【名校資料】高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 選修系列不等式選講
《【名校資料】高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 選修系列不等式選講》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《【名校資料】高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 選修系列不等式選講(12頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料◆+◆◆ 學(xué)案75 不等式選講 (二)不等式的證明 導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.了解證明不等式的基本方法:比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法.2.會(huì)用比較法、綜合法、分析法、數(shù)學(xué)歸納法證明比較簡(jiǎn)單的不等式. 自主梳理 1.證明不等式的常用方法 (1)比較法:比較法是證明不等式最基本的方法,具體有作差比較和作商比較兩種,其基本思想是____與0比較大小或____與1比較大?。? (2)綜合法:從已知條件出發(fā),利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或________,經(jīng)過推理論證,最終指導(dǎo)出所要證明的不等式成立. (3)分析法:從待證不等式出發(fā),逐步尋求
2、使它成立的________條件,到將待證不等式歸結(jié)為一個(gè)已成立的不等式(已知條件、定理等). (4)反證法 ①反證法的定義 先假設(shè)要證的命題不成立,以此為出發(fā)點(diǎn),結(jié)合已知條件,應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等,進(jìn)行正確的推理,得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論,以說明假設(shè)不正確,從而證明原命題成立,我們把它稱為反證法. ②反證法的特點(diǎn) 先假設(shè)原命題不成立,再在正確的推理下得出矛盾,這個(gè)矛盾可以是與已知條件矛盾,或與假設(shè)矛盾,或與定義、公理、定理、事實(shí)等矛盾. (5)放縮法 ①定義:證明不等式時(shí),通過把不等式的一邊適當(dāng)?shù)豞_______或_______
3、_以利于化簡(jiǎn),并使它與不等式的另一邊的不等關(guān)系更為明顯,從而得出原不等式成立.這種方法 稱為放縮法. ②思路:分析觀察證明式的特點(diǎn),適當(dāng)放大或縮小是證題關(guān)鍵. (6)數(shù)學(xué)歸納法 與自然數(shù)有關(guān)的不等式可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明. 自我檢測(cè) 1.已知M=a2+b2,N=ab+a+b-1,則M,N的大小關(guān)系為________. 2.設(shè)x=a2b2+5,y=2ab-a2-4a,若x>y,則實(shí)數(shù)a,b應(yīng)滿足的條件為______________. 3.若a>0,b>0,給出下列四個(gè)不等式: ①a+b+≥2;②(a+b)(+)≥4;③≥a+b;④a+≥-2. 其中正確的序號(hào)為________
4、______. 4.用數(shù)學(xué)歸納法證明(1+)(1+)(1+)…(1+)>(k>1),則當(dāng)n=k+1時(shí),左端應(yīng)乘上________.這個(gè)乘上去的代數(shù)式共有因子的個(gè)數(shù)是________. 5.用數(shù)學(xué)歸納法證明≥()n(a,b是非負(fù)實(shí)數(shù),n∈N)時(shí),假設(shè)n=k命題成立之后,證明n=k+1命題也成立的關(guān)鍵是______________. 探究點(diǎn)一 比較法證明不等式 例1 已知a>0,b>0,求證:+≥+. 變式遷移1 (2011·福建)設(shè)不等式|2x-1|<1的解集為M. ①求集合M; ②若a,b∈M,試比較ab+1與a+b的大?。?
5、 探究點(diǎn)二 用綜合法證明不等式 例2 設(shè)a、b、c均為正數(shù),求證: ++≥++. 變式遷移2 設(shè)x是正實(shí)數(shù),求證: (x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3. 探究點(diǎn)三 用分析法證明不等式 例3 已知a>b>0,求證:<-<. 變式遷移3 已知a>0,求證: -≥a+-2. 探究點(diǎn)四 數(shù)學(xué)歸納法 例4 用數(shù)學(xué)歸納法證明: +++…+>(n≥2).
6、變式遷移4 用數(shù)學(xué)歸納法證明 7、都大于等于.如果從正面證明,將有7種情況需要證明,非常繁雜,可考慮用反證法證明.
【答題模板】
證明 (1)∵f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2,
∴f(1)+f(3)-2f(2)=2.[2分]
(2)假設(shè)|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于,
則|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2,[4分]
而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥|f(1)+f(3)-2f(2)|=2,
與假設(shè)矛盾.[9分]
∴|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個(gè)不小于.[10分]
【突破思維障礙】
根據(jù)正難 8、則反的證明原則,|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|至少有一個(gè)不小于的反面為|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于,所以用反證法證明只有一種情況,如果這一種情況不成立,則原命題成立.
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】
在證明(2)中如果不知道用反證法證,而是從正面分七種情況證明,往往會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的失誤.
1.證明不等式的常用方法有六種,即比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法、放縮法,重點(diǎn)是前四種方法.
2.比較法是證明不等式的一個(gè)最基本,最常用的方法.當(dāng)被證的不等式兩端是多項(xiàng)式、分式或?qū)?shù)式時(shí),一般使用作差比較法;當(dāng)被證的不等式(或變形后)的兩端都是正數(shù)且為乘積形式或冪指數(shù) 9、形式時(shí),一般使用作商比較法.
