.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,點(diǎn)D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),且·=·,則a2,b2,c2成________數(shù)列. 解析 由·=·,得(-)·(+)=(-)·(+),即2-2=2-2,所以a2-b2=b2-c2,所以a2,b2,c2成等差數(shù)列. 答案 

4、等差 7.已知點(diǎn)P是邊長為2的正三角形ABC邊BC上的動點(diǎn),則·(+)=________. 解析 如圖,因?yàn)椋剑?,△ABC為正三角形,所以四邊形ABDC為菱形,BC⊥AO,所以在向量上的投影為. 又||=,所以·(+)=||·||=6. 答案 6 8.已知△ABC為等邊三角形,AB=2.設(shè)點(diǎn)P,Q滿足=λ,=(1-λ),λ∈R,若·=-,則λ=________. 解析 以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,則B(2,0),C(1,),由=λ,得P(2λ,0),由=(1-λ),得Q(1-λ,(1-λ)),所以·=(-λ-1,(1-λ))·(2λ-1,-)=-(λ

5、+1)(2λ-1)-×(1-λ)=-,解得λ=. 答案  9.設(shè)=,=(0,1),O為坐標(biāo)原點(diǎn),動點(diǎn)P(x,y)滿足0≤·≤1,0≤·≤1,則z=y(tǒng)-x的最小值是________. 解析 由題得 所以可行域如圖所示,所以當(dāng)直線y-x=z經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)時,zmin=-1. 答案?。? 10.對任意兩個非零的平面向量α和β,定義α°β=.若平面向量a,b滿足|a|≥|b|>0,a與b的夾角θ∈,且a°b和b°a都在集合中,則a°b=________. 解析 根據(jù)題中給定的兩個向量的新運(yùn)算可知a°b===,b°a=,又由θ∈可得0可得0<≤1

6、,于是0<<1,即b°a∈(0,1),又由于b°a∈,所以=,即|a|=2|b|cos θ.① 同理>,將①代入后得2cos2θ>,又由于a°b∈,所以a°b=2cos2θ=(n∈Z),于是1<<2,故n=3,∴cos θ=,|a|=|b|,∴a°b=×=. 答案  二、解答題 11.已知在銳角△ABC中的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,定義向量m=(sin B,-),n=,且m∥n. (1)求函數(shù)f(x)=sin 2xcos B-cos 2xsin B的單調(diào)遞減區(qū)間; (2)若b=1,求△ABC的面積的最大值. 解 (1)因?yàn)閙∥n,所以sin B+cos 2B=2sin

7、 B cos B+cos 2B=sin 2B+cos 2B=2sin=0,所以B=. 所以f(x)=sin(2x-B)=sin. 于是由2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,k∈Z. (2)當(dāng)b=1時,由余弦定理,得1=a2+c2-2accos =a2+c2-ac≥ac,所以S△ABC=acsin≤,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=1時等號成立,所以(S△ABC)max=. 12.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且(2a+c)··+c·=0. (1)求角B的大??; (2)若b=2,試求·的最小值. 解 (1)因?yàn)?2a+c)·+c·=0, 所

8、以(2a+c)accos B+abccos C=0, 即(2a+c)cos B+bcos C=0, 所以(2sin A+sin C)cos B+sin Bcos C=0, 即2sin Acos B+sin(B+C)=0, 因?yàn)閟in(B+C)=sin A≠0, 所以cos B=-,所以B=. (2)因?yàn)閎2=a2+c2-2accos,所以12=a2+c2+ac≥3ac,即ac≤4,所以·=accos=-ac≥-2,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時等號成立,所以·的最小值為-2. 13.已知A,B,C的坐標(biāo)分別為A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),α∈. (1)若||=

9、||,求角α的值; (2)若·=-1,求的值. 解 (1)∵=(cos α-3,sin α),=(cos α,sin α-3), ∴2=(cos α-3)2+sin2α=10-6cos α, 2=cos2α+(sin α-3)2=10-6sin α,由||=||, 可得2=2,即10-6cos α=10-6sin α,得sin α=cos α. 又α∈,∴α=. (2)由·=-1, 得(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1, ∴sin α+cos α=.① 又==2sin αcos α.由①式兩邊分別平方,得1+2sin αcos α=,∴2sin

10、 αcos α=-. ∴=-. 14.已知M(0,-2),點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)B在y軸的正半軸上,點(diǎn)P在直線AB上,且滿足=,·=0. (1)當(dāng)A點(diǎn)在x軸上移動時,求動點(diǎn)P的軌跡C的方程; (2)過(-2,0)的直線l與軌跡C交于E、F兩點(diǎn),又過E、F作軌跡C的切線l1、l2,當(dāng)l1⊥l2時,求直線l的方程. 解 (1)設(shè)P(x,y),A(xA,0),B(0,yB), 則=(x-xA,y),=(-x,yB-y). 由=得xA=2x,yB=2y. 又=(xA,2),=(x-xA,y), 即=(2x,2),=(-x,y). 由·=0得x2=y(tǒng)(y>0). (2)易知直線l的斜率必存在, 故設(shè)其直線方程為y=k(x+2), 設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2), 因?yàn)閥′=2x,故兩切線的斜率分別為2x1、2x2. 由方程組得x2-kx-2k=0, x1+x2=k,x1x2=-2k. 由l1⊥l2時,4x1x2=-1,∴k=. ∴直線l的方程是y=(x+2). 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品

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