3.分析法執(zhí)果索因,利于思考;綜合法由因?qū)Ч擞诒磉_(dá),適合人們的思維習(xí)慣,凡是能用分析法證明的不等式,一般可以用綜合法證明.
因此,我們做題時(shí),通常先用分析法探求證題途徑,在解答問題時(shí)用綜合法書寫.
4.放縮法就是利用不等式的傳遞性的方法,即要證a>b,可以證a>c且c>b.其中c的確定是最困難的,要憑借對(duì)題意的分析和一定的解題經(jīng)驗(yàn).
放縮法的常用措施:(1)舍去或加上一些項(xiàng),如2+>2;(2)將分子或分母放大(縮小),如<,>,<,> (k∈N*且k>1)等.
(滿分:90分)
一、填空題(每小題6分,共42分)
1.已知a、b、m∈ 10、R+且a>b,則與的大小關(guān)系為________.
2.設(shè)a∈R且a≠0,以下四個(gè)式子中恒大于1的個(gè)數(shù)是________.
①a3+1;②a2-2a+2;③a+;④a2+.
3.在下列不等式中,一定成立的是________(填序號(hào)).
①48a<84b;
②aabb>abba;
③a3>a2-a+1;
④(+)m2<.
4.如圖所示,矩形OPAQ中,a1 11、.現(xiàn)將一物體A分別放在左、右托盤內(nèi)各稱一次,稱得的結(jié)果分別為a克和b克,關(guān)于物體A的質(zhì)量,有下列一些說法:
(1)物體A的質(zhì)量是克;
(2)物體A的質(zhì)量介于a克與b克之間;
(3)物體A的質(zhì)量大于克;
(4)物體A的質(zhì)量大于克.
其中正確的說法是________.(將滿足題意的所有序號(hào)填在題中橫線上)
7.設(shè)兩個(gè)不相等的正數(shù)a,b滿足a3-b3=a2-b2,則a+b的取值范圍是________.
二、解答題(共48分)
8.(12分)若a+b=1,求證: +≤2.
9.(12分)(2009·江蘇)設(shè)a≥b>0,求證:3a3+2b3≥ 12、3a2b+2ab2.
10.(12分)已知x,y,z均為正數(shù),求證:
++≥++.
11.(12分)用數(shù)學(xué)歸納法證明++…+>.
學(xué)案75 不等式選講
(二)不等式的證明
答案
自主梳理
1.(1)差 商 (2)定理 (3)充分 (5)①放大 縮小
自我檢測(cè)
1.M≥N
解析 ∵M(jìn)-N=a2+b2-ab-a-b+1
=(2a2+2b2-2ab-2a-2b+2)
=[(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)]
=[(a-b)2+ 13、(a-1)2+(b-1)2]≥0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)“=”成立.∴M≥N.
2.a(chǎn)b≠1或a≠-2
解析 由x>y,得a2b2+5-2ab+a2+4a=(ab-1)2+(a+2)2>0,所以有ab≠1或a≠-2.
3.①②③④
解析 ∵a>0,b>0,
∴①a+b+≥2+≥2·
=2;
②(a+b)(+)≥4=4;
③∵≥,
∴a2+b2≥=(a+b)·
≥(a+b).∴≥a+b;
④∵a>0,∵a+>0,∴④恒成立.
4.(1+)(1+)…(1+) 2k-1
解析 因?yàn)榉帜傅墓顬?,所以乘上去的第一個(gè)因式是(1+),最后一個(gè)是(1+),共有2k-2k-1=2k- 14、1項(xiàng).
5.兩邊同乘以
解析 要想辦法出現(xiàn)ak+1+bk+1,兩邊同乘以,右邊也出現(xiàn)了要求證的()k+1.
課堂活動(dòng)區(qū)
例1 解題導(dǎo)引 不等式左、右兩邊是多項(xiàng)式形式,可用作差或作商比較法,也可用分析法、綜合法.
證明 ∵+-(+)
==,
又+>0,>0,(-)2≥0,
∴+-(+)≥0.故+≥+.
變式遷移1 解?、儆蓔2x-1|<1得-1<2x-1<1,解得0 15、具有同等的地位,證明此類型不等式往往需要通過系數(shù)的變化,利用基本不等式進(jìn)行放縮,得到要證明的結(jié)論.
證明 ∵a、b、c均為正數(shù),
∴≥≥,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立;
同理:≥≥,
當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立;
≥≥,
當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立.
三個(gè)不等式相加即得++≥++,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立.
變式遷移2 證明 x是正實(shí)數(shù),由基本不等式知,
x+1≥2,1+x2≥2x,x3+1≥2,
故(x+1)(x2+1)(x3+1)≥2·2x·2=8x3
(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立).
例3 解題導(dǎo)引 當(dāng)要證的不等式較復(fù)雜,已知條件信息量太少,已知與待證間的聯(lián)系 16、不明顯時(shí),一般可采用分析法.分析法是步步尋求不等式成立的充分條件,而實(shí)際操作時(shí)往往是先從要證的不等式出發(fā),尋找使不等式成立的必要條件,再考慮這個(gè)必要條件是否充分,這種“逆求”過程能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力,也是分析問題、解決問題時(shí)常用的思考方法.
證明 欲證<-<,
只需證<<.∵a>b>0,
∴只需證<<,
即<1<.欲證<1,
只需證+<2,即<.該式顯然成立.
欲證1<,
只需證2<+,即<.該式顯然成立.
∴<1<成立,且以上各步均可逆.
∴<-<成立.
變式遷移3 證明 要證 -≥a+-2,
只需證 +2≥a++,
∵a>0,∴只需證2≥2,
從而只要證2 ≥ 17、,
只要證4≥2,
即a2+≥2,而上述不等式顯然成立,故原不等式成立.
例4 解題導(dǎo)引 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,推導(dǎo)n=k+1也成立時(shí),證明不等式的常用方法,如比較法、分析法、綜合法均要靈活運(yùn)用.在證明過程中,常常利用不等式的傳遞性對(duì)式子放縮,建立關(guān)系.
證明 (1)當(dāng)n=2時(shí),>0,不等式成立.
(2)假設(shè)n=k(k≥2)時(shí),原不等式成立.
即++++…+>,
則當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=+++…++++…+>+++…+>+++…+=+==.
∴當(dāng)n=k+1時(shí),原不等式成立.
由(1)(2)知,原不等式對(duì)n≥2的所有的自然數(shù)都成立,
即+++…+>(n≥2).
變式遷移4 18、 證明 (1)當(dāng)n=1時(shí),顯然命題成立.
(2)假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí),原不等式成立.
即 19、2+a-1=(a-1)(a2+1),
當(dāng)a<1時(shí),③不成立;
∵(+)2=7+2,2=(2+)2=7+2,
∴+<,又m2 20、
又<=,所以說法(4)正確.
7.(1,)
解析 ∵a3-b3=a2-b2(a≠b),
∴a2+ab+b2=a+b,∴(a+b)2-ab=a+b,
∴ab=(a+b)2-(a+b),又∵0 21、證明 3a3+2b3-(3a2b+2ab2)
=3a2(a-b)+2b2(b-a)
=(3a2-2b2)(a-b).(8分)
因?yàn)閍≥b>0,所以a-b≥0,3a2-2b2>0,(10分)
從而(3a2-2b2)(a-b)≥0,
即3a3+2b3≥3a2b+2ab2.(12分)
10.證明 因?yàn)閤,y,z均為正數(shù),
所以+=≥,(3分)
同理可得+≥,+≥,(6分)
當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=z時(shí),以上三式等號(hào)都成立,將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加,并除以2,
得++≥++.(12分)
11.證明 (1)當(dāng)n=1時(shí),>1,命題成立.(2分)
(2)假設(shè)n=k時(shí)命題成立,即++…+>.則當(dāng)n=k+1時(shí),
++…++>+>+(k+1)=,
即當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立.(10分)
綜合(1)(2),得對(duì)一切正整數(shù)n,不等式都成立.(12分)
高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品
高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品
,所以(1)(3)錯(cuò)誤.
由放縮法易知必介于a,b之間,所以說法(2)正確.
- 溫馨提示:
1: 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
2: 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
3.本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
5. 裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 110中國人民警察節(jié)(筑牢忠誠警魂感受別樣警彩)
- 2025正字當(dāng)頭廉字入心爭(zhēng)當(dāng)公安隊(duì)伍鐵軍
- XX國企干部警示教育片觀后感筑牢信仰之基堅(jiān)守廉潔底線
- 2025做擔(dān)當(dāng)時(shí)代大任的中國青年P(guān)PT青年思想教育微黨課
- 2025新年工作部署會(huì)圍繞六個(gè)干字提要求
- XX地區(qū)中小學(xué)期末考試經(jīng)驗(yàn)總結(jié)(認(rèn)真復(fù)習(xí)輕松應(yīng)考)
- 支部書記上黨課筑牢清廉信念為高質(zhì)量發(fā)展?fàn)I造風(fēng)清氣正的環(huán)境
- 冬季消防安全知識(shí)培訓(xùn)冬季用電防火安全
- 2025加強(qiáng)政治引領(lǐng)(政治引領(lǐng)是現(xiàn)代政黨的重要功能)
- 主播直播培訓(xùn)直播技巧與方法
- 2025六廉六進(jìn)持續(xù)涵養(yǎng)良好政治生態(tài)
- 員工職業(yè)生涯規(guī)劃方案制定個(gè)人職業(yè)生涯規(guī)劃
- 2024年XX地區(qū)黨建引領(lǐng)鄉(xiāng)村振興工作總結(jié)
- XX中小學(xué)期末考試經(jīng)驗(yàn)總結(jié)(認(rèn)真復(fù)習(xí)輕松應(yīng)考)
- 幼兒園期末家長會(huì)長長的路慢慢地